Simmetria (statistica): differenze tra le versioni

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Versione delle 11:34, 6 mar 2006

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In [[statistica]] una [[distribuzione statistica|distribuzione]], una [[funzione di probabilità]],

una [[funzione di densità]] o comunque una [[variabile casuale]] si dicono '''simmetriche'''

quando esiste un valore ''X<submath>mX_m</submath>'' (che coincide con la [[media]] aritmetica ovvero con il [[valore atteso]])

per il quale a tutti i valori minori <math>X_a</math> (con <math>X_a=X_m-\Delta</math>, <math>\Delta>0</math>) corrisponde una [[frequenza (statistica)|frequenza]] o [[funzione di probabilità]] o [[funzione di densità]] identica a quella che corrisponde al valore <math>X_b=X_m+\Delta</math>. In altre parole, ciò è verificato laddove vale l'uguaglianza <math>f(X_m+\Delta)=f(X_m-\Delta)</math>, dove <math>f(\cdot)</math> denota la [[funzione di densità]] di probabilità (nel caso di variabili casuali continue) o la funzione di massa di probabilità (nel caso di variabili casuali discrete).

per il quale a tutti i valori minori ''X_a'' (con ''X_a''=''X_m''-&Delta;)

corrisponde una [[frequenza (statistica)|frequenza]] o [[funzione di probabilità]] o [[funzione di densità]]

identica a quella che corrisponde al valore ''X_b''=''X_m''+&Delta;.

In generale viene usato l'indicatorela statistica di simmetria :

In altre parole, quando vale l'uguaglianza f(&mu;-&delta;)=f(&mu;+&delta;).

::<math>\beta_1=\frac{m_3^2}{m_2^3}</math>

ove m<submath>2m_3</submath> e m<submath>3m_2</submath> sono relativamenterispettivamente il [[momento (statistica)|momento centrale]] secondo e terzo. Tale indicatore è:

:=0, nel caso di perfetta simmetria;

:<0, per l'assimetriaasimmetria a destra;

:>0, per l'assimetriaasimmetria a sinistra.

Talvolta si utilizza in alternativa la statistica:

::<math>\gamma_1=\frac{m_3}{\sqrt[2]{m_2^3}}=\sqrt{\beta_1}</math>

EntrambiEntrambe le statistiche hanno lo svantaggio che possono assumero valore nullo anche in presenza di assimetria.

Un altro importanteulteriore indice di asimmetria è l'[[indice di asimmetria di Pearson]].:

In generale viene usato l'indicatore di simmetria

::<math>S_k=\frac{\mu-\nu_0}{\sigma}</math>

:&beta;₁ = (m₃)&sup2; / (m₂)&sup3;

ove <math>\mu</math> denota la [[valore atteso|media]], <math>\sigma</math> la [[deviazione standard]] e <math>\nu_0</math> è la [[moda (statistica)|moda]]. Il problema di quest'ultimo indicatore è che:

ove m₂ e m₃ sono relativamente il [[momento (statistica)|momento centrale]] secondo e terzo.

*#è applicabile solo a distribuzioni unimodali;

*#non è normalizzato;

Tale indicatore è

*assumere valore zero#<math>S_k=0</math> è una condizione necessaria ma non sufficiente per una simmetriadistibuzione simmetrica.

:=0, nel caso di perfetta simmetria

:<0, per l'assimetria a destra

:>0, per l'assimetria a sinistra

oppure la sua radice

:&gamma;₁ = m₃ / &radic;(m₂)&sup3; = &radic;&beta;₁

Entrambi hanno lo svantaggio che possono assumero valore nullo anche in presenza di assimetria.

Un altro importante indice di asimmetria è l'[[indice di asimmetria di Pearson]].

:S_k = (&mu;-&nu;₀)/&sigma; ove &nu;₀ è la [[moda (statistica)|moda]]

che ha come difetto il fatto che

*è applicabile solo a distribuzioni unimodali

*non è normalizzato

*assumere valore zero è una condizione necessaria ma non sufficiente per una simmetria

==Voci correlate==

* [[variabileVariabile casuale simmetrica]]

* [[Curtosi]]

* [[curtosi]], [[varianza]], [[media]]

* [[Varianza]]

* [[Media]]