Progetto:Fisica: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m interwikis |
traduzione statistiche meccaniche |
||
Riga 121:
*[[:en:Statistical mechanics]] da integrare in [[meccanica statistica]]
Le meccaniche statistiche sono la domanda di statistiche che includono attrezzi matematici per trattare con le grandi popolazioni al campo di meccaniche che concernono col moto di particelle od oggetti quando sottopose ad una forza.
Offre una struttura per relativo le proprietà microscopiche di atomi individuali e molecole ai macroscopici o proprietà di massa di materiali che possono essere osservati nella vita di ogni giorno, mentre spiegando perciò termodinamica come un naturale risultato di statistiche e le meccaniche (classico ed intervallo) al livello microscopico. In particolare, si può usare per calcolare le proprietà termodinamiche di materiali di massa dai dati di spectroscopic di molecole individuali.
Questa abilità di fare predizioni macroscopiche basata su proprietà microscopiche è il bene principale delle meccaniche statistiche su termodinamica. Ambo le teorie sono governate dalla seconda legge di termodinamica attraverso il mezzo di entropia. Entropia in termodinamica può essere conosciuta solamente comunque, empiricamente, mentre in meccaniche Statistiche, è una funzione della distribuzione del sistema sulle sue micro-stato.
Contenuti [il nascondiglio]
1 principio postula
2 insieme di Microcanonical
3 insieme canonico
3.1 Collegamento termodinamico
4 grande insieme canonico
5 equivalenza tra descrizioni al limite termodinamico
6 Pedoni casuali
6.1 Passeggiate casuali in Time
6.2 Passeggiate casuali nello Spazio
7 vedono anche
8 referenze
9 collegamenti esterni
[compili]
Principio postula
Il principio postula in meccaniche statistiche (anche noto come l'uguale una probabilità di priori postula) è il seguente:
Dato un sistema isolato in equilibrio, è trovato con probabilità uguale in ognuno del suo microstates accessibile.
Questo postula è un'assunzione fondamentale in meccaniche statistiche - afferma che un sistema in equilibrio non ha preferenza per alcuno del suo microstates disponibile. O microstates determinato ad una particolare energia, la probabilità di trovare il sistema in un particolare microstate è p = 1/O.
Questo postula è necessario perché permette ad uno di concludere che per un sistema ad equilibrio, lo stato termodinamico (il macrostate) quale potrebbe essere il risultato del più grande numero di microstates è anche il macrostate più probabile del sistema.
Questo lascia spazio alla definizione della funzione di informazioni (nel contesto di teoria di informazioni):
Quando tutti i rhos sono uguali, io sono minimo che riflette il fatto che noi abbiamo le minime informazioni sul sistema. Quando le nostre informazioni sono massime, i.e. un rho è uguale ad uno ed il resto per azzerare (noi sappiamo il sistema è che stato in), la funzione è massima.
Questa funzione" di "informazioni è la stessa come l'entropic ridotto funzioni in termodinamica.
[compili]
Insieme di Microcanonical
Fin dalla seconda legge di termodinamica applica a sistemi isolati, il primo caso investigato corrisponderà a questo caso. L'insieme di Microcanonical descrive un sistema isolato.
L'entropia di tale sistema può aumentare solamente, così che il massimo della sua entropia corrisponde ad un stato di equilibrio per il sistema.
Perché un sistema isolato tiene un'energia continua, l'energia totale del sistema non fluttua. Così, il sistema può accedere solamente quelli delle sue micro-stato che corrispondono ad un valore determinato E dell'energia. L'energia interna del sistema è poi severamente uguale alla sua energia.
Ci permetta di chiamare il numero di micro-stato che corrispondono a questo valore dell'energia del sistema. Lo stato macroscopico di massima entropia per il sistema è quello nel quale è ugualmente probabile che tutte le micro-stato accadano durante le fluttuazioni del sistema.
dove
è l'entropia di sistema,
è la costante di Boltzmann
[compili]
Insieme canonico
Invocando il concetto dell'insieme canonico, è possibile dedurre la probabilità che un sistema macroscopico in equilibrio termale col suo ambiente sarà in un microstate determinato con energia:
dove,
La temperatura sorge dal fatto che il sistema è in equilibrio termale col suo ambiente. Le probabilità del vario microstates devono aggiungere ad uno, ed il fattore di normalizzazione nel denominatore è la funzione di sezione canonica:
dove è l'energia del th microstate del sistema. La funzione di sezione è una misura del numero di stati accessibile al sistema ad una temperatura determinata. Veda derivazione della funzione di sezione per una prova del fattore di Boltzmann e la forma della funzione di sezione da primi principi.
La probabilità di trovare un sistema a temperatura in un particolare stato con energia è sommare su,
[compili]
Collegamento termodinamico
La funzione di sezione può essere usata per trovare gli aspettati (la media) valore di alcuna proprietà microscopica del sistema che può essere riferito poi a variables macroscopico. Per esempio, l'aspettato valore dell'energia microscopica è interpretato come la definizione microscopica dell'energia interna variabile e termodinamica., e può essere ottenuto prendendo il derivativo della funzione di sezione riguardo alla temperatura. Effettivamente,
implica, insieme con l'interpretazione di come, la definizione microscopica e seguente di energia interna:
L'entropia può essere calcolata da (veda l'entropia di Shannon)
quale implica quello
è l'energia Gratis del sistema o nelle altre parole,
Espressioni microscopiche che hanno per il potentials termodinamico e di base (energia interna), (l'entropia) e (energia gratis) è sufficiente per dedurre espressioni per altre quantità termodinamiche. La strategia di base è come segue. Ci può essere una quantità intensiva o estesa che entra esplicitamente nell'espressione per l'energia microscopica, per esempio campo magnetico (intensivo) o volume (esteso). Poi, i variables termodinamici e coniugati sono derivatives dell'energia interna. La magnetizzazione macroscopica (esteso) è il derivativo di riguardo al (intensivo) campo magnetico, e la pressione (intensivo) è il derivativo di riguardo a volume (esteso).
Il trattamento in questa sezione non presume nessun cambio della questione (i.e. massa fissa e particella fissa numera). Comunque, il volume del sistema è variabile quale vuole dire la densità è anche variabile.
Questa probabilità può essere usata trovare il valore medio che corrisponde al valore macroscopico di alcuna proprietà, J che dipende dallo stato energico del sistema usando la formula:
dove è il valore medio di proprietà. Questa equazione può essere applicata all'energia interna,:
Di conseguenza, queste equazioni possono essere combinate con relazioni termodinamiche e note fra e volume e la sezione funzionano arrivare ad un'espressione per pressione in termini di solamente temperatura. Relazioni simili in termini della funzione di sezione possono essere dedotte per altre proprietà termodinamiche come mostrato nella tavola seguente.
Helmholtz energia gratis:
Energia interna:
Pressione:
Entropia:
Gibbs energia gratis:
Enthalpy:
Capacità di Calore di Volume continua:
Capacità di Calore di Pressione continua:
Chimico potenziale:
Questo non è un grande insieme canonico da chiarificare.
È spesso utile per considerare l'energia di una molecola determinata per essere distribuito fra un numero di maniere. Per esempio, energia di translational si riferisce a quella porzione di energia associata col moto del centro di massa della molecola. L'energia di Configurational si riferisce a quella porzione di energia associata con le varie forze attraenti e repulsive tra molecole in un sistema. Le altre maniere sono tutti considerarono essere interni ad ogni molecola. Loro includono maniere rotazionali, vibrazionali, elettroniche e nucleari. Se noi presumiamo che ogni maniera è indipendente (un'assunzione discutibile) l'energia totale può essere espressa come la somma di ognuno dei componenti:
Dove gli indici inferiori, e corrisponde a translational, configurational, maniere nucleari, elettroniche, rotazionali e vibrazionali, rispettivamente. La relazione in questa equazione può essere sostituita nel molto equazione per dare prima:
Se noi possiamo presumere tutti queste maniere sono completamente sciolte ed uncorrelated, così tutti che questi fattori sono in un senso di probabilità completamente indipendente, poi
Così una funzione di sezione può essere definita per ogni maniera. Le semplici espressioni sono state dedotte relative ognuno delle varie maniere alle varie proprietà molecolari misurabili, come la caratteristica frequenze rotazionali o vibrazionali.
Espressioni per le varie funzioni di sezione molecolari sono mostrate nella tavola seguente.
Nucleare
Elettronico
Vibrazionale
Rotazionale (lineare)
Rotazionale (non-lineare)
Translational
Configurational (benzina ideale)
Queste equazioni possono essere combinate con quelli nella prima tavola per determinare il contributo di una particolare maniera di energia ad una proprietà termodinamica. Per esempio la "pressione rotazionale" potrebbe essere determinata in questa maniera. La pressione totale potrebbe essere trovata sommando i contributi di pressione da tutte le maniere individuali, ie:
[compili]
Grande insieme canonico
Se il sistema sotto studio è un sistema aperto, (la questione può essere scambiata), e numero di particella è conservato, noi dovremmo presentare potentials chimico, µj, j=1..., n e sostituisce la funzione di sezione canonica con la grande funzione di sezione canonica:
dove è il numero di particelle di specie di jth nella configurazione di ith Nij. Noi abbiamo anche qualche volta, l'altro variables per aggiungere alla funzione di sezione, uno corrispondendo ad ognuno conservò quantità. La maggior parte di loro possono essere interpretati in salvo comunque, come potentials chimico. Nella maggior parte sistemi di questione condensarono, cose sono nonrelativistic e massa è conservata. La maggior parte condensò anche comunque, approssimativamente sistemi di questione di interesse numero di particella di conserva di frutta (il metastably) e la massa (il nonrelativistically) non è nessuno altro che la somma del numero di ogni tipo di tempi di particella la sua massa. Massa è riferita inversamente a densità che è l'asse coniugato variabile a pressione. Per il resto di questo articolo, noi ignoreremo questa complicazione e fingeremo potentials chimici non si importa. Veda il grande insieme canonico.
Trasformiamo tutto usando un grande insieme canonico questa durata. Il volume è andato via fisso e non figura in a tutti in questo trattamento. Come prima, j è l'indice per quelle particelle di specie j ed i è l'indice per microstate i:
Gibbs energia gratis:
Energia interna:
Numero di particella:
Entropia:
Helmholtz energia gratis:
[compili]
Equivalenza tra descrizioni al limite termodinamico
Tutte le descrizioni su differiscono nel modo loro permettono al sistema determinato di fluttuare tra le sue configurazioni.
Nell'insieme micro-canonico, il sistema non scambia energia col mondo di fuori, e non è perciò soggetto alle fluttuazioni di energia, mentre nell'insieme canonico, il sistema è gratis per scambiare energia col fuori nella forma di calore.
Nel limite termodinamico che è il limite di grandi sistemi fluttuazioni divenute trascurabile, così che tutti che queste descrizioni convergono alla stessa descrizione. Nelle altre parole, il comportamento macroscopico di un sistema non dipende dal particolare insieme usato per la sua descrizione.
Dato queste considerazioni, il più buon insieme per scegliere per il calcolo delle proprietà di un sistema macroscopico è quel insieme che permette il risultato sia dedotto più facilmente.
[compili]
Pedoni casuali
Lo studio di polimeri di catena lunghi è stato una fonte di problemi all'interno dei reami delle meccaniche statistiche fin da circa i 1950. Una delle ragioni comunque che scienziati furono interessati nel loro studio è che le equazioni che governano il behaviour di una catena di polimero erano indipendenti dalla chimica di catena. Quello che è più, l'equazione governante risulta essere un casuale (diffusivo) cammini nello spazio. Effettivamente, l'equazione di Schrodinger si è un'equazione di diffusione nella durata immaginaria, t' = esso.
[compili]
Passeggiate casuali in Time
Il primo esempio di una passeggiata casuale è uno nello spazio, da che cosa un undgoes della particella un moto casuale dovuto a forze esterne nel suo mezzo circostante. Un esempio tipico sarebbe un grano di polline in un becher di acqua. Se uno potesse tingere in qualche modo il percorso il grano di polline ha preso, il percorso osservato è definito come una passeggiata casuale.
Consideri un problema di giocattolo, di un treno che si muove lungo una pista del 1D nella x-direzione. Supponga che il treno o trasporta una distanza di + o - una distanza fissa b, dipendendo su se una moneta sbarca teste o munisce di coda quando flipped. Impedimenti cominciano considerare le statistiche dei passi le prese di treno di giocattolo:
; a causa di un priori le probabilità ugualmente probabili
La seconda quantità è noto come la funzione correlativa. Il delta è il delta di kronecker che ci dice che se l'indices gli e j sono diversi, poi il risultato è 0, ma se i = j poi il delta di kronecker è 1, così la funzione correlativa ritorna un valore di b2. Questo ha senso, perché se i = j poi noi stiamo considerando lo stesso passo. Piuttosto banalmente poi si può mostrare che il dislocamento medio del treno dal x-asse è 0;
Come affermato è 0, così la somma di 0 ancora è 0. può essere mostrato anche, mentre usando lo stesso metodo dimostrato sopra, calcolare la radice il cattivo valore di piazza di problema. Il risultato di questo calcolo è dato sotto
Dall'equazione di diffusione può essere mostrato che la distanza un mosse di particella che diffonde in un media sono proporzionali alla radice del tempo per la quale il sistema sta diffondendo, dove è la radice della costante di diffusione la costante di proporzionalità. La relazione su, anche se cosmeticamente diverso rivela la fisica simile, dove è semplicemente il numero di passi si mosso N (è connesso scioltamente con tempo) e b è la lunghezza di passo di caratteristica. Come una conseguenza noi possiamo considerare diffusione come un processo di passeggiata casuale.
[compili]
Passeggiate casuali nello Spazio
Passeggiate casuali nello spazio possono essere pensate di come fotografie istantanee del percorso prese da un pedone casuale in durata. Uno tale esempio è la configurazione spaziale di polimeri di catena lunghi.
Ci sono due tipi di passeggiata casuale nello spazio: Stesso che Evita passeggiate, dove i collegamenti del polimero incatenano intermezzo e non ricoprono nello spazio, e passeggiate Casuali e Pure, dove i collegamenti della catena di polimero stanno non-interagendo e collegamenti sono gratis a posi in cima all'un l'altro. Il primo tipo è molto applicabile a sistemi fisici, ma le loro soluzioni sono più dure ottenere a da primi principi.
Considerando un liberamente articolato, non-interagendo catena di polimero, il vettore di fine-a-fine è dove è la posizione di vettore dell'i-th collegamento nella catena. Come un risultato del teorema di limite centrale, se N >> 1 poi il noi c'aspettiamo una distribuzione di Gaussian per il vettore di fine-a-fine. Noi possiamo fare anche asserzioni delle statistiche dei collegamenti loro;
; dall'isotropy di spazio
; tutti i collegamenti nella catena sono uncorrelated con l'un l'altro
Usando le statistiche dell'indivudal collega, è mostrato facilmente che e. Noti questo ultimo risultato è lo stesso come quello trovato per passeggiate casuali in durata.
Presumendo, come affermato, che quella distribuzione di vettori di fine-a-fine per un numero molto grande di catene di polimero identiche è gaussian, la distribuzione di probabilità ha la forma seguente
Che uso è questo a noi? Richiami quello secondo il principio di ugualmente probabile un probabilità di priori, il numero di microstates, O ad un po' di valore fisico è direttamente proporzionale alla distribuzione di probabilità a quel valore fisico, viz;
dove è una costante di proporzionalità arbitraria c. Dato la nostra funzione di distribuzione, ci sono un massimo che corrispondono a. Fisicamente questo ammonta a là essendo più microstates che ha un vettore di fine-a-fine di 0 che alcun altro microstate. Ora considerando
dove è il Helmholtz energia gratis F è banale per mostrare quello
Una primavera di Hookian!
Questo risultato è noto come l'Entropic Primavera Risultato ed ammontari a dicendo quell'allo stiro L'una catena di polimero facendo lavori sul sistema per trascinarlo via da suo (preferì) stato di equilibrio. Un esempio di questo è un nastro elastico e comune, compose di catena lunga (ricopra di gomma) i polimeri. Stirando L'il nastro elastico facendo lavori sul sistema ed il nastro si comporta da primavera convenzionale. Quello che sta stupendo particolarmente comunque su questo risultato, è che il lavoro fatto nello stirare la catena di polimero può essere riferito completamente al cambio in entropia del sistema come un risultato dell'allungamento.
[compili]
Veda anche
Teorema di dissipazione di fluttuazione
Importanti Pubblicazioni in Meccaniche Statistiche
Elenco di manuali notabili in meccaniche statistiche
Ising Model
Cattiva teoria di campo
Ludwig Boltzmann
Paul Ehrenfest
Limite termodinamico
Una Tavola di Articoli di Meccaniche Statistici Maxwell Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac
Particella Boson Fermion
Statistiche Suddividono funzione
Proprietà di particles#Statistical identiche
Insieme di Microcanonical | insieme Canonico | il Grande insieme canonico
Statistiche le statistiche di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione di Boltzmann
Derivazione della funzione di sezione
Paradosso di Gibbs
Statistiche di Bose-Einstein le statistiche di Fermi-Dirac
Tommaso-Fermi
benzina di approssimazione in una scatola
gassi in una trappola armonica
Benzina benzina Ideale la benzina di Bose
Debye modella
Condensate di Bose-Einstein
La legge di Planck di radiazione di corpo nera
Fermi gassa
Condensate di Fermion
Chimico
Equilibrio equilibrio Chimico e Classico
[compili]
Referenze
Huang, Kerson (1990). le Meccaniche Statistiche. Wiley, John & Sons Inc. ISBN 0471815187.
Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). la Fisica Termale (2 ed.). W. H. Cittadino Società. ISBN 0716710889.
[compili]
Collegamenti esterni
La filosofia di articolo di Meccaniche Statistico di Lorenzo Sklar per l'Enciclopedia di Stanford della Filosofia.
== Fisica del plasma ==
| |||