Integrale improprio e Lisa Miskovsky: differenze tra le pagine

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{{Artista musicale
{{F|matematica|gennaio 2016}}
|nome = Lisa Miskovsky
In [[analisi matematica]], l''''integrale improprio''' o '''generalizzato '''è il [[Limite (matematica)|limite]] di un [[integrale]] definito al tendere di un estremo di integrazione (o entrambi) ad un numero reale oppure all'infinito.
|nazione = Svezia
|genere = Pop
|genere2 = Pop-Rock
|anno inizio attività = 2001
|anno fine attività = in attività
|note periodo attività =
|tipo artista = Strumentista
|immagine = Lisamiskovsky-skelleftea2007.jpg
|didascalia = Lisa Miskovsky nel 2007
|url = http://lisamiskovsky.com
|numero totale album pubblicati = 4
|numero album studio = 3
|numero album live = 0
|numero raccolte = 1
}}
 
{{Bio
Gli integrali impropri si utilizzano per rendere calcolabili integrali riguardanti intervalli illimitati e/o funzioni non limitate, che non sono trattabili con l'[[integrale di Riemann]]. Esso richiede infatti la limitatezza sia per l'intervallo di integrazione, sia per la funzione integranda.
|Nome = Lisa
|Cognome = Miskovsky
|Sesso = F
|LuogoNascita = Umeå
|GiornoMeseNascita = 9 marzo
|AnnoNascita = 1975
|LuogoMorte =
|GiornoMeseMorte =
|AnnoMorte =
|Epoca = 2000
|Attività = cantante
|Attività2 = musicista
|Nazionalità = svedese
|PostNazionalità = di genere [[pop-rock]]
}}
 
==Definizione Carriera ==
Il suo debutto risale al 2001 con l'album ''Lisa Miskovsky'', dal quale è stato estratto il primo singolo, ''Driving One Of Your Cars'', che ebbe subito un notevole successo in [[Svezia]]. Il primo album e il successivo (''[[Fallingwater (album)|Fallingwater]]'', 2003) sono usciti anche in Italia, riscuotendo però poco successo. Il terzo e ultimo album pubblicato, ''[[Changes (Lisa Miskovsky)|Changes]]'', risale al 2006. Famosa è anche la sua collaborazione con gli [[In Flames]] nel brano ''Dead End'', dall'album ''[[Come Clarity]]''. Cantò inoltre ''Still Alive'', colonna sonora del videogame "[[Mirror's Edge]]" uscito nel 2008. Lisa scrisse anche ''[[Shape of My Heart (Backstreet Boys)|Shape of My Heart]]'', canzone che venne cantata dai [[Backstreet Boys]] presente nell'album ''[[Black & Blue (Backstreet Boys)|Black & Blue]]''. Nel 2008 scrisse un'altra versione della canzone, chiamandola ''Another Shape of My Heart'', che incluse nel suo ''[[Last Year's Songs: Greatest Hits|Greatest Hits]]'', uscito nello stesso anno.
Un integrale improprio è un limite della forma:
:<math>\lim_{b\to+\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x</math>
 
Nel 2012 partecipa al [[Melodifestivalen 2012|Melodifestivalen]] superando la semifinale e piazzandosi nona in finale.
oppure:
 
== Discografia ==
:<math>\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x \quad
=== Album in studio ===
\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x </math>
*2001 - ''[[Lisa Miskovsky (album)|Lisa Miskovsky]]''
 
*2003 - ''[[Fallingwater (album)|Fallingwater]]''
Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più [[Parte interna|punti interni]] del dominio di integrazione.
*2006 - ''[[Changes (Lisa Miskovsky)|Changes]]''
 
*2008 - ''[[Still Alive: The Remixes]]''
== Integrazione su intervalli illimitati ==
*2010 - ''[[Violent Sky]]''
[[File:Improperintegral2.png|right|thumb|Un esempio]]
=== Raccolte ===
Si possono presentare tre casi:
*2008 - ''[[Last Year's Songs: Greatest Hits]]''
 
=== Singoli ===
* Sia <math>f\colon [a,+\infty) \to \R </math> [[funzione continua|continua]]. Allora si pone:
*2001 - ''Driving One of Your Cars''
:<math>\int_{a}^{+\infty}f(x) dx = \lim_{z \to +\infty} \int_{a}^{z}f(x) dx</math>
*2001 - ''What If''
 
*2002 - ''Quietly''
:Ad esempio:
*2003 - ''Lady Stardust''
 
*2004 - ''Sing to Me''
:<math>\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^\alpha}dx =
*2004 - ''Brand-New Day''
\frac{1}{\alpha-1}\;</math> se <math>\;\alpha>1</math>
*2006 - ''Mary''
 
*2006 - ''Sweet Misery''
* Sia <math>f: (-\infty,b] \to \R </math> continua. Allora si pone:
*2006 - ''Acceptable Losses''
:<math>\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{z \to -\infty} \int_{z}^{b}f(x)dx</math>
*2008 - ''Another Shape of My Heart''
 
*2008 - ''Still Alive''
:Ad esempio:
 
:<math>\int_{-\infty}^{0}x^n e^x dx = (-1)^{n+1} n!</math>
 
:per <math>n</math> intero non negativo.
 
* Sia <math>f\colon (-\infty,+\infty) \to \R </math> continua. Allora si pone, sfruttando la proprietà dell'additività:
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{+\infty}f(x)dx</math>
 
:dove <math>c</math> è un punto qualunque. Ad esempio:
 
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt \pi.</math>
 
Se il limite da calcolare esiste finito si dice che la funzione f è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente. Se invece il limite vale <math>+\infty</math> o <math>-\infty</math> si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.
 
==Integrazione con integranda illimitata==
[[File:Improperintegral1.svg|right|thumb|Un esempio]]
Si possono presentare tre casi:
* Sia <math>f\colon [a,b) \to \R </math> [[funzione continua|continua]] divergente in <math>b</math>. Allora si pone:
:<math>\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx.</math>
 
:Ad esempio:
 
:<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tan xdx</math>
 
* Sia <math>f\colon (a,b] \to\R </math> [[funzione continua|continua]] divergente in <math>a</math>. Allora si pone:
 
:<math>\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx.</math>
 
:Ad esempio:
 
:<math>\int_{1}^{3}\frac{x^2+2}{x^3-1}dx</math>
 
* Sia <math>f\colon (a,b) \to\R </math> [[funzione continua|continua]] divergente in <math>a</math> e in <math>b</math>. Allora si pone:
 
:<math>\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^{+} \atop\delta \to 0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b-\delta}f(x)dx.</math>
 
Se in uno di questi casi il limite esiste finito si dice che la funzione <math>f</math> è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente, mentre se il limite vale <math>+\infty</math> o <math>-\infty</math> si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste.
 
== Condizioni di integrabilità all'infinito ==
Se esiste il limite di <math>f(x)</math> per <math>x</math> che tende a <math>+\infty</math>, allora [[condizione necessaria]] affinché un integrale sia convergente è che la funzione sia limitata al divergere dell'argomento. Infatti, se ciò non accadesse sarebbe possibile individuare una costante <math>M</math> tale che sia <math>|f(x)|>M</math> per <math>|x|>x_0</math>, e per la [[funzione monotona|monotonia]] e l'[[sigma additività|additività]] dell'integrale si avrebbe:
 
:<math>\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \int_{a}^{x_0}f(x)dx + \int_{x_0}^{+\infty}f(x)dx \geq \int_{a}^{x_0}f(x)dx + \int_{x_0}^{+\infty}Mdx = +\infty</math>
 
in quanto il secondo addendo è uguale al prodotto tra una costante non nulla e la [[misura (matematica)|misura]] dell'intervallo <math>[x_0, +\infty)</math>, che è infinita. Si possono avere anche dei casi in cui l'integrale sia convergente, ma il limite della funzione non esista. Ad esempio, data una funzione <math>f(x)</math> che vale <math>1</math> se <math>x</math> è intero e <math>0</math> in ogni altro punto, si ha che tale funzione non converge a <math>0</math> (è possibile trovare una successione di valori della funzione che è costantemente 1) ma ha integrale <math>0</math>, perché l'area sotto la funzione in ogni intervallo finito è <math>0</math>.
 
Una condizione necessaria e [[condizione sufficiente|sufficiente]] affinché <math> \int_{a}^{+\infty}f(x)dx </math> esista finito è che per ogni <math> \varepsilon > 0</math> esista <math>\gamma > 0</math> tale che per ogni <math>|x_1-x_2| < \gamma</math> si abbia:
 
:<math> \left | \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\right | <\ \varepsilon </math>
 
== Criteri di integrabilità all'infinito ==
 
Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni definite nell'intervallo <math>[a,+\infty)</math>. Riprendendo la teoria dei [[limite (matematica)|limiti]] si possono definire due criteri di integrabilità.
 
=== Criterio del confronto ===
Se si verifica che:
 
:<math> 0 \leq f(x) \leq c \cdot g(x) \in [a,+\infty)</math>
 
per una certa costante <math>c</math>, allora si ha che:
 
* se <math>g</math> è integrabile in <math>[a,+\infty)</math> allora anche <math>f</math> è integrabile in <math>[a,+\infty)</math>
* se <math>f</math> è divergente in <math>[a,+\infty)</math> allora anche <math>g</math> è divergente in <math>[a,+\infty)</math>
 
=== Criterio del confronto asintotico ===
{{vedi anche|Stima asintotica#Successioni asintotiche}}
Se <math>f > 0</math>, <math>g > 0</math> e <math>f \sim g</math> per <math>x</math> tendente ad infinito (quando cioè il limite del rapporto tra le funzioni è un numero finito diverso da zero), allora <math>f</math> è integrabile se e solo se <math>g</math> è integrabile. Inoltre, se <math>f=o(g)</math> allora <math>f</math> è integrabile se <math>g</math> è integrabile.
 
=== Criterio della convergenza assoluta ===
Data una funzione <math>f(x)</math>, l'integrale improprio di <math>f</math> tra due estremi <math>a, b</math> si dice assolutamente convergente se converge l'integrale di <math>|f(x)|</math> tra <math>a</math> e <math>b</math>.
 
Se un integrale improprio è assolutamente convergente allora è convergente, mentre non vale l'implicazione inversa. Il criterio della convergenza assoluta si usa quando <math>f(x)</math> non presenta segno costante in un intorno dell'estremo in cui l'integrale è improprio, ed è quindi impossibile usare gli altri criteri.
 
== Voci correlate ==
* [[Integrale]]
* [[Integrale di Riemann]]
* [[Integrale di Lebesgue]]
* [[Integrale multiplo improprio]]
* [[Limite (matematica)]]
 
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
 
== Collegamenti esterni ==
{{analisi matematica}}
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|matematica}}
* {{cita web|http://www.lisamiskovsky.com/|Sito web ufficiale|lingua=sv, en}}
* {{cita web|http://myspace.com/lisamiskovsky/|MySpace|lingua=sv, en}}
 
{{Controllo di autorità}}
[[Categoria:Calcolo integrale|Improprio]]
{{Portale|biografie|musica}}
[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]