Forma indeterminata

Nella matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale, le scritture

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad \infty -\infty }$

individuano le cosiddette forme indeterminate. Se f(x) e g(x) si avvicinano entrambi a 0 quando x si avvicina a qualche numero, o x tende all'∞, a +∞ o a −∞, allora può accadere che

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}}$

si avvicini a un qualsiasi numero reale, a +∞ o a −∞, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla retta reale (estesa); il comportamento del rapporto dipende dalle caratteristiche delle funzioni f e g. Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza. Per la prima forma, ad esempio,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\sin(x) \over x}=1}$ ,

mentre

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 49}{x-49 \over {\sqrt {x}}\,-7}=14}$ .

La sostituzione diretta delle funzioni a numeratore e a denominatore con i corrispondenti limiti per entrambe i precedenti rapporti porta alla forma indeterminata 0/0, mentre i limiti di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a 1 e 14 rispettivamente.

Per altri rapporti che conducono alla forma indeterminata il limite non esiste.

In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la regola di de L'Hôpital, o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

Tavola

Forma	Condizione	Risoltati	Transformazione
${\displaystyle \lim f(x)/g(x)}$	${\displaystyle \lim f(x)=0}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=0}$	${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$	none needed
${\displaystyle \lim f(x)/g(x)}$	${\displaystyle \lim f(x)=\pm \infty }$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\pm \infty }$	${\displaystyle \pm {\frac {\infty }{\infty }}}$	none needed
${\displaystyle \lim f(x)\cdot g(x)}$	${\displaystyle \lim f(x)=0}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\pm \infty }$	${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim {\frac {f(x)}{1/g(x)}}}$
${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}}$	${\displaystyle \lim f(x)=1}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\infty }$	${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle e^{(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}})}}$
${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}}$	${\displaystyle \lim f(x)=0}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=0}$  [1]	${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle e^{(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}})}}$
${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}}$	${\displaystyle \lim f(x)=\infty }$ , ${\displaystyle \lim g(x)=0}$	${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle e^{(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}})}}$
${\displaystyle \lim(f(x)-{g(x))}}$	${\displaystyle \lim f(x)=\infty }$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\infty }$	${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \ln(\lim {\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}})}$

Limite notevole del tipo ${\displaystyle \infty \over \infty }$

Consideriamo la successione:

${\displaystyle {P_{p}(n) \over Q_{q}(n)}}$  ${\displaystyle ={{a_{p}n^{p}+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_{1}n+a_{0}} \over {b_{p}n^{p}+b_{p-1}n^{p-1}+...+b_{1}n+b_{0}}}}$ 

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata ${\displaystyle \infty \over \infty }$  .

Raccogliendo ${\displaystyle n^{p}}$  al numeratore e ${\displaystyle n\cdot q}$  al denominatore si ha: ${\displaystyle n^{p-q}{{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+...+a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-}p} \over {b_{p}+b_{p-1}n^{-1}+...+b_{1}n^{1-p}+b_{0}n^{-}p}}}$ 

cioè

${\displaystyle n^{p-q}c_{n}}$ 

dove:

${\displaystyle c_{n}={{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+...+a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-}p} \over {b_{p}+b_{p-1}n^{-1}+...+b_{1}n^{1-p}+b_{0}n^{-}p}}}$ 

poiché ${\displaystyle n^{-k}\rightarrow 0}$ qualunque sia ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$  non nullo si ha:

${\displaystyle a_{n}={{P_{p}(n)} \over {Q_{q}(n)}}}$  vale:

• ${\displaystyle {a_{p} \over b_{q}}\ \mathbf {se} \ p=q}$ 
• ${\displaystyle sign({a_{p} \over b_{q}})\infty \ \mathbf {se} \ p\geq q}$ 
• ${\displaystyle 0\ \mathbf {se} \ p\leq q}$ 

poiché ${\displaystyle n^{p-q}}$  vale:

• ${\displaystyle 1\ \mathbf {se} \ p=q}$ 
• ${\displaystyle +\infty \ \mathbf {se} \ p\geq q}$ 
• ${\displaystyle 0\ \mathbf {se} \ p\leq q}$ 

Voci correlate

• Tavola dei limiti notevoli
• Limite