Matematica inversa: differenze tra le versioni

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Insiemi più ampi dei numeri reali, compresi tutti gli [[Insieme di Borel|insiemi di Borel]], possono essere codificati per mezzo di numeri reali con le relazioni di appartenenza esprimibili con l'[[aritmetica del secondo ordine]]. La differenza primaria fra la matematica classica nella teoria degli insiemi ([[ZFC]]) e nell'aritmetica del second'ordine è che in quest'ultima si usano codici degli insiemi invece che gli insiemi stessi (tranne che per gli insiemi di numeri interi).

Con una formalizzazione corretta, la maggior parte dei teoremi generali sono effettivamente equivalenti all'assioma canonico minimo richiesto per la loro dimostrazione. La maggior parte dei risultati di base nell'analisi e nell'algebra sono provabili in WKL<sub>0</sub >, la cui consistenza logica equivale a quella dell'aritmetica ricorsiva primitiva e in cui lilil repertorio di funzioni dimostrabilmente ricorsive consiste delle funzioni ricorsive primitive.

I teoremi aritmetici di base possono essere dimostrati nell'aritmetica di funzione esponenziale (EFA), che oltre agli assiomi di base per somma, moltiplicazione e l'elevamento a potenza, include l'assioma di induzione per le formule limitate da quantificatori. EFA basta, tra l'altro, per dimostrare che la teoria dei campi reali chiusi, e quindi anche la geometria classica, è completa.