Utente:Cantor26/Sandbox

Trattazione semplificata dell'origine dell'universo

Secondo la Legge di Hubble, scoperta da Edwin Hubble nel 1929,^[1] afferma che esiste una relazione lineare tra il redshift (termine anglo-sassone per designare lo "spostamento verso il rosso") della luce emessa dalle galassie e la loro distanza: tanto maggiore è la distanza della galassia e tanto maggiore sarà il suo redshift. In forma matematica la legge di Hubble può essere espressa come

${\displaystyle z={\frac {H_{0}D}{c}}}$ 

dove z è il redshift misurato della galassia, D è la sua distanza, c è la velocità della luce e H₀ è la costante di Hubble, il cui valore attualmente stimato è attorno a 74 km/s per Megaparsec con un margine d'errore del 4,3%.^[2]

La legge empirica di Hubble è un'importante conferma osservativa della soluzione delle equazioni di Albert Einstein che si ottiene ipotizzando un universo omogeneo isotropo ed in espansione; sotto queste ipotesi Georges Lemaître^[3] aveva dedotto nel 1927 per via teorica una legge, strettamente lineare, che afferma che la velocità di recessione v è direttamente proporzionale alla distanza D (tanto maggiore è la distanza tra due galassie e tanto più alta è la loro velocità di allontanamento reciproco), esprimibile matematicamente con:

${\displaystyle v=H_{0}D\ }$ 

Questa relazione teorica coincide con la precedente legge empirica qualora il redshift z sia direttamente proporzionale alla velocità di recessione v, cioè z=v/c. Il legame tra v e z è lineare solamente per z molto più piccolo di 1 (quindi vale senza dubbio per i redshift molto bassi osservati ai tempi di Hubble ed Humason), mentre per z maggiori dipende dal particolare modello di universo in espansione scelto.

L'idea che sta alla base della cosmologia costruita sulla teoria della gravitazione di Einstein è che la distribuzione di materia fa incurvare lo spazio-tempo . Ad esempio si può verificare che lo spazio-tempo intorno al sole è curvo e la curvatura dipende dalla massa del sole. Se si suppone l'universo omogeneo ed isotropo, in base al principio cosmologico, e quindi la densità di materia dell'universo, data dal rapporto tra la sua massa ed il suo volume è costante, fissato un determinato istante di tempo, allora lo spazio tridimensionale si incurva e la curvatura per il principio cosmologico è costante, ma in un istante di tempo successivo sia la densità che la curvatura saranno diverse, infatti la densità dipende dal volume e il volume dipende dal raggio di curvatura, per cui visto che per la legge di Hubble l'universo si espande anche il raggio di curvatura varierà nel tempo e quindi anche la densità e la curvatura.

Ad esempio una 2-sfera che si può immaginare facilmente si può ottenere facendo incurvare uno spazio bidimensionale e introducendo una terza dimensione, analogamente una 3-sfera si può ottenere facendo incurvare uno spazio tridimensionale solo che risulta più difficile immaginarla, tra l'altro in tal caso introdurre una quarta dimensione spaziale non è assolutamente necessario. Einstein ha dimostrato che esistono 3 tipi di spazi tridimensionali a curvatura costante contraddistinti dal parametro k:

• lo spazio euclideo a curvatura nulla (k=0) a cui siamo abituati
• lo spazio sferico a curvatura positiva (k=1)
• lo spazio iperbolico a curvatura negativa (k=-1)

Nell'ipotesi che lo spazio tridimensionale sia sferico a curvatura positiva, per cui noi viviamo su questa sfera, se ci troviamo in un punto P della sfera, mentre la galassia che staimo osservando si trova in Q nella sfera, la distanza l tra P e Q sarà data dalla lunghezza della geodetica, cioè dell'arco di cerchio massimo, che collega P a Q.La geodetica forma un angolo

${\displaystyle \theta }$  tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione

${\displaystyle \ 2\pi :\theta =2\pi R:l}$ 

si ottiene:

${\displaystyle \ l=R\theta }$ 

Durante l'espansione varia R ma non ${\displaystyle \theta }$  .

Ma per la velocità di allontanamento di P da Q e per la legge di Hubble si ha :

${\displaystyle \ v={\frac {dl}{dt}}=R'\theta ={\frac {R'}{R}}l=Hl}$ 

e quindi :

${\displaystyle H={\dfrac {R'}{R}}}$ 

Pertanto la costante di Hubble è il rapporto tra la velocità di espansione dell'universo e il raggio di curvatura dell'universo. Supponendo che la velocità di espansione sia costante si ottiene un moto uniforme e quindi in un tempo pari all'inverso della costante di Hubble (circa 15 miliardi di anni) il raggio dell'universo doveva essere nullo. In realtà l'espansione dell'universo è in accellerazione per cui l'ipotesi di velocità costante è errata e quindi il risultato non è corretto ma da stime più precise risulta che l'universo esiste da 13,7 miliardi di anni.

Facendo un'opportuna semplificazione si può ipotizzare che lo spazio sia una 2-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio bidimensionale, di cui abbiamo una netta percezione e non una 3-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio tridimensionale, che rappresenta una delle due possibili alternative di spazi a curvatura costante assieme alla spazio iperbolico.

Considerata una galassia al bordo della 2-sfera, per il teorema di Gauss il flusso del campo gravitazionale attraverso la 2-sfera dipende soltanto dalla massa al suo interno pertanto la galassia è sottoposta alla forza gravitazionale di Newton:

${\displaystyle F_{1}=G{\dfrac {Mm}{R^{2}(t)}}}$ 

con m massa della galassia, M massa complessiva dell'universo, G costante gravitazionale, R raggio di curvatura dell'universo (considerato che la galassia è al bordo della 2-sfera).

File:2-sfera.png

Poichè l'universo è in espansione accellerata, allora nell'ipotesi di un sistema di riferimento inerziale la risultante delle forze agenti sulla galassia è diversa da 0 . La direzione della risultante è la stessa della forza gravitazionale ma con verso opposto pertanto si ha:

${\displaystyle F_{2}=-ma=-mR^{''}(t)}$ 

quindi si ottiene l'equazione differenziale :

${\displaystyle R''(t)=-{\dfrac {GM}{R^{2}(t)}}}$ 

Posto R'(t)=z allora ${\displaystyle R''(t)=z'z}$  infatti :

${\displaystyle R''={\dfrac {dz}{dt}}={\dfrac {dz}{dR}}{\dfrac {dR}{dt}}=z'z}$ 

Pertanto :

${\displaystyle \int zdz=-\int {\dfrac {GM}{R^{2}}}dR}$ 

${\displaystyle {\dfrac {z^{2}}{2}}={\dfrac {GM}{R}}+c}$ 

con c costante arbitraria e quindi:

${\displaystyle {\dfrac {dR}{dt}}=z=+-{\sqrt {\dfrac {2(GM+cR)}{R}}}}$ 

da cui :

${\displaystyle \int \left[2\left({\dfrac {GM+cR}{R}}\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}dR=\int dt}$ 

Utilizzando il programma wxMaxima per risolvere l'integrale si ottiene:

${\displaystyle {{G\,M\,\log \left({{{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}-{\sqrt {c}}} \over {{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}+{\sqrt {c}}}}\right)+2\,{\sqrt {c}}\,R\,{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}} \over {2^{{3} \over {2}}\,c^{{3} \over {2}}}}=t-b}$ 

con b costante arbitraria, oppure in altra forma :

${\displaystyle {{-{\sqrt {2}}\,G\,M\,\log \left({\sqrt {c\,R+G\,M}}+{\sqrt {c}}\,{\sqrt {R}}\right)+{\sqrt {2}}\,G\,M\,\log \left({\sqrt {c\,R+G\,M}}-{\sqrt {c}}\,{\sqrt {R}}\right)+2^{{3} \over {2}}\,{\sqrt {c}}\,{\sqrt {R}}\,{\sqrt {c\,R+G\,M}}} \over {4\,c^{{3} \over {2}}}}=t-b}$ 

Definita la funzione :

${\displaystyle t=\varphi (R)={{G\,M\,\log \left({{{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}-{\sqrt {c}}} \over {{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}+{\sqrt {c}}}}\right)+2\,{\sqrt {c}}\,R\,{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}} \over {2^{{3} \over {2}}\,c^{{3} \over {2}}}}+b}$ 

Essendo :

${\displaystyle \varphi '(R)=\left[2\left({\dfrac {GM+cR}{R}}\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}>0}$ 

allora la funzione ${\displaystyle \varphi (R)}$  è sempre crescente per cui esiste la sua funzione inversa R(t) che rappresenta il raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e risulta simmetrica a ${\displaystyle \varphi (R)}$  rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante degli assi cartesiani per cui studiando la funzione ${\displaystyle \varphi (R)}$ , si ottiene:

${\displaystyle R(t)=\varphi ^{-1}(t)}$ 

Quindi poiché risulta :

${\displaystyle \lim _{R\to 0}\varphi (R)=b}$ 

${\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\varphi (R)=+\infty }$ 

${\displaystyle \varphi ''(R)={{G\,M} \over {2^{{3} \over {2}}\,R^{2}\,\left({{c\,R+G\,M} \over {R}}\right)^{{3} \over {2}}}}>0}$ 

La funzione ${\displaystyle \varphi (R)}$  risulta sempre crescente, convessa e divergente a ${\displaystyle +\infty }$  e conseguentemente la funzione R(t) risulta per la simmetria crescente,concava e divergente a ${\displaystyle +\infty }$  .

File:Raggio curvatura.png

Possibile andamento del raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e relativa funzione inversa.

Inoltre la funzione ${\displaystyle \varphi (R)}$  incontra l'asse delle ascisse in un tempo ${\displaystyle t_{*}=b}$  in cui il raggio è nullo . In particolare  :

${\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=0\quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0}$ 

Ma per la simmetria delle 2 funzioni, anche R(t) si annulla in un tempo ${\displaystyle t_{*}=b}$  per cui :

${\displaystyle R(0)=0\quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0}$ 

Ma il fatto che è esistito un tempo in cui il raggio era nullo, essendo la densità dell'universo data dal rapporto tra massa e volume dell'universo,nell'ipotesi di una 2-sfera si ha:

${\displaystyle d={\dfrac {M}{V}}={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}$ 

Pertanto :

${\displaystyle \lim _{R\to 0}d=+\infty }$ 

Ma una densità infinita non può esistere . Ciò comporta l'esistenza di una singolarità cosmologica in cui il raggio dell'universo era nullo. Sotto ipotesi molto più generali , utilizzando la relatività generale i fisici Hawking e Penrose hanno dimostrato che la singolarità R=0 esiste . Per lunghezze inferiori alla lunghezza di Planck bisogna tenere conto della meccanica quantistica, ma tuttora non esiste una teoria della gravità quantistica.

Bibliografia

Lezioni di relatività (capitoli 15,16,17)

1. ^ Hubble, Edwin, "A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae" (1929) Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Volume 15, March 15, 1929: Issue 3, pp. 168-173, communicated January 17, 1929 (Full article, PDF)
2. ^ Il record dell'universo va sempre più veloce, su repubblica.it, La Repubblica, 22 agosto 2008. URL consultato il 22 agosto 2008.
3. ^ Georges Lemaître, Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radialee des nébuleuses extra-galactiques, in Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, A47, 1927, pp. 49–56, Bibcode:1927ASSB...47...49L.. Partially translated (the translator remains unidentified) in Georges Lemaître, Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ, in Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 91, 1931, pp. 483–490, Bibcode:1931MNRAS..91..483L..