Processo gaussiano

In teoria delle probabilità un processo gaussiano è un processo stocastico f(x), ossia una collezione di variabili aleatorie indicizzate (in base al tempo o allo spazio), tale che ogni insieme finito di tali variabili abbia una distribuzione di probabilità gaussiana multivariata.

La distribuzione del processo gaussiano è la distribuzione congiunta di tutte le sue (infinite) variabili e, come tale, è una distribuzione su funzioni dal dominio continuo (ad es. il tempo o lo spazio). Quindi un processo gaussiano può essere considerato la generalizzazione a dimensioni infinite della distribuzione normale multivariata.

Definizione

Un processo gaussiano è specificato interamente dalla sua media $m_{f}$ (x) e dalla covarianza $k_{f}$ (x,x'), e viene indicato nel modo seguente:

\operatorname {f} (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {N}}(m_{f}(\mathbf {x} ),k_{f}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '))

Talvolta si assume che la media sia pari a zero e spesso si sceglie come insieme indice quello temporale cosicché il processo gaussiano risulti definito sul tempo ^[1]. Accade di frequente nell'ambito delle telecomunicazioni, dove vari segnali vengono interpretati come processi gaussiani (ad esempio il rumore gaussiano).

Alcune applicazioni

Un processo gaussiano può essere usato come distribuzione di probabilità a priori sulle funzioni nell'inferenza bayesiana. L'inferenza per valori continui che fa uso di processi gaussiani è nota come regressione gaussiana e trova utilizzo in svariati campi, dall'automazione alla geostatistica (Kriging). I processi gaussiani sono, inoltre, un potente strumento per l'interpolazione non lineare.

Nell'ambito dell'apprendimento supervisionato, i processi gaussiani sono impiegati in metodi non parametrici basati su kernel utili a risolvere problemi di classificazione e regressione.^[2]

Note

^ David J. C. MacKay, Information theory, inference, and learning algorithms, 22nd printing, Cambridge University Press, 2003, p. 540, ISBN 978-0-521-64298-9.
^ Kevin P. Murphy, Probabilistic machine learning: an introduction, collana Adaptive computation and machine learning, The MIT Press, 2022, p. 574, ISBN 978-0-262-04682-4.

Bibliografia

(EN) C.E. Rasmussen, C.K.I Williams, Gaussian Processes for Machine Learning, MIT Press, 2006, ISBN 0-262-18253-X.
(EN) N. Benvenuto, R. Corvaja; T. Erseghe; N. Laurenti, Communication Systems: Fundamentals and Design Methods, Wiley, 2007, ISBN 0-470-01822-4.

Voci correlate

Collegamenti esterni

The Gaussian Processes Web Site, su GaussianProcess.org.
Classificazione e regressione basate su processi gaussiani in Scikit-Learn

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[1] David J. C. MacKay, Information theory, inference, and learning algorithms, 22nd printing, Cambridge University Press, 2003, p. 540, ISBN 978-0-521-64298-9.

[2] Kevin P. Murphy, Probabilistic machine learning: an introduction, collana Adaptive computation and machine learning, The MIT Press, 2022, p. 574, ISBN 978-0-262-04682-4.

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