Punto materiale

Si definisce punto materiale, in fisica, un corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto al fenomeno in studio. Ad esempio un pianeta può essere considerato un punto materiale in un problema di meccanica celeste, un atomo in un problema di meccanica statistica e così via.

La massa grigia può essere semplificata rappresentandola come un punto materiale (ossia un corpo puntiforme dotato di massa). In fisica quest'approssimazione è utilizzata per descrivere la dinamica di corpi estesi quando è possibile trascurarne la struttura interna (come nel caso dell'approssimazione di corpo rigido). Nell'immagine il corpo (in grigio) è approssimato come un punto materiale nel suo centro di massa (in nero). Tutta la massa del corpo è concentrata in un punto.

Sto cazzo

Trattazione analitica

È possibile dare una descrizione matematicamente rigorosa del punto materiale attraverso l'uso dell'analisi funzionale e della distribuzione delta di Dirac.

Supponiamo di avere un corpo di massa m = 1 kg di forma cubica (anche se la forma non è essenziale). Se lo spigolo del cubo è ${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{n}}}$ , con n intero positivo, la densità del cubo deve essere:

${\displaystyle \rho (x,y,z)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}\operatorname {max} (|x|,|y|,|z|)>1/2n\\n^{3},&{\mbox{se }}\operatorname {max} (|x|,|y|,|z|)\leq 1/2n\end{matrix}}\right.}$ 

in modo tale che la densità, integrata su tutto lo spazio, dia 1:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\rho {\mbox{d}}x{\mbox{d}}y{\mbox{d}}z=n^{3}\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}x\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}y\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}z=n^{3}\left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)=1}$ 

Interpretando la funzione densità come un funzionale ${\displaystyle F_{n}}$  sullo spazio delle funzioni di prova ${\displaystyle \varphi }$  su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , si dimostra facilmente la convergenza (nel senso delle distribuzioni) al funzionale delta di Dirac:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|F_{n}-\varphi (0,0,0)\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\rho \varphi (x,y,z){\mbox{d}}x{\mbox{d}}y{\mbox{d}}z-\varphi (0,0,0)\right|=}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{|x|,|y|,|z|\leq 1/2n}\left|\varphi (x,y,z)-\varphi (0,0,0)\right|=0}$ 

dove l'ultimo passaggio è dovuto alla continuità di ${\displaystyle \varphi }$  in un intorno dell'origine.

In altre parole, per n che tende all'infinito, il funzionale ${\displaystyle F_{n}(\varphi )}$  restituisce proprio la funzione di prova ${\displaystyle \varphi }$  calcolata nell'origine: ma questa è proprio la definizione di delta di Dirac. Più fisicamente, si osserva che all'aumentare di n la densità esplode all'infinito, mentre il cubo diventa sempre più piccolo; le cose però si bilanciano al momento di calcolare la massa del corpo, che risulta essere sempre uguale a 1.

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