Teorema binomiale

Il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-ma di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

in cui il fattore ${\displaystyle {n \choose k}}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con: ${\displaystyle \left({\frac {n!}{k!(n-k)!}}\right)}$. La formula vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, n = 2, n = 3 ed n = 4:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.\,}$

Prima dimostrazione

Il Teorema binomiale può essere dimostrato per induzione.

Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

${\displaystyle (a+b)_{}^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b}$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

${\displaystyle (a+b)_{}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k}}$

sicuramente vera per n=1

si ha

${\displaystyle (a+b)^{n+1}\,}$${\displaystyle =(a+b)(a+b)^{n}\,}$

${\displaystyle =(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}$

da cui, essendo

${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}}$

ed

${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}$ ${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}$

si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale

${\displaystyle (a+b)^{n+1}\,}$ ${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}\,}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}}$

essendo infine ${\displaystyle \ {n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1}$ e ${\displaystyle \ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1}$

si ha che

${\displaystyle \ {n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}}$

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

${\displaystyle \ (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}}$

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione

Se scriviamo ${\displaystyle (a+b)_{}^{n}}$ come il prodotto

${\displaystyle (a+b)(a+b)(a+b)\,}$ ${\displaystyle \ldots }$

con n fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine ${\displaystyle a^{(n-k)}b_{}^{k}}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo ${\displaystyle n-k\,}$ volte ${\displaystyle a\,}$ e ${\displaystyle k\,}$ volte ${\displaystyle b\,}$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${\displaystyle {n \choose k}}$.

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di ${\displaystyle k\,}$ da ${\displaystyle 0\,}$ a ${\displaystyle n\,}$, si ha subito la tesi.

Voci correlate

• Trinomio di Newton
• Triangolo di Tartaglia
• Teorema multinomiale
• Coefficiente binomiale

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica