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Pertanto il cubo metallico è un insieme di infiniti punti la cui cardinalità dipende dall'assioma del continuo.
===Statica comparata del Modello Classico===
È possibile valutare quali sono le conseguenze su [[PIL]], [[disoccupazione|occupazione]], [[indice dei prezzi al consumo|livello dei prezzi]] e [[tasso di interesse]] di una variazione della [[spesa pubblica]] e dell'[[offerta di moneta]] da parte della [[Banca centrale]], mettendo assieme il [[Modello IS-LM]] keynesiano e il modello [[Modello AD-AS]].
Secondo l'ipotesi keynesiana l'investimento in [[Titolo (finanza)|titoli]] delle famiglie (risparmio S) non dipende solo dal tasso di interesse, ma anche dal livello del reddito (PIL) pertanto S = sY dove s è la [[propensione marginale al risparmio]] con 0<s<1. I titoli delle famiglie possono finanziare o l'investimento delle aziende I(r) con r tasso di interesse oppure la spesa pubblica dello Stato G pertanto:
:<math>(1) \quad sY = I(r) + G </math>
La funzione I è decrescente in r infatti minore è il tasso di interesse più le imprese saranno propense a investire perché otterranno prestiti nel mercato dei capitali ad un tasso più basso. Pertanto:
:<math> I^{'}(r)<0 </math>
Nel nostro sistema economico tutte le attività si suddividano in 2 categorie: quelle che maturano interessi dette "titoli" e quelle che non fruttano alcun interesse dette "moneta".
La domanda di moneta è la quantità di moneta di cui hanno bisogno le famiglie per provvedere agli acquisti. Essa cresce con l'aumentare del PIL infatti se il PIL cresce aumenta la necessità di moneta da parte delle famiglie per effettuare le proprie transazioni, mentre decresce con l'aumentare del tasso di interesse dei titoli perché le famiglie riterranno più conveniente investire in titoli piuttosto che possedere moneta.
La domanda di moneta quindi è una funzione differenziabile nelle 2 variabili Y ed r essendo r il tasso di interesse. Essendo L(Y,r) crescente in Y e decrescente in r risulta:
:<math>L_{Y}(Y_{*},r_{*})=\dfrac{\delta L}{\delta Y} >0 </math>
:e
:<math>L_{r}(Y_{*},r_{*})=\dfrac{\delta L}{\delta r} <0 </math>
La domanda di moneta cresce in maniera proporzionale al livello dei prezzi infatti ad esempio quando i prezzi raddoppiano occorre una quantità doppia di moneta pertanto:
:<math> M_{D}= p*L(Y,r) </math>
Inoltre poiché gli agenti economici possono detenere esattamente la quantità di moneta offerta dalla Banca centrale allora l'offerta di moneta deve eguagliare la domanda di moneta pertanto:
:<math>(2) \quad p*L(Y,r) = M </math>
Ipotizzando che tutto il commercio si basi sullo scambio di beni e lavoro, la quantità di beni che un'azienda deve cedere in cambio di un'ora di lavoro si dice salario reale. Ma poiché il lavoro viene venduto in cambio di denaro e non di beni il salario reale è dato dal rapporto tra il salario nominale W e il prezzo P dei beni.
Considerato che il profitto di tutte le imprese facenti parte dell'economia è dato dalla differenza tra il PIL e il costo del lavoro impiegato:
:<math> \Pi = f(N) - \dfrac{W}{P}N </math>
dove f(N) è il PIL che cresce con l'aumentare del numero di occupati N e supponendo inoltre che la funzione f(N) sia concava e cioè che cresca in misura sempre minore al crescere di N perché il lavoro è impiegato con una quantità fissa di capitale, pertanto risulta:
:<math> \dfrac{d(f(N))}{dN}>0</math>
:e
:<math>\dfrac{d^{2}(f(N))}{dN}<0 </math>
Dove per il PIL risulta l'equivalenza:
:<math>(3) \quad Y = f(N) </math>
Poiché le imprese tendono a massimizzare il profitto, calcolando la derivata del profitto e ponendola uguale a 0 si ha che la domanda di lavoro da parte delle imprese è:
:<math> \dfrac{d(f(N))}{dN} = \dfrac{W}{P} </math>
I lavoratori decidono la quantità di lavoro da offrire in base al salario reale uguale al rapporto tra il salario nominale e il livello dei prezzi percepito.
Chiaramente l'offerta di lavoro aumenta con l'aumentare del salario reale perché potendo guadagnare di più le persone sono più propense a lavorare, inoltre al crescere del tasso di interesse il salario reale deve aumentare per convincere le persone a lavorare piuttosto che a investire in titoli quindi calcolando la funzione offerta di lavoro S si ha:
:<math>\dfrac{W}{P}=S(r,N)</math> con le derivate parziali entrambe positive: <math>S_{r}>0 \quad S_{N}>0</math>
Ricavando W/P dalla precedente relazione e sostituendola nell'altra si ottiene:
:<math>(4) \quad f^{'}(N) = S(r,N) </math>
Ora considerato il sistema dato dalle 4 funzioni implicite sopra indicate dove P, r, Y, N si considerano variabili endogene ed M, G esogene:
:<math>\begin{array}{l}
(1) \quad T(Y,r) = -sY+I(r)= -G \\
(2) \quad L(Y,r) = \dfrac{M}{P} \\
(3) \quad Y = f(N) \\
(4) \quad S(r,N)=f^{'}(N)
\end{array}</math>
poiché le 4 funzioni T, L, Y, S sono differenziabili e il determinante:
:<math> det(J)=det\left( \begin{array}{cccc}
0 & \dfrac{dI(r_{*})}{dr} & -s & 0 \\
\dfrac{M}{p^{2}} & L_{r}(Y_{*},r_{*}) & L_{y}(Y_{*},r_{*}) & 0 \\
0 & 0 & 1 & - \dfrac{dF(N_{*})}{dN} \\
0 & -S_{r}(N_{*},r_{*}) & 0 & -S_{N}(N_{*},r_{*})+\dfrac{d^{2}F(N_{*})}{dN} \end{array}\right) \neq 0 </math>
si può applicare il teorema di invertibilità locale delle funzioni allora esistono 6 valori:
:<math> Y_{*},r_{*},P_{*},N_{*},G_{*}=-T(Y_{*},r_{*}),M_{*}=L(Y_{*},r_{*})P_{*} </math>
tali che:
:<math>\left( \begin{array}{cccc}
0 & \dfrac{dI(r_{*})}{dr} & -s & 0 \\
\dfrac{M}{p^{2}} & L_{r}(Y_{*},r_{*}) & L_{y}(Y_{*},r_{*}) & 0 \\
0 & 0 & 1 & - \dfrac{dF(N_{*})}{dN} \\
0 & -S_{r}(N_{*},r_{*}) & 0 & -S_{N}(N_{*},r_{*})+\dfrac{d^{2}F(N_{*})}{dN} \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc}dp \\ dr \\ dY \\dN \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{cc}-dG \\ \dfrac{1}{p}dM \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) </math>
Calcolando la matrice inversa di J e risolvendo il sistema si ottiene:
:<math>
\begin{array}{l}
(5) \quad dp=\dfrac{p^{2}(L_{r}S_{N}-L_{r}f^{''}(N)-L_{Y}S_{r}f^{'}(N))}{(I^{'}(r)S_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS_{r}f^{'}(N))M}dG +\dfrac{p}{M}dM\\
(6) \quad dr=\dfrac{f^{''}(N)-S_{N}}{I^{'}(r)S_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS_{r}f^{'}(N)}dG\\
(7) \quad dY=\dfrac{S_{r}f^{'}(N)}{I^{'}(r)S_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS_{r}f^{'}(N)}dG\\
(8) \quad dN=\dfrac{S_{r}}{I^{'}(r)S_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS_{r}f^{'}(N)}dG
\end{array}</math>
La prima cosa che si nota è che la politica monetaria, cioè la variazione dell'offerta di moneta da parte della Banca centrale dM, ha effetti solo sull'inflazione p e non sul tasso di interesse r, sul PIL Y e sul numero di occupati N per cui se aumenta l'offerta di moneta cresce l'inflazione, se diminuisce l'offerta di moneta diminuisce anche l'inflazione, mentre non è possibile valutare l'effetto dell'incremento o del decremento della spesa pubblica sull'inflazione in quanto nella (5) il termine dG viene moltiplicato per una quantità il cui segno non può essere valutato.
Mettendo assieme la (7) e la (8) si ottiene :
:<math> dN=\dfrac{dY}{f^{'}(N)} </math>
e siccome il termine <math> f^{'}(N)>0 </math> allora se il PIL aumenta cresce anche il numero di occupati, se il PIL diminuisce, diminuisce anche il numero di occupati .
Quindi volendo studiare la (6), la (7) e la (8) l'unico problema che sorge è quello di valutare il segno della disequazione nel punto di equilibrio:
:<math> (9) \quad I^{'}(r)S_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS_{r}f^{'}(N)>0 </math>
che risulta uguale a :
:<math> I^{'}(r)(f^{''}(N)-S_{N})<sS_{r}f^{'}(N) </math>
Si nota che ambo i membri della disequazione sono positivi per cui affinché la disequazione sia soddisfatta occorre che il primo membro della disequazione sia una quantità positiva minore del secondo membro.
Poiché la funzione I è decrescente in r e la derivata di una funzione in un punto equivale alla tangente trigonometrica dell'angolo <math>\alpha</math> formato dalla tangente geometrica alla funzione in quel punto con l'asse delle ascisse, poiché la funzione tangente è crescente in <math>\alpha</math> , affinché la derivata di I sia sufficientemente piccola occorre che <math>\alpha</math> sia il più piccolo possibile e quindi occorre che {{senza fonte|r sia sufficientemente grande e ciò comporta che vi siano pochi investimenti da parte delle imprese. Stesso ragionamento si può fare per la derivata parziale di S rispetto a N per cui occorre che il salario reale sia basso.}} Occorre poi che la propensione marginale al risparmio sia sufficientemente grande e che le persone interessate a investire in titoli piuttosto che a lavorare siano molte. In tal modo la disequazione (9) risulta soddisfatta.
====Casi corretti di politica di bilancio====
#Se la disequazione (9) è soddisfatta un aumento della spesa pubblica fa aumentare il PIL e il numero di occupati mentre fa crescere il tasso di interesse.
#Se la disequazione (9) non è soddisfatta una diminuzione della spesa pubblica fa crescere il PIL e il numero di occupati mentre fa decrescere il tasso di interesse.
====Casi errati di politica di bilancio====
#Se la disequazione (9) è soddisfatta una diminuzione della spesa pubblica fa decrescere il PIL e il numero di occupati mentre fa crescere il tasso di interesse.
#Se la disequazione (9) non è soddisfatta un aumento della spesa pubblica fa decrescere il PIL e il numero di occupati mentre fa crescere il tasso di interesse e l'inflazione.
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