Modello IS-LM: differenze tra le versioni

Versione delle 15:12, 6 mag 2011

Versione delle 21:00, 8 mag 2011

Riga 14:

La domanda di moneta quindi è una funzione differenziabile nelle 2 variabili Y ed r essendo r il tasso di interesse. Essendo L(Y,r) crescente in Y e decrescente in r risulta:

::<math>L_{Y}=\dfrac{\delta L(Y,r)}{\delta Y} >0 </math>

e

::<math>L_{r}=\dfrac{\delta L(Y,r)}{\delta r} <0 </math>

Inoltre poiché gli agenti economici possono detenere esattamente la quantità di moneta offerta dalla Banca centrale allora l'offerta di moneta m deve eguagliare la domanda di moneta L pertanto:

::<math> L(Y,r) = m </math>

Poiché sono soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite o di Dini esiste un intorno di una coppia <math> (Y_{*},r_{*}) </math> e una funzione Y=f(r) soluzione di <math> L(Y,r) = m </math> e risulta:

::<math>\dfrac{dY}{dr}=-\dfrac{L_{Y}(Y,r)}{L_{r}(Y,r)}>0</math>

quindi se il tasso di interesse cresce,deve crescere anche il PIL affinché la domanda di moneta continui ad eguagliare l'offerta di moneta. Quando il tasso di interesse cresce, L decresce in r ma cresce in Y quindi se cresce r e cresce anche il PIL e viceversa l'equilibrio tra domanda e offerta di moneta si mantiene.

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Secondo l'ipotesi keynesiana l'investimento in titoli delle famiglie (risparmio S) non dipende solo dal tasso di interesse ma anche dal livello del reddito (PIL) pertanto S = sY dove s è la propensione marginale al risparmio con 0<s<1. I titoli delle famiglie possono finanziare o l'investimento delle aziende I oppure la spesa pubblica dello Stato G pertanto:

::<math> sY = I(r) + G </math>

La funzione I è decrescente in r infatti minore è il tasso di interesse, minore saranno i prestiti nel mercato dei capitali.

Essendo soddisfatte anche in tal caso le ipotesi del teorema delle funzioni implicite relativamente alla funzione a 2 variabili H(Y,r):=sY-I(r) risulta:

::<math>\dfrac{dY}{dr}=-\dfrac{\frac{dI}{dr}}{s}<0</math>

quindi affinché i risparmi continuino ad eguagliare la spesa pubblica e la spesa per investimenti se cresce r deve decrescere Y e viceversa.

Riga 43:

Ora considerato il sistema dato dalle 2 funzioni implicite sopra indicate dove Y ed r si considerano variabili endogene ed m,G esogene:

::<math>\begin{array}{crl} (1) \quad L(Y,r) = m \\ (2) \quad H(Y,r) = sY-I(r)= G \end{array}</math>

poiché le 2 funzioni L ed H sono differenziabili e il determinante:

::<math> det(J)=\left\vert \begin{array}{cr} \dfrac{\delta H}{\delta Y} & \dfrac{\delta H}{\delta r} \\ \dfrac{\delta L}{\delta Y} & \dfrac{\delta L}{\delta r} \end{array}\right\vert =\left\vert \begin{array}{cr} s & -\dfrac{dI}{dr} \\ L_{Y}(Y,r) & L_{r}(Y,r) \end{array}\right\vert \neq 0 </math>

si può applicare il teorema di invertibilità locale delle funzioni allora esistono 4 valori

::<math> Y_{*},r_{*},G_{*}=H(Y_{*},r_{*}),m_{*}=L(Y_{*},r_{*}) </math> tali che :

::<math> \left( \begin{array}{cr} s & -\dfrac{dI(r_{*})}{dr} \\ L_{Y}(Y_{*},r_{*}) & L_{r}(Y_{*},r_{*}) \end{array}\right) \left( \begin{array}{cr} dY\\dr\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cr} dG\\dm\end{array}\right)</math>

Calcolando la matrice inversa di J e risolvendo il sistema si ottiene:

::<math>

\begin{array}{crl}

(3) \quad dY=\dfrac{L_{r}(Y_{*},r_{*})}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dG+\dfrac{\dfrac{dI(r_{*})}{dr}}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dm \\

(4) \quad dr=\dfrac{-L_{Y}(Y_{*},r_{*})}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dG+\dfrac{s}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+\dfrac{dI(r_{*})}{dr}L_{r}(Y_{*},r_{*})}dm

\end{array}

</math>