Teorema di Lagrange

Disambiguazione – Se stai cercando il teorema di Lagrange nella teoria dei gruppi, vedi Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi).

In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale.

Idea intuitiva

 

Teorema di Lagrange

Supponiamo una funzione di variabile reale a valori reali f(x) definita nell'intervallo che va dal punto a al punto b, come nell'immagine a fianco, sufficientemente "liscia", cioè tale che essa è continua e ogni suo punto ha una tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate, e tracciamo la retta secante il grafico che passa per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)), gli estremi di f(x) nell'intervallo considerato (in arancione): essa intersecherà f(x) almeno in due punti, inizialmente: f(a) e f(b).

Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, tangente alla curva nel punto (c,f(c)): il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate esiste almeno un punto di ascissa c, come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.

Enunciato

Sia ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$  continua in [a, b] e derivabile in (a, b); allora

${\displaystyle \exists \ c\ \in (a,b)\ :f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

Dimostrazione

Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il teorema di Rolle. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi di Lagrange

Sia g(x) la seguente funzione lineare:

${\displaystyle g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$ 

Si tratta della retta passante per i punti ${\displaystyle \,A}$  ${\displaystyle \,B}$  della figura.

Sia ora h(x) la differenza tra le due funzioni f(x) e g(x): ${\displaystyle \,h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)}$ 

${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)\,}$ 

${\displaystyle g(a)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(a-a)=f(a)}$ 

${\displaystyle g(b)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)=f(a)+f(b)-f(a)=f(b)}$ 

Quindi h(x) si annulla nei punti a e b (vi assume quindi valori identici):

${\displaystyle h(a)=f(a)-g(a)=0\qquad \qquad h(b)=f(b)-g(b)=0}$ 

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo [a, b], derivabile in (a, b) ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.

La funzione h(x) è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.

Applichiamo quindi il teorema alla funzione h(x), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:

${\displaystyle \exists \ c\in (a,b):h'(c)=0}$ 

${\displaystyle h'(c)=f'(c)-g'(c)=0\Longrightarrow \ f'(c)=g'(c)}$ 

g(x) è una retta, e la derivata prima di una retta è, in ogni suo punto, uguale al suo coefficiente angolare:

${\displaystyle g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

${\displaystyle f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

ed il teorema è così dimostrato.

Osservazione

Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.

Sia ${\displaystyle g(x):x\mapsto x}$  la funzione identità. Applichiamo il teorema di Cauchy ad f(x) e g(x):

${\displaystyle \exists \ c\in (a,b):{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

Estensioni

Funzioni definite in Rⁿ

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Sia ${\displaystyle \,f}$  una funzione reale derivabile su un aperto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ , siano ${\displaystyle \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} }$  due punti di ${\displaystyle \,U}$  tali che il segmento ${\displaystyle [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]=\{t\mathbf {x} +(1-t)\mathbf {y} :t\in [0,1]\}\subseteq U}$ 

allora esiste ${\displaystyle \,\mathbf {\xi } \in (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$  tale che

${\displaystyle f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {\xi } )(\mathbf {y} -\mathbf {x} )}$ 

dove con ${\displaystyle Df}$  indichiamo il differenziale.

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

${\displaystyle \varphi (t)=f(\mathbf {x} +t(\mathbf {y} -\mathbf {x} ))}$  con ${\displaystyle t\in [0,1]}$ 

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

Funzioni a valori su R^m

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ . Infatti sebbene applicabile ad ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia ${\displaystyle \,f}$  una funzione reale derivabile su un aperto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ , contenente il segmento ${\displaystyle [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$ , allora:

${\displaystyle \|f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )\|\leq \sup _{\mathbf {\mathbf {\xi } } \in U}\left\|Df(\mathbf {\xi } )\right\|\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}$ 

Esempi di impiego (corollari)

Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo

Ipotesi:

${\displaystyle f'(x)=0\quad \forall x\in \left(a,b\right)}$ 

Tesi: ${\displaystyle f(x)=k\quad k\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left(a,b\right)}$ 
Dimostrazione:
Prendiamo due punti distinti, ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left[a,b\right]}$ 
Applichiamo il teorema di Lagrange all'intervallo avente come estremi ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ 
ottenendo che
${\displaystyle \exists c\in (a,b):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)}$ 
Da questo si ricava, dall'ipotesi, che ${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0\Longrightarrow \ f(\beta )=f(\alpha )}$ 
.

Monotonia a partire dalla derivata

Derivata non negativa

Il teorema di Lagrange può essere utilizzato per dimostrare che tutte le funzioni derivabili, con derivata prima non negativa, sono monotóne non decrescenti.

Ipotesi: ${\displaystyle f'(x)\geq \ 0\quad \forall x\in \left[a,b\right]}$ 
Tesi: f(x) crescente ${\displaystyle \quad \forall x\in \left[a,b\right]}$ 
Dimostrazione:
Prendiamo due generici, ma diversi, punti ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left[a,b\right]}$ 
Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi vi è anche continua, allora possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ 
ottenendo che
${\displaystyle \exists c\in (a,b):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)}$ 
Da questo si ricava, dall'ipotesi, che ${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\geq \ 0}$ 
A questo punto si presentano due casi:
se ${\displaystyle \alpha <\ \beta \Longrightarrow \ f\left(\alpha \right)\leq \ f\left(\beta \right)}$ 
se ${\displaystyle \alpha \ >\beta \Longrightarrow \ f\left(\alpha \right)\geq \ f\left(\beta \right)}$ 
Ma in entrambi i casi si deduce chiaramente che la funzione è crescente: e dal momento che i due punti erano stati scelti a caso, possiamo dire che la funzione è crescente in [a,b], c.v.d.

Derivata positiva

Ipotesi: ${\displaystyle f'(x)>\ 0\quad \forall x\in \left[a,b\right]}$ 
Tesi: f(x) strettamente crescente ${\displaystyle \quad \forall x\in \left[a,b\right]}$ 
Dimostrazione:
Prendiamo due generici, ma diversi, punti ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left[a,b\right]}$ 
Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua in esso, allora possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ 
ottenendo che
${\displaystyle \exists c\in (a,b):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)}$ 
Da questo si ricava, dato che l'ipotesi ci da informazioni sul segno della derivata in ogni punto, che ${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}>\ 0}$ 
A questo punto si presentano due casi distinti, a seconda dell'ordinamento tra i due punti su cui si è applicato Lagrange:
se ${\displaystyle \alpha <\ \beta \Longrightarrow \ f\left(\alpha \right)\ <f\left(\beta \right)}$ 
se ${\displaystyle \alpha \ >\beta \Longrightarrow \ f\left(\alpha \right)>\ f\left(\beta \right)}$ 
Osservando entrambe le situazioni che scaturiscono è facile osservare come la funzione sia comunque sempre strettamente crescente; e poiché ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left[a,b\right]\quad }$  erano stati scelti arbitrariamente, ne consegue che la funzione è strettamente crescente in [a,b], e questo è quello che dovevamo dimostrare.

Derivata non positiva e derivata negativa

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata

Ipotesi: ${\displaystyle f'(x)\quad }$  è limitata su ${\displaystyle \left[a,b\right]\quad }$  ovvero ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {R} ,k>\ 0:\left|f'(x)\right|\leq \ k}$ 
Tesi: f(x) lipschitziana su ${\displaystyle \quad \left[a,b\right]}$ 
Dimostrazione:
Consideriamo due generici e distinti punti ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left[a,b\right]}$ 
Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, allora possiamo applicare Lagrange ad un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che
${\displaystyle \exists c\in (a,b):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)}$ 
Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere: ${\displaystyle \left|{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\right|\leq \ k}$ 
Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione seguirà la condizione di Lipschitz, c.v.d.

Voci correlate

• Derivata

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