Utente:^musaz/Sandbox4

Si consideri di applicare l'operatore di traslazione Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T(\epsilon )} per una trasformazione infinitesima, dove Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \epsilon } rappresenta la lunghezza di tale traslazione, allora

${\displaystyle T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$

Il teorema di Noether per la lagrangiana afferma che per ogni simmetria della lagrangiana vi è una quantità conservata pari a

${\displaystyle \int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\epsilon )}$

Se ${\displaystyle T(\epsilon )}$ è una funzione analitica (o semplicemente differenziabile), allora è possibile scrivere:

${\displaystyle T(\epsilon )\psi (x)=\psi (x+\epsilon )=\psi (x)+\epsilon {d \over dx}\psi (x)=exp\left(\epsilon {d \over dx}\right)\psi (x)}$

e quindi, supponendo la stessa cosa per Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T(\epsilon )} ,

${\displaystyle T(\epsilon )=1-\epsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\epsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$

Se identifichiamo ora la quantità tra parentesi con:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}}$

osserviamo che l'espressione di Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T(\epsilon )}

${\displaystyle T(dx)=1-{i \over \hbar }\epsilon {\hat {p}}}$

è formalmente identica all'espressione della funzione generatrice

${\displaystyle {\mathcal {F}}(x,p')=xp'+pdx}$

della trasformazione canonica

${\displaystyle x'=x+dx}$

${\displaystyle p'=p}$

che rappresenta la traslazione infinitesima, essendo ${\displaystyle x,p'}$ la funzione generatrice della trasformazione identica, dove Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x} , Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle p} sono rispettivamente posizione e impulso classici.
Quindi Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\hat {p}}} è l'equivalente dell'impulso classico a meno della costante di plank Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \hbar } , essendo il generatore della traslazione infinitesima Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T(\epsilon )} : esso è l'operatore impulso.

Note