Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 16:21, 18 giu 2009

Versione delle 17:33, 6 nov 2009

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==Caso unidimensionale==

{{vedi anche|Equazione di Schrödinger}}

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria, in una dimensione, è in generale:

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psiphi (x) + V(x) \cdot, \psiphi (x) = E \cdot, \psiphi (x),</math>

dove ''m'' è la massa della particella ed ''E'' l'energia dello stato <math>\phi</math>.

poiché <math>V(x) = 0</math> si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera:

poichéNel caso <math>V(x) = 0</math>, si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera:

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \cdot \psi (x)</math>

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psiphi (x) = E \cdot, \psiphi (x).</math>

dove ''m'' è la massa della particella. Questa è un'[[equazione differenziale]] del secondo ordine a coefficienti costanti, ponendola nella forma:

dove ''m'' è la massa della particella. Questa è un'[[equazione differenziale]] del secondo ordine a coefficienti costanti, ponendolache può essere posta nella forma:

:<math>\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = - \lambda^2 \cdot \psi (x)</math>

:<math>\frac{d^2}{dx^2} \psiphi (x) = - \lambdak^2 \cdot \psiphi (x),</math>

dove <math>\lambda = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>. In generale l'operatore [[hamiltoniano]] <math>\mathcal{H}</math> e l'operatore impulso <math>p</math> [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia cinetica]] della particella:

:dove <math>[k = \mathcalsqrt{H\frac{2mE},{\hbar^2}}</math> p]è =un parametro reale se <math>E>0</math>.

La soluzione generale, dipendente da <math>k</math>, può essere scritta nella forma

:<math>\left[phi_k(x) \mathcal{H},= \frac{pA e^2}{2i mk x}+ \right]B =0e^{-i k x},</math>

con ''A'',''B'' coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo lela condizionicondizione al contorno che la funzione d'onda sicontenga annullisolo all'infinitouna <math>\psicomponente ( \infty )= 0 </math>progressiva, si ottiene che <math>B = 0</math>, cioè l'onda è solo progressiva. La costante ''A'' si determina imponendo la normalizzazione degli stati.e

e quindi ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]]. La soluzione generale dell'equazione di Schrödinger sono le autofunzioni dell'impulso, quindi:

:<math>\psiphi_k(x) = A e^{i\lambda x}+ B e^{-i\lambdak x},</math>

La costante ''A'' si ottiene imponendo la [[normalizzazione]] degli stati <math>\phi_k</math>.

con ''A,B'' coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo le condizioni al contorno che la funzione d'onda si annulli all'infinito <math>\psi ( \infty )= 0 </math> si ottiene che <math>B = 0</math>, cioè l'onda è solo progressiva. La costante ''A'' si determina imponendo la normalizzazione degli stati.

<ref>

Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della [[Delta di Dirac]]

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi_{p'k^{\prime}}^{*\ast} (x) \psi_{pk} (x) = 2 \pi \hbar \delta (p' - p)</math>

La soluzione dipendente dal tempo si può esplicitare:

= \vert A \vert^2 \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i (k-k^{\prime}) x }

= 2 \pi \vert A \vert^2 \delta (k^{\prime} - k),</math>

per cui si può porre

:<math>\psi(x,t) = A \cdot e^{- (Et - p \cdot x)/ \hbar}</math>

:<math>k A= \frac{p1}{2\hbarpi}</math>

dove <math>E = p^2/(2m)</math>, cioè un'[[onda piana]] di energia ''E'' e quantità di moto ''p'', che viaggia con [[frequenza]]:

</ref>

dove <math>\lambda = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>. In generale, l'operatore [[hamiltoniano]] <math>\mathcalhat{H}</math> e l'operatore impulso[[quantità di moto]] <math>\hat{p}</math> della particella libera [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia cinetica]] della particella<math>\hat{K}=\hat{p}^2/(2m)</math>:

:<math>\omega = \frac{E}{\hbar}</math>

:<math>[\hat{H}, \hat{p}] = \left[ \hat{H}, \hat{K} \right] =0.</math>

e il cui [[vettore d'onda]] è:

Quindi, gli operatori <math>\hat{H}</math>, <math>\hat{K}</math>, e <math>\hat{p}</math> ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]].

:<math>k = \frac{p}{\hbar}</math>

Si può verificare che la soluzione generale dell'equazione di Schrödinger è autofunzione

della quantità di moto, essendo:

:<math>(-i \hbar \frac{d}{dx})\,\phi_k(x) = A \hbar k e^{i k x} = \hbar k\,\phi_k(x).</math>

Lo [[spettro]] energetico è quindi continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E=0</math>) ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione di ''p''. (Nel caso unidimensionale che stiamo trattando ciò non sussiste perché vi è una sola direzione, ma nel caso tridimensionale ''p'' è un vettore). La costante ''A'' si ottiene in termini di ''p'':

L'evoluzione temporale dello stato <math>\phi_k</math> da luogo a

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{p'}^{*} (x) \psi_{p} (x) = 2 \pi \hbar \delta (p' - p)</math>

un'[[onda piana]],

:<math>\psipsi_k(x,t) = A \cdot, e^{-i (EtE_k -t/\hbar+ pi \cdotk x} = \phi_k(x)/\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>

dovedi energia <math>EE_k = p^2/(2m)</math>, cioè un'[[onda piana]] di energia ''E'' e quantità di moto ''<math>p''=\hbar\,k</math>, che viaggia con [[frequenza]]:

:<math>\omegaomega_k = \frac{EE_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>

e il cui [[vettore d'onda]] è: ''k''.

Questa è soluzione dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t) + V(x) \, \psi (x,t), </math>

per una particella libera, <math>V(x)=0</math>, preparata nello stato iniziale <math>\psi_(x,0)=\phi_k(x)</math>.

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare

dei vari $\psi_k$:

:<math>\psi(x,t) =\sum_k c_k \,\psi_k(x,t),</math>

in cui i coefficienti <math>c_k</math> sono normalizzati ad uno,

:<math>\sum_k\,\vert c_k \vert^2 = 1,</math>

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

Lo [[spettro]] energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E_0=0</math>) è doppiamente degenere, perché ad ogni autovalore <math>E_k \neq 0</math> corrispondono le autofunzioni <math>\phi_k</math> e <math>\phi_{-k}</math>. <ref>In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda. </ref>

==Caso tridimensionale==