Modello IS-LM: differenze tra le versioni

Versione delle 02:20, 17 dic 2014

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:<math> L(Y,r) = m </math>

Poiché sono soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite o di Dini esiste un intorno di una coppia <math> (Y_{*},r_{*}) </math> e una funzione <math> Y=f(r) </math> soluzione di <math> L(Y,r) = m </math> e risulta:

:<math>\dfrac{dY}{dr}=-\dfrac{L_{Y}(Y,r)}{L_{r}(Y,r)}>0</math>

Riga 64:

</math>

Essendo nell'equazione 3) i termini che moltiplicano dG e dm tutti positivi, mentre nell'equazione 4) uno positivo e l'altro negativo esistono 8 possibilità di politica fiscale e monetaria:

#Se aumenta l'offerta di moneta della Banca centrale ed aumenta la spesa pubblica di sicuro aumenta il PIL ma non si può dire nulla sulla variazione del tasso di interesse.

#Se aumenta l'offerta di moneta e diminuisce la spesa pubblica di sicuro il tasso di interesse diminuisce ma nulla si può dire sulla variazione del PIL.

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:<math>\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\varphi_2(kY_*-\sigma r_*-m)=0</math>

Essendo le funzioni <math>\varphi_{1}</math>, <math>\varphi_{2}</math> lineari e crescenti in base alle ipotesi allora esistono le loro rispettive funzioni inverse e si ha :

:<math>-s\varphi_{1}(Y_{*})+\varphi_1(G)-b\varphi_1(r_{*})=0</math>

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:<math>\left(\begin{array}{c}

\frac{\mathrm{d}Y_{1}(t)}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}r_{1}(t)}{\mathrm{d}t} \end{array}\right)=

\left( \begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} Y_{1}(t) \\ r_{1}(t) \end{array}\right)+

\left( \begin{array}{c} G(t) \\ -m(t) \end{array}\right)</math>

Calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice :

:<math>A:=\left(\begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)</math>

e applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori reali e distinti si ha :

Riga 157:

:<math>\left( \begin{array}{c}

Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}

Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+T^{-1}e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \cos \omega t \end{array}\right)T\left( \begin{array}{c}

Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c}

Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)_{f}</math>

Riga 169:

e

<math>\left(\begin{array}{c}Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)_{f}=\int_{0}^{t}T^{-1}e^{\alpha (t-\tau)}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega (t-\tau) & \sin \omega (t-\tau) \\ -\sin \omega (t-\tau) & \cos \omega (t-\tau) \end{array}\right)T\left( \begin{array}{c}

G(\tau) \\ -m(\tau) \end{array}\right)\mathrm{d}\tau</math>

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La curva LM indica tutte le possibili combinazioni dei livelli del [[reddito]] reale e del [[tasso di interesse]] per le quali vi è uguaglianza tra la domanda e l'offerta di moneta in termini reali. Si denotano in quanto segue il [[tasso di interesse]] prevalente nel mercato delle attività finanziarie con <math>\ i</math>, e il [[reddito]] nazionale con <math>\ Y</math>.

Si supponga esogena e costante l'offerta di moneta <math>\ M_s=M_{0}</math> (''s'' sta per ''supply'' - ''offerta'', in [[Lingua inglese|inglese]], <math>\ M_{0}</math> indica una quantità data), e una domanda di moneta che dipende dal reddito, (considerando per semplicità una [[funzione lineare]] <math>\ z + kY</math>), e inversamente correlata al tasso di interesse, dunque tale che:

::<math>\ M_d = kY + z - hi</math>