Potenza (matematica)

Disambiguazione – Se stai cercando il concetto di potenza di un insieme nella teoria degli insiemi, vedi Cardinalità.

In matematica, la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle n}$ - detti rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di ${\displaystyle n}$ fattori uguali ad ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{n}:=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} \\&n{\mbox{ volte}}\end{matrix}}}$

in questo contesto ${\displaystyle a}$ può essere un numero intero, razionale o reale mentre ${\displaystyle n}$ è un numero reale ovvero intero, negativo e/o decimale.

Le potenze scritte nella forma ${\displaystyle a^{n}}$ si leggono come ${\displaystyle a}$ elevato alla ${\displaystyle n}$ o più semplicemente ${\displaystyle a}$ alla ${\displaystyle n}$. L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Peculiarità ed esempi

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come al quadrato (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente ${\displaystyle 3}$  come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).

Esempi:

• ${\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9}$  si legge tre alla seconda oppure tre al quadrato
• ${\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=4\cdot 2=8}$  si legge due alla terza oppure due al cubo
• ${\displaystyle 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=9\cdot 9=81}$  si legge tre alla quarta oppure tre elevato alla quarta
• ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{8}}}$  si legge un mezzo alla terza oppure un mezzo al cubo

L'operazione si estende ad ${\displaystyle n=0}$  ponendo per ogni ${\displaystyle a\neq 0}$ 

${\displaystyle a^{0}=1}$  perché ${\displaystyle a^{0}=a^{n}/a^{n}=1}$ ,

e ad ${\displaystyle n}$  negativi ponendo

${\displaystyle a^{-k}={\frac {1}{a^{k}}}}$ ,

Ad esempio,

${\displaystyle 10^{-3}={\frac {1}{10^{3}}}=0,001.}$ 

Proprietà

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:

• Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

${\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}.}$ 

Dimostrazione

${\displaystyle a^{n+m}=\prod _{k=1}^{n+m}a=\prod _{k=1}^{n}a\cdot \prod _{k=n+1}^{n+m}a}$ 

ma ricordiamo che

${\displaystyle \prod _{k=n+1}^{n+m}a=\prod _{k=1}^{m}a}$ 

quindi

${\displaystyle a^{n+m}=\prod _{k=1}^{n+m}a=\prod _{k=1}^{n}a\cdot \prod _{k=1}^{m}a=a^{n}a^{m}}$ 

• Il quoziente di potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}.}$ 

Dimostrazione

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}={\frac {a\cdot a^{n-1}}{a\cdot a^{m-1}}}={\frac {a\cdot a\cdot a^{n-2}}{a\cdot a\cdot a^{m-2}}}}$ 

Estraendo fino ad avere ${\displaystyle a^{m}}$  otteniamo il seguente risultato: ${\displaystyle {\frac {a^{m}\cdot a^{n-m}}{a^{m}\cdot a^{b-b}}}={\frac {a^{n-m}}{a^{0}}}=a^{n-m}}$ 

• La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}=\left(a^{m}\right)^{n}.}$ 

• Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}\;}$ 

Dimostrazione

Espandiamo le potenze come prodotti e applichiamo la proprietà commutativa per ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$ 

${\displaystyle a\cdot a\cdot \ldots \cdot a\cdot b\cdot b\cdot \ldots \cdot b=a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot \ldots \cdot a\cdot b}$ 

Otteniamo sempre un prodotto di ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  per ${\displaystyle n}$  volte cioè

${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}={\begin{matrix}\underbrace {a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot \ldots \cdot a\cdot b} _{nvolte}\end{matrix}}=\left(a\cdot b\right)^{n}}$ 

• Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$ 

Dimostrazione

Espandiamo le potenze come prodotti e separiamo le frazioni

${\displaystyle {\frac {a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot \dots \cdot b}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b}}\cdot \dots \cdot {\frac {a}{b}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$ 

Notiamo che la definizione ${\displaystyle a^{0}=1}$  risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}=1.}$ 

Si noti che ${\displaystyle a^{0}}$  è un prodotto vuoto e pertanto è pari ad ${\displaystyle 1}$ .

E lo stesso vale per la definizione di ${\displaystyle a^{-x}}$ , infatti:

${\displaystyle a^{-x}=a^{0-x}={\frac {a^{0}}{a^{x}}}={\frac {1}{a^{x}}}}$ 

Potenza di interi come sommatoria

Per ${\displaystyle n=2}$  e ${\displaystyle A}$  intero positivo:

${\displaystyle A^{2}=\sum _{m=1}^{A}(2m-1),}$ 

cioè ogni quadrato di un intero ${\displaystyle A}$  è la somma dei primi ${\displaystyle A}$  numeri dispari.

Esempio: ${\displaystyle 5^{2}=1+3+5+7+9=25.}$ 

Segue che per ${\displaystyle n\geq 2}$  pari, e ${\displaystyle A}$  intero:

${\displaystyle A^{n}=A^{2p}=\sum _{m=1}^{A^{(n/2)}}(2m-1).}$ 

E per ${\displaystyle n\geq 3}$  dispari e ${\displaystyle A}$  intero (per le proprietà dei numeri triangolari):

${\displaystyle A^{n}=A^{(2p-1)}=\sum _{m=1}^{A^{((n-1)/2)}}(2mA-A).}$ 

Per ${\displaystyle n=2}$  e ${\displaystyle A}$  intero positivo:

${\displaystyle A^{2}=A\sum _{m=1}^{A-1}2m,}$ 

cioè ogni quadrato di un intero ${\displaystyle A}$  è pari ad ${\displaystyle A}$  più la somma dei primi ${\displaystyle A-1}$  numeri pari.

Esempio: ${\displaystyle 5^{2}=5+2+4+6+8=25.}$ 

La formula è il caso particolare di una formula che vale per ogni ${\displaystyle n}$ 

Potenza di razionali come sommatoria

Lemma: sia ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} :a=A/K}$  allora ${\displaystyle a^{n}}$  è esprimibile come la sommatoria:

${\displaystyle a^{n}=A^{n}/K^{n}=\sum _{X=1}^{A}(X^{n}-(X-1)^{n})/K^{n}.}$ 

Esempio:

Per ${\displaystyle n=2}$  e ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$  con ${\displaystyle a=A/K}$ :

${\displaystyle a^{2}=A^{2}/K^{2}=\sum _{X=1}^{A}(2X-1)/K^{2}.}$ 

Potenza n-esima di irrazionali dipendenti dalla radice n-esima

E' possibile calcolare la Potenza n-esima A^n di un Irrazionale A, tramite le sommatorie a passo, nel caso questo sia del tipo

${\displaystyle A=P/(Q^{1/n)})}$ 

Utilizzando il passo irrazionale ${\displaystyle 1/Q^{1/n}}$ 

Esempio:

${\displaystyle A^{2}=\sum _{x=1/(Q^{1/2})}^{A}(2x/Q^{1/2}-1/Q).}$ 

Tale procedimento è utile unicamente al fine di constatare la proprietà di queste Somme a Passo, in quanto è ovvio che sarebbe stato ben più semplice tenere Q fuori dalla sommatoria e calcolare solamente P^n. La proprietà torna utile nella soluzione di problemi inerenti operazioni fra potenze.

Potenza di irrazionali come limite della sommatoria

Invece nel caso più generico di un irrazionale non del tipo visto sopra, si deve ricorrere al passaggio al limite, cioè all'integrale.

Introducendo un cambio di variabile: ${\displaystyle x=X/K}$ 

Accettando il fatto che possa esistere un indice razionale in quella che diventa un nuovo operatore sommatoria a "passo" 1/K, 2/K, 3/K etc...

Si dimostra che passando al limite per ${\displaystyle K\to \infty }$  si ottiene l'integrale della derivata ${\displaystyle y'=nX^{n-1}}$ 

Prendendo ad esempio quanto detto nel paragrafo precedente per ${\displaystyle n=2}$  e ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$  con ${\displaystyle a=A/K}$ :

${\displaystyle a^{2}=A^{2}/K^{2}=(\sum _{X=1}^{A}(2X-1))/K^{2}.}$ 

Introducendo un cambio di variabile: ${\displaystyle x=X/K.}$ 

Accettando il fatto che possa esistere un indice razionale in quella che diventa un nuovo operatore sommatoria a "passo" 1/K, 2/K, 3/K etc...

Segue che:

${\displaystyle a^{2}=A^{2}/K^{2}=(\sum _{X=1}^{A}(2X-1))/K^{2}=\sum _{x=1/K}^{a}(2x/K-1/K^{2}).}$ 

A questo punto passando al limite per ${\displaystyle K\to \infty }$  si ottiene:

${\displaystyle a^{2}=lim_{K\to \infty }\sum _{x=1/K}^{a}(2x/K-1/K^{2})=\int _{0}^{a}2xdx=a^{2}.}$ 

In cui può essere: ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  cioè ${\displaystyle a}$  irrazionale.

Questa è la formulazione originaria del teorema in cui appare evidente che il termine ${\displaystyle 1/K^{2}}$  sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto al termine ${\displaystyle 2x/K}$ .

È quella preferibile in quanto procedendo con lo sviluppo di potenze di grado superiore si nota immediatamente che tutti i termini successivi al primo sono infinitesimi di ordine superiore che scompaiono.

Per una dimostrazione classica, senza effettuare il cambio di variabile, moltiplicando il razionale ${\displaystyle a}$  per ${\displaystyle K}$  e ponendo ${\displaystyle N=aK}$ .

Sviluppando e semplificando opportunamente lo gnomone: ${\displaystyle (X^{n}-(X-1)^{n})/K^{n}}$  è possibile estendere il risultato per qualsiasi ${\displaystyle n}$ .

La dimostrazione più semplice si fa per induzione dato che si conosce il valore delle sommatorie dei singoli termini, quindi la somma totale, quindi segue come risultato il semplice limite di tale sommatoria.

Proprietà delle potenze, cioè delle curve y=xⁿ

Le curve del tipo ${\displaystyle y=x^{n}}$  hanno una derivata ${\displaystyle y'=nx^{n-1}}$  che risulta QUADRABILE fino ad un certo valore noto di ${\displaystyle x}$  nel seguento modo:

a1) per ${\displaystyle x=A:A\in \mathbb {N} }$  mediante la somma di colonne con base ${\displaystyle 1}$  e altezza intera uguale a ${\displaystyle (X^{n}-(X-1)^{n})}$ ;

a2) si dimostra che per acluni valori di ${\displaystyle A}$  è possibile anche quadrare l'area con colonne di base maggiore di ${\displaystyle 1}$  e altezza di conseguenza;

b) per ${\displaystyle x=a=A/K:a\in \mathbb {Q} }$  mediante la somma di colonne con base ${\displaystyle 1/K}$  ed altezza intera uguale a ${\displaystyle (X^{n}-(X-1)^{n})/K^{n}}$ ;

c) per ${\displaystyle x=a:a\in \mathbb {R} }$  mediante la somma di colonne con base infinitesma ${\displaystyle dx}$  e altezza uguale a ${\displaystyle X^{n-1}/n}$  per mezzo dell'integrale definito fra ${\displaystyle 0}$  ed ${\displaystyle a}$ .

Tale proprietà (nota anche come proprietà delle somme telescopiche) deriva dal fatto che lo gnomone calcolato in corrispondenza di qualsiasi ${\displaystyle x=A:A\in \mathbb {N} }$  oppure ${\displaystyle x=a=A/K:a\in \mathbb {Q} }$ , è uguale all'altezza media della derivata calcolata fra ${\displaystyle x=(A-1)}$  e ${\displaystyle x=A}$ , cioè l'integrale fra: ${\displaystyle (A-1)}$  e il punto in cui l'altezza dello gnomone coincide con il valore della derivata è uguale, in valore assoluto, a quello dell'integrale calcolato fra quel punto ed ${\displaystyle A}$ . Cioè abbiamo trovato un particolare insieme di curve che sono facilmente quadrabili, fino a valori razionali, senza ricorrere all'uso degli infinitesimi.

Radici ed esponenti frazionari

 

Grafico di funzioni x^a per esponenti maggiori di 1 (sotto la bisettrice degli assi), e minori di 1 (sopra la bisettrice)

Dato un numero naturale ${\displaystyle a}$  non negativo si chiama radice ${\displaystyle n}$ -esima di ${\displaystyle a}$  quel numero reale non negativo ${\displaystyle b}$  tale che ${\displaystyle b^{n}=a}$ , tale numero si indica con ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ .

Da questa definizione si ha subito che

${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}$ 

quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre

${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}:={\sqrt[{n}]{a}}}$ 

In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}:=a^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=a^{1}=a}$ 

come avveniva per la radice ${\displaystyle n}$ -esima.

Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ , con ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  primi tra loro, se si pone:

${\displaystyle a^{\frac {x}{y}}:={\sqrt[{y}]{a^{x}}}}$ 

In questo caso:

• se ${\displaystyle y}$  è pari, la potenza è definita per ${\displaystyle a}$  positivo;
• se ${\displaystyle y}$  è dispari:
  • se ${\displaystyle x}$  è positivo, la potenza è definita per qualsiasi ${\displaystyle a}$ ;
  • se ${\displaystyle x}$  è negativo, la potenza è definita per qualsiasi ${\displaystyle a}$  non nullo.

Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  primi tra loro si cade in assurdi quali:

${\displaystyle -1={\sqrt[{3}]{-1}}=(-1)^{\frac {1}{3}}=(-1)^{\frac {2}{6}}={\sqrt[{6}]{(-1)^{2}}}={\sqrt[{6}]{1}}=1}$ 

Il passaggio errato è il terzo, in quanto ${\displaystyle (-1)^{\frac {2}{6}}}$  non è definito in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Potenze ad esponente reale

È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come ${\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}$  o e^π.

Definiamo inizialmente ${\displaystyle a^{b}}$  con la base ${\displaystyle a>1}$  e l'esponente ${\displaystyle b>0}$ , entrambi numeri reali.

Possiamo scrivere ${\displaystyle b}$  nella sua rappresentazione in base ${\displaystyle 10}$  con la scrittura:

${\displaystyle b=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots }$ 

La successione ${\displaystyle \beta _{n}}$  dei numeri

${\displaystyle \beta _{0}=b_{0}}$ 

${\displaystyle \beta _{1}=b_{0},b_{1}}$ 

${\displaystyle \beta _{2}=b_{0},b_{1}b_{2}}$ 

${\displaystyle \beta _{3}=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}}$ 

${\displaystyle \dots }$ 

è una successione di numeri razionali crescente che tende a ${\displaystyle b}$ .

La potenza ${\displaystyle a^{\beta _{n}}}$  ha esponente razionale, quindi è stata definita. La successione di numeri reali

${\displaystyle a^{\beta _{0}}}$ 

${\displaystyle a^{\beta _{1}}}$ 

${\displaystyle a^{\beta _{2}}}$ 

${\displaystyle \dots }$ 

è una successione anch'essa crescente (poiché ${\displaystyle a>1}$ ), risulta quindi naturale definire il valore di ${\displaystyle a^{b}}$  come l'estremo superiore di tale successione:

${\displaystyle a^{b}:={\mbox{sup}}_{n}\{a^{\beta _{n}}\}.}$ 

Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra ${\displaystyle 0}$  e ${\displaystyle 1}$  si può definire:

${\displaystyle a^{b}:=((a^{-1})^{b})^{-1},}$ 

poiché ${\displaystyle a^{-1}}$  in questo caso è maggiore di ${\displaystyle 1}$  e quindi il secondo membro è definito.

Difatti, essendo ${\displaystyle a^{b}=((a^{-1})^{b})^{-1}=((a^{-1})^{-b})}$ , si ha la seguente successione di numeri reali (considerando ${\displaystyle \beta _{n}}$  come prima):

${\displaystyle (a^{-1})^{-\beta _{0}}}$ 

${\displaystyle (a^{-1})^{-\beta _{1}}}$ 

${\displaystyle (a^{-1})^{-\beta _{2}}}$ 

${\displaystyle \dots }$ 

che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, ${\displaystyle a^{b}:={\mbox{inf}}_{n}\{(a^{-1})^{-\beta _{n}}\}}$ .

Voci correlate

• Potenza di matrice
• Addizione
• Moltiplicazione
• Potenza di due
• Funzione esponenziale

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