Modello IS-LM: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
dinamica del modello nel dominio di s |
|||
Riga 74:
#Se non c'è variazione di spesa pubblica e diminuisce l'offerta di moneta il Pil diminuisce ma il tasso di interesse aumenta.
==Dinamica del Modello IS-LM nel dominio del tempo==
Dopo avere valutato la statica comparata del Modello IS-LM è opportuno valutarne anche la dinamica. In particolare è possibile valutare in che modo variano in funzione del tempo il PIL Y e il tasso di interesse r, che costituiscono le nostre variabili di stato, a partire da uno stato iniziale prestabilito sotto l'effetto di un prestabilito ingresso nel sistema costituito dalla spesa pubblica G e dall'offerta di moneta m della Banca Centrale.
Poiché il PIL cresce quando la domanda (spesa pubblica più investimenti) supera i risparmi e il tasso di interesse cresce quando la domanda di moneta supera l'offerta si ha :
Riga 175:
Si nota che essendo s,b,k, <math>\sigma</math> quantità positive gli autovalori della matrice A sono sia nel caso reale che nel caso complesso coniugato con parte reale negativa quindi calcolando il limite per t tendente a infinito dello stato del sistema (vettore 2x1 le cui componenti sono il PIL e il tasso di interesse) si nota che il PIL e il tasso di interesse convergono sempre verso lo stato stazionario, pertanto il modello IS LM è asintoticamente stabile. La convergenza verso lo stato stazionario può avvenire o crescendo o decrescendo oppure oscillando.
==Dinamica del Modello IS-LM nel dominio di s==
Trasformando secondo Laplace ambo i membri del sistema di equazioni differenziali e lineari :
:<math>\left( \begin{array}{c}
\dfrac{dY_{1}(t)}{dt} \\ \dfrac{dr_{1}(t)}{dt} \end{array}\right)=
A\left( \begin{array}{c} Y_{1}(t) \\ r_{1}(t) \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c} G(t) \\ -m(t) \end{array}\right)</math>
si ottiene :
:<math>s\left( \begin{array}{c} Y_{1}(s) \\ r_{1}(s) \end{array}\right)-\left( \begin{array}{c}
Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)=
A\left( \begin{array}{c} Y_{1}(s) \\ r_{1}(s) \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c} G(s) \\ -m(s) \end{array}\right)</math>
che risulta uguale a :
:<math>\left( \begin{array}{c} Y_{1}(s) \\ r_{1}(s) \end{array}\right)=(sI-A)^{-1}\left( \begin{array}{c} Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+(sI-A)^{-1}\left( \begin{array}{c} G(s) \\ -m(s) \end{array}\right)</math>
In particolare risulta nel caso di autovalori della matrice A reali e distinti <math>\lambda_{1} \quad \lambda_{2}</math>:
:<math>(sI-A)^{-1}=\dfrac{R_{1}}{s-\lambda_{1}}+\dfrac{R_{2}}{s-\lambda_{2}}</math>
con :
:<math>R_{1}=(sI-A)^{-1}(s-\lambda_{1})|_{s=\lambda_{1}} \quad R_{2}=(sI-A)^{-1}(s-\lambda_{2})|_{s=\lambda_{2}}</math>
Quindi risulta :
:<math>\left( \begin{array}{c} Y_{1}(s) \\ r_{1}(s) \end{array}\right)=\left(\dfrac{R_{1}}{s-\lambda_{1}}+\dfrac{R_{2}}{s-\lambda_{2}}\right)\left( \begin{array}{c} Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\left(\dfrac{R_{1}}{s-\lambda_{1}}+\dfrac{R_{2}}{s-\lambda_{2}}\right)\left( \begin{array}{c} G(s) \\ -m(s) \end{array}\right)</math>
Antitrasformando secondo Laplace si ottiene :
:<math>\left( \begin{array}{c}
Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}
Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+(R_{1}e^{\lambda_{1}t}+R_{2}e^{\lambda_{2}t})\left( \begin{array}{c}
Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\Psi^{-1}\left(\left(\dfrac{R_{1}}{s-\lambda_{1}}+\dfrac{R_{2}}{s-\lambda_{2}}\right)\left( \begin{array}{c}
G(s) \\ -m(s) \end{array}\right)\right)</math>
Nel caso di autovalori della matrice A complessi coniugati si ottiene :
:<math>(sI-A)^{-1}=\dfrac{R_{1a}+jR_{1b}}{s-\alpha-j\omega}+\dfrac{R_{1a}-jR_{1b}}{s-\alpha+j\omega}</math>
e quindi :
:<math>(sI-A)^{-1}=2R_{1a}\dfrac{s-\alpha}{(s-\alpha)^{2}+\omega^{2}}-2R_{1b}\dfrac{\omega}{(s-\alpha)^{2}+\omega^{2}}</math>
con :
:<math>R_{1a}=(sI-A)^{-1}(s-\alpha-j\omega)|_{s=\alpha+j\omega} \quad R_{1b}=(sI-A)^{-1}(s-\alpha+j\omega)|_{s=\alpha-j\omega}</math>
Antitrasformando secondo Laplace si ottiene:
:<math>\left( \begin{array}{c}
Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}
Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+(R_{1a}e^{\alpha t}\cos \omega t-R_{1b}e^{\alpha t}\sin \omega t)\left( \begin{array}{c}
Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\Psi^{-1}\left((sI-A)^{-1}\left( \begin{array}{c}
G(s) \\ -m(s) \end{array}\right)\right)</math>
== Equazioni della curva LM ==
| |||