Gruppo semplice

In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.

In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in teoria dei gruppi, specialmente nella teoria dei gruppi finiti, perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.

Esempi

• Un gruppo ciclico ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$  è semplice se e solo se ${\displaystyle m}$  è primo: infatti tutti i sottogruppi di ${\displaystyle G}$  sono normali, e corrispondono ai divisori di ${\displaystyle m}$ .
• Il gruppo dei numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  non è semplice, perché ad esempio i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un gruppo abeliano è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.
• Il più piccolo esempio di gruppo semplice non abeliano è il gruppo alternante ${\displaystyle A_{5}}$  di ordine ${\displaystyle 60}$ . Più in generale, ogni gruppo alternante ${\displaystyle A_{n}}$  è semplice per ${\displaystyle n>4}$ .
• Il secondo esempio è il gruppo lineare speciale proiettivo ${\displaystyle {\rm {{PSL}(2,7)}}}$ , di ordine ${\displaystyle 168}$ .

Classificazione

  Lo stesso argomento in dettaglio: Classificazione dei gruppi semplici finiti.

La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel 1982, grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui John G. Thompson.

Voci correlate

• Gruppo (matematica)
• Sottogruppo normale
• Gruppo finito
• Classificazione dei gruppi semplici finiti
• Gruppo sporadico

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