Quadrivettore: differenze tra le versioni

Versione delle 02:26, 25 mar 2011

Versione delle 02:32, 25 mar 2011

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è la distanza tra due punti dello spaziotempo.

==NormaProprietà==

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

Nello [[spazio di Minkowski]] la [[Norma (matematica)|norma]] quadratica di un quadrivettore è definita come:<ref>Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).</ref>

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Il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], cioè è uno scalare.

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè (''ct'',''x'',''y'',''z'').

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>{A}^{i}</math> <ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.</ref>.

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Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno la componente temporale. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivata di uno scalare: se <math>\mathbf s</math> è un invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>{A}_{\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math> \frac{ds}{d{x}^{i}}</math>.

==Prodotto scalare==

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite il tensore metrico può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

:<math> \langle \mathbf AU , \mathbf BV \rangle =\sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {AU}^{\mu} {BV}^{\nu}={AU}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{BV}^{\nu}={AU}^{\mu}{BV}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{AU}^{\mu}{BV}_{\mu}</math>.

In modo equivalente, usando la [[notazione di Einstein]]:

:<math>

\mathbf{U \cdot V}

= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}

= \left( \begin{matrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{matrix} \right)

\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)

\left( \begin{matrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{matrix} \right)

= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</math>

==Genere del quadrivettore==