Calcolo combinatorio: differenze tra le versioni
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=== Disposizioni ===
==== Configurazioni ordinate di dimensione k senza ripetizioni ====
Una '''disposizione semplice''' è un ordinamento degli elementi nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto.
In questo caso si è interessati al numero di configurazioni che si possono creare prendendo <math>k</math> oggetti distinti da un insieme di <math>n</math> oggetti. Il primo può essere scelto in <math>n</math> modi diversi, il secondo in <math>(n-1)</math> e così via sino al <math>k-esimo</math> che può essere scelto in <math>(n-k+1)</math> modi diversi. Pertanto il numero di disposizioni semplici <math>D^{k}_{n}</math> di <math>k</math> oggetti su un insieme di <math>n</math> oggetti è dato dal numero di permutazioni totali da cui si devono togliere gli oggetti non presi in considerazione, ovvero:
<math>
D^{k}_{n} = P^{k}_{n} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)
= \frac{n \times (n-1) \times \dots \times 1}{(n-k) \times (n-k-1) \times \dots \times 1}
= \frac{n!}{(n-k)!}
</math>
A titolo di ossservazione si noti come il numero di permutazioni di un insieme di oggetti sia effettivamente il numero di disposizioni semplici che si possono operare sugli stessi prendendoli <math>n</math> per volta:
<math>P_{n} = D^{n}_{n} = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!</math>
Esempio:
==== Configurazioni ordinate di dimensione k con ripetizioni ====
Se l'ordine è rilevante nella configurazione ed è possibile avere ripetizioni di uno stesso elemento si parla di '''disposizioni con ripetizione'''. Quello che si sta cercando è il numero delle possibili sequenze di <math>k</math> elementi scegliendoli da un insieme di <math>n</math> oggetti e ognuno di essi può essere preso più volte. Si hanno dunque <math>n</math> possibilità per scegliere il primo elemento, <math>n</math> per il secondo ed altrettante per il terzo e così via sino al <math>k-esimo</math> che completa la configurazione. Il numero di disposizioni con ripetizioni è pertanto:
<math>
DR^{k}_{n}
= {\underbrace{n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}} \atop {k-volte}}
= n^{k}
</math>
Esempio:
=== Combinazioni ===
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