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Sistema dinamico lineare stazionario discreto e Duván Zapata: differenze tra le pagine

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{{Sportivo
{{torna a|Sistema dinamico lineare stazionario}}
|Nome = Duván Zapata
In [[teoria dei sistemi]], un '''sistema dinamico lineare stazionario discreto''', anche detto '''sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto''' o '''sistema LTI discreto''', è un [[sistema dinamico discreto]] [[sistema dinamico lineare stazionario|lineare e stazionario]].
|Immagine = Barça - Napoli - 20140806 - 05 (cropped).jpg
|Didascalia = Duván Zapata con la maglia del {{Calcio Napoli|N}} nel 2014.
|Sesso = M
|CodiceNazione = {{COL}}
|Altezza = 189<ref>{{Cita web|url= http://it.soccerway.com/players/daniel-zapata/33276/|titolo= D. Zapata|accesso= 22 settembre 2015|sito=Soccerway.com}}</ref>
|Peso = 88
|Disciplina = Calcio
|Ruolo = [[Attaccante]]
|Squadra = {{Calcio Atalanta}}
|TermineCarriera =
|SquadreGiovanili =
{{Carriera sportivo
|2001-2008|{{Calcio America Cali|G}}|
}}
|Squadre =
{{Carriera sportivo
|2008-2011|{{Calcio America Cali|G}}|63 (8)
|2011-2013|{{Calcio Estudiantes|G}}|44 (19)
|2013-2015|{{Calcio Napoli|G}}|37 (11)
|2015-2017|→ {{Calcio Udinese|G}}|63 (18)
|2017-2018|{{Calcio Sampdoria|G}}|31 (11)
|2018-|→ {{Calcio Atalanta|G}}|16 (6)
}}
|SquadreNazionali =
{{Carriera sportivo
|2011|{{NazU|CA|COL||20}}|5 (1)
|2017-2018|{{Naz|CA|COL}}|5 (0)
}}
|Aggiornato = 17 dicembre 2018
}}
 
{{Bio
== Sistemi a tempo discreto==
|Nome = Duván Esteban
Un sistema a tempo discreto trasforma la [[Successione (matematica)|successione]] in ingresso <math>\{x\}</math> in un'altra successione <math>\{y\}</math>, data dalla convoluzione discreta con la risposta <math>h</math> alla [[delta di Kronecker]]:
|Cognome = Zapata Banguero
|PostCognomeVirgola = noto semplicemente come '''Duván Zapata'''
|Sesso = M
|LuogoNascita = Cali
|GiornoMeseNascita = 1º aprile
|AnnoNascita = 1991
|LuogoMorte =
|GiornoMeseMorte =
|AnnoMorte =
|Attività = calciatore
|Nazionalità = colombiano
|PostNazionalità = , [[attaccante]] dell'{{Calcio Atalanta|N}}, in prestito dalla {{Calcio Sampdoria|N}}, e della [[Nazionale di calcio della Colombia|nazionale colombiana]]
}}
 
==Biografia==
:<math>y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]\cdot h[k]</math>
È il cugino di [[Cristián Zapata]], a sua volta calciatore professionista. È padre di due figli.
 
==Caratteristiche tecniche==
Gli elementi di <math>\{y\}</math> possono dipendere da ogni elemento di <math>\{x\}</math>. Solitamente <math>y[n]</math> dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo <math>n</math>.
È una punta centrale dal fisico imponente che gli permette di affrontare da solo di forza la difesa avversaria, dispone di un tiro sia potente che preciso, è inoltre abile nel gioco aereo e nell'uno contro uno<ref>{{Cita web|url=http://www.generazioneditalenti.com/2012/10/duvan-zapata-1991-colombia.html|titolo=Duvan Zapata: 1991 - Colombia|autore=Andrea Bracco|editore=generazioneditalenti.com|accesso=13 ottobre 2012}}</ref>.
 
Soprannominato "il Panterone" per la sua rapidità ed agilità, in aggiunta naturalmente alla sua notevole stazza.
La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso <math>T</math>. La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta ''campionamento'', ed è alla base della [[conversione analogico-digitale]] (ADC). Essa trasforma una funzione continua <math>x(t)</math> nel segnale discreto:
 
==Carriera==
:<math>x[n] \ \stackrel{\text{def}}{=}\ x(nT) \qquad \forall \, n \in \mathbb{Z}</math>
===Club===
====Gli inizi====
Duván Zapata viene acquistato nel 2001 dall'[[Corporación Deportiva América|América de Cali]], militando per cinque anni nella primavera del club di [[Cali]]. Nel 2008 trova spazio in prima squadra, esordendo il 18 maggio dello stesso anno durante la partita di campionato contro il [[Boyacá Chicó Fútbol Club|Boyacá Chicó]], conclusasi con la prima rete realizzata da calciatore professionista.<ref>{{Cita web|url=http://it.soccerway.com/matches/2008/05/18/colombia/primera-a/deportivo-boyaca-chico-futbol-club/corporacion-deportiva-america/547758/|titolo=Boyacá Chicó vs. América de Cali 3 - 2|autore=|editore=soccerway.com|accesso=26 agosto 2013}}</ref> Trascorre due anni con i ''Los diablos rojos'' dove colleziona in totale 21 partite di campionato e 7 gol segnati all'attivo, non sufficienti a evitare la retrocessione in [[Categoría Primera B]] della squadra.
 
Nel 2011 passa in prestito all'[[Club Estudiantes de La Plata|Estudiantes]]. Debutta con la squadra biancorossa il 26 settembre in occasione dell'incontro con il [[Club Atlético Belgrano|Belgrano]], entrando a partita in corso e segnando, dopo pochi minuti, la sua prima rete nella [[Primera División (Argentina)|Primera División]].<ref>{{Cita web|url=http://it.soccerway.com/matches/2011/09/26/argentina/primera-division/estudiantes-de-la-plata/ca-belgrano-de-cordoba/1153486/|titolo=Estudiantes de la Plata vs. Belgrano de Córdoba 2 - 3|autore=|editore=soccerway.com|accesso=26 agosto 2013}}</ref> Dopo 5 gol segnati in 11 partite, il club di [[La Plata]] esercita l'opzione per l'acquisto del cartellino del calciatore {{citazione necessaria|fino al 30 giugno 2013.}}
con <math>1 / T </math> la [[frequenza di campionamento]]. Il [[Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon|teorema del campionamento]] pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad <math>1/(2T)</math> se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di [[aliasing]]).
[[File:Barça - Napoli - 20140806 - 14 - Duvan Zapata.jpg|miniatura|Duván Zapata con il Napoli nel 2014.]]
 
====Napoli====
Come nel caso di sistemi a tempo continuo, se <math>O</math> è l'operatore di trasformazione al tempo ''n'':
Il 24 agosto 2013, dopo essere stato vicinissimo al Sassuolo, viene ingaggiato dalla società italiana del {{Calcio Napoli|N}}<ref>[https://twitter.com/sscnapoli/status/371697128646918144/photo/1 Official SSC Napoli], twitter.com</ref>, che lo acquista per 7.5 milioni di euro. Sceglie la maglia numero 91<ref>[http://www.sscnapoli.it/static/news/Primo-giorno-di-allenamento-per-Zapata-745.aspx Primo giorno di allenamento per Zapata], Sscnapoli.it</ref>.
 
Esordisce in maglia azzurra e in [[Serie A]] il 28 settembre successivo alla sesta giornata nella gara esterna contro il {{Calcio Genoa|N}}, vinta 2-0 dai partenopei con una doppietta del macedone [[Goran Pandev]]<ref>{{Cita web|url=http://www.legaseriea.it/it/serie-a-tim/match-report/-/match-report/Genoa-Napoli/66272|titolo=Genoa 0 - 2 Napoli|autore=|editore=legaseriea.it|data=28 settembre 2013|accesso=5 ottobre 2013}}</ref>. Tre giorni più tardi debutta anche in [[UEFA Champions League 2013-2014|Champions League]], nella gara giocata all'[[Emirates Stadium|Emirates]] contro l'{{Calcio Arsenal|N}}<ref>{{Cita web|url=http://it.uefa.com/uefachampionsleague/season=2014/matches/round=2000479/match=2011786/index.html|titolo=Arsenal 2 - 0 Napoli|autore=|editore=uefa.com|accesso=5 ottobre 2013}}</ref>. Il 22 ottobre 2013, nella terza giornata di [[UEFA Champions League|Champions League]], segna il primo gol in maglia azzurra allo [[Stade Vélodrome]] contro l'{{Calcio Olympique Marsiglia|N}}, dopo essere subentrato nel corso della gara a [[Gonzalo Higuaín]]<ref>{{Cita web|url=http://www.gazzetta.it/Calcio/Squadre/Napoli/22-10-2013/marsiglia-napoli-0-2-callejon-zapata-fanno-ripartire-benitez-201415117868.shtml|titolo=Marsiglia-Napoli 1-2: Callejon e Zapata fanno ripartire Benitez|autore=|editore=gazzetta.it|data=22 ottobre 2013}}</ref> Realizza un gol nella partita di ottavi di finale di Europa League contro il Porto finita 2-2 che però non basta, e a passare è quest'ultimo. Realizza i primi gol in Serie A il 26 marzo 2014 nella vittoria esterna contro il {{Calcio Catania|N}} (4-2), nella quale mette a segno una doppietta<ref>{{Cita web|url=http://www.gazzetta.it/Calcio/Serie-A/26-03-2014/catania-napoli-2-4-gol-zapata-2-callejon-henrique-monzon-gyomber-80319067116.shtml|titolo=Catania-Napoli 2-4, gol di Zapata (2), Callejon, Henrique, Monzon e Gyomber|autore=|editore=gazzetta.it|data=26 marzo 2014}}</ref>. Nella sua prima stagione coi partenopei mette a segno 7 reti in 22 presenze.
:<math>y[n] \ \stackrel{\text{def}}{=}\ O_n\{x\}</math>
 
Nella stagione 2014-2015, il colombiano parte inizialmente spesso dalla panchina. Il 24 settembre 2014, in occasione della terza giornata di campionato, segna il primo gol stagionale nella partita casalinga contro il {{Calcio Palermo|N}} (3-3). Nell'ultima gara della fase a gironi di Europa League contro lo {{Calcio Slovan Bratislava|N}}, segna il gol del definitivo 3-0 per i partenopei.
la successione:
 
Nella partita giocata il 23 febbraio 2015, realizza il suo settimo goal in stagione con il Napoli ai danni del {{Calcio Sassuolo|N}}, che lo rende il colombiano con più reti segnate nella storia della squadra partenopea.
:<math>h[n] \ \stackrel{\text{def}}{=}\ O_n\{\delta[m]\}</math>
 
====Prestito biennale all'Udinese====
caratterizza completamente il sistema. Per mostrare questo, dato che vale l'identità:
Il 20 luglio 2015 lascia il ritiro del {{Calcio Napoli|N}} di [[Dimaro]] per approdare in prestito biennale con diritto di riacquisto dopo un anno all'{{Calcio Udinese|N}}. Segna, contro l'{{Calcio Empoli|N}}, la sua prima rete in campionato con la maglia dei friulani. Nella prima stagione friulana gioca 25 partite segnando 8 reti. L'anno seguente gioca invece tutte le 38 gare di [[Serie A 2016-2017|campionato]], firmando 10 gol.
 
====Sampdoria====
:<math>
Il 31 agosto del 2017 si trasferisce alla {{Calcio Sampdoria|N}} in prestito con obbligo di riscatto<ref>{{Cita news|url=http://www.sscnapoli.it/static/news/Il-Napoli-ufficializza-le-cessioni-di-Strinic-e-Duvan-Zapata-alla-Sampdoria-12626.aspx|titolo=Il Napoli ufficializza le cessioni di Strinic e Duvan Zapata alla Sampdoria|editore=sscnapoli.it|data=31 agosto 2017}}</ref>. Debutta con la maglia blucerchiata il 17 settembre contro il {{Calcio Torino|N}} realizzando il suo primo gol dopo soli 16 secondi<ref>{{Cita web|url = https://www.tuttomercatoweb.com/serie-a/torino-sampdoria-0-1-a-zapata-bastano-20-secondi-per-segnare-1019522|titolo = Torino-Sampdoria 0-1, a Zapata bastano 20 secondi per segnare|autore = Daniel Uccellieri|sito = TuttoMercatoWEB|data = 17 settembre 2017|accesso = 19 settembre 2017}}</ref>.
x[m] \equiv \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot \delta[m-k] </math>
Realizza gol decisivi per le vittorie casalinghe contro Milan, Atalanta, Chievo e Juventus, consentendo alla Sampdoria di stabilirsi fra le prime sei posizioni della classifica per quasi tutto il girone di andata.
 
====Atalanta====
si ha:
Il 12 luglio 2018 si trasferisce all'{{Calcio Atalanta|N}} dalla Sampdoria, in prestito biennale per 12 milioni di euro con diritto di riscatto fissato ad altri 14 milioni di euro (totale 26 milioni di euro)<ref>{{Cita news|url=https://www.tuttomercatoweb.com/serie-a/ufficiale-sampdoria-duvan-zapata-passa-all-atalanta-1133600|titolo=UFFICIALE: Sampdoria, Duvan Zapata passa all'Atalanta - TUTTOmercatoWEB.com|accesso=12 luglio 2018}}</ref>. Quello di Zapata è un trasferimento record per l'Atalanta, dal momento che il giocatore colombiano, comprendendo la cifra per l'eventuale riscatto, diventerebbe l'acquisto più costoso di sempre della società bergamasca, superando [[Marten de Roon]]<ref>{{Cita news|url=https://www.tuttomercatoweb.com/serie-a/atalanta-colpaccio-duvan-zapata-polverizzati-tutti-i-record-1133578|titolo=Atalanta, colpaccio Duvan Zapata: polverizzati tutti i record - TUTTOmercatoWEB.com|accesso=12 luglio 2018}}</ref>. Fa il suo esordio con i bergamaschi il 26 luglio 2018, subentrando dalla panchina nella partita casalinga del secondo turno preliminare di [[UEFA Europa League 2018-2019|Europa League]] pareggiata per 2-2 contro i bosniaci del {{Calcio Sarajevo|N}}. Realizza invece il suo primo gol con gli orobici il successivo 9 agosto, nella sfida del terzo turno preliminare vinta per 4-1 sul campo degli israeliani dell'{{Calcio Hapoel Haifa|N}}; la sua prima rete in [[Serie A]] con i bergamaschi arriva invece nei minuti finali della partita del 4 novembre, vinta per 2-1 sul campo del {{Calcio Bologna|N}}, nella quale Zapata realizza la rete della vittoria. Il 9 dicembre decide la trasferta in casa dell'ex Udinese (1-3) con la sua prima tripletta in Serie A<ref>{{Cita web|url=https://www.ecodibergamo.it/stories/Sport/zapata-tripletta-da-recordre-dei-bomber-colombiani-in-serie-a_1296612_11/|titolo=Zapata, tripletta da record Re dei bomber colombiani in serie A|sito=www.ecodibergamo.it|lingua=it|accesso=2018-12-10}}</ref>.
 
===Nazionale===
:<math>
Nel 2011 viene convocato nell'[[Nazionale di calcio della Colombia Under-20|Under-20]] per prendere parte al [[Campionato mondiale di calcio Under-20 2011|mondiale di categoria]].
y[n] = O_n\{x\} = O_n\left\{\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot \delta[m-k]\right\} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot O_n\{\delta[m-k]\} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta[m]\} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k]
</math>
 
Nel marzo del 2017 viene convocato dal CT. [[José Pekerman|Pekerman]] per la prima volta nella [[Nazionale di calcio della Colombia|nazionale maggiore]]. Debutta il 23 marzo seguente, contro la {{NazNB|CA|BOL}} entrando al 64°esimo al posto di [[Mateus Uribe]].
L'operatore <math>O_n</math> restituisce un'uscita proporzionale alla media pesata di <math>x[k]</math> con funzione peso data da <math>h[-k]</math>. Se <math>h[k]=0</math> per valori di <math>k</math> negativi il sistema è causale.
 
==Statistiche==
=== Funzione di trasferimento ===
===Presenze e reti nei club===
Gli esponenziali del tipo <math>z^n = e^{sT n}</math>, con <math>n \in \mathbb{Z}</math>, sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto <math>T \in \mathbb{R}</math> il periodo di campionamento e <math>z = e^{sT}</math>, con <math>z,s \in \mathbb{C}</math>, si supponga <math>x[n] = \,\!z^n</math> l'ingresso del sistema. Se <math>h[n]</math> è la risposta impulsiva, si ha:
''Statistiche aggiornate al 17 dicembre 2018''.
 
{| class="wikitable center" style="text-align:center; font-size:90%"
:<math>y[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, z^m = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \, z^{(n - m)} = z^n \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \, z^{-m} = z^n H(z)</math>
|-
!rowspan="2"|Stagione
!rowspan="2"|Squadra
!colspan="3"|Campionato
!colspan="3"|Coppe nazionali
!colspan="3"|Coppe continentali
!colspan="3"|Altre coppe
!colspan="2"|Totale
|-
!Comp
!Pres
!Reti
!Comp
!Pres
!Reti
!Comp
!Pres
!Reti
!Comp
!Pres
!Reti
!Pres
!Reti
|-
|| 2008 || rowspan=4|{{Bandiera|COL}} {{Calcio America de Cali|N}} || [[Categoría Primera A|PD]] || 25 || 1 || [[Copa Colombia|CC]] || 0 || 0 || - || - || . || - || - || - || 25 || 1
|-
|| 2009 || [[Categoría Primera A|PD]] || 6 || 0 || [[Copa Colombia|CC]] || 1 || 1 || [[Coppa Libertadores 2009|CL]] || 0 || 0 || - || - || - || 7 || 1
|-
|| 2010 || [[Categoría Primera A|PD]] || 19 || 2 || [[Copa Colombia|CC]] || 5 || 3 || - || - || - || - || - || - || 24 || 5
|-
|| 2011 || [[Categoría Primera A|PD]] || 13 || 5 || [[Copa Colombia|CC]] || 2 || 1 || - || - || - || - || - || - || 15 || 6
|-
!colspan="3"|Totale América de Cali || 63 || 8 || || 8 || 5 || || 0 || 0 || || - || - || 71 || 13
|-
|| 2011-2012 || rowspan=3|{{Bandiera|ARG}} {{Calcio Estudiantes|N}} || [[Primera División 2011-2012 (Argentina)|PD]] || 11 || 5 || .[[Copa Argentina 2011-2012|CA]] || 0 || 0 || [[Coppa Sudamericana 2011|CS]] || 0 || 0 || - || - || - || 11 || 5
|-
|| 2012-2013 || [[Primera División 2012-2013 (Argentina)|PD]] || 31 || 13 || [[Copa Argentina 2012-2013|CA]] || 2 || 3 || - || - || - || - || - || - || 33 || 16
|-
|| ago. 2013 || [[Primera División 2013-2014 (Argentina)|PD]] || 2 || 1 || [[Copa Argentina 2013-2014|CA]] || 0 || 0 || - || - || - || - || - || - || 2 || 1
|-
!colspan="3"|Totale Estudiantes || 44 || 19 || || 2 || 3 || || - || - || || - || - || 46 || 22
|-
|| [[Società Sportiva Calcio Napoli 2013-2014|2013-2014]] || rowspan=2|{{Bandiera|ITA}} {{Calcio Napoli|N}} || [[Serie A 2013-2014|A]] || 16 || 5 || [[Coppa Italia 2013-2014|CI]] || 1 || 0 || [[UEFA Champions League 2013-2014|UCL]]+[[UEFA Europa League 2013-2014|UEL]] || 3+2 || 1+1 || - || - || - || 22 || 7
|-
|| [[Società Sportiva Calcio Napoli 2014-2015|2014-2015]] || [[Serie A 2014-2015|A]] || 21 || 6 || [[Coppa Italia 2014-2015|CI]] || 1 || 0 || [[UEFA Champions League 2014-2015|UCL]]+[[UEFA Europa League 2014-2015|UEL]] || 1<ref>Nei play-off.</ref>+8 || 0+2 || [[Supercoppa italiana 2014|SI]] || 0 || 0 || 32 || 8
|-
!colspan="3"|Totale Napoli || 37 || 11 || || 2 || 0 || || 14 || 4 || || 0 || 0 || 54 || 15
|-
| [[Udinese Calcio 2015-2016|2015-2016]] || rowspan=2|{{Bandiera|ITA}} {{Calcio Udinese|N}} || [[Serie A 2015-2016|A]] || 25 || 8 || [[Coppa Italia 2015-2016|CI]] || 1 || 0 || - || - || - || - || - || - || 26 || 8
|-
| [[Udinese Calcio 2016-2017|2016-2017]] || [[Serie A 2016-2017|A]] || 38 || 10 || [[Coppa Italia 2016-2017|CI]] || 1 || 1 || - || - || - || - || - || - || 39 || 11
|-
!colspan="3"|Totale Udinese || 63 || 18 || || 2 || 1 || || - || - || || - || - || 65 || 19
|-
|| [[Unione Calcio Sampdoria 2017-2018|2017-2018]] || {{Bandiera|ITA}} {{Calcio Sampdoria|N}} || [[Serie A 2017-2018|A]] || 31 || 11 || [[Coppa Italia 2017-2018|CI]] || 1 || 0 || - || - || - || - || - || - || 32 || 11
|-
|| [[Atalanta Bergamasca Calcio 2018-2019|2018-2019]] || {{Bandiera|ITA}} {{Calcio Atalanta|N}} || [[Serie A 2018-2019|A]] || 16 || 6 || [[Coppa Italia 2018-2019|CI]] || - || - || [[UEFA Europa League 2018-2019|UEL]] || 6<ref name=preliminari>Nei turni preliminari</ref>|| 2<ref name=preliminari/>|| - || - || - || 22 || 8
|-
!colspan="3"|Totale carriera || 254 || 73 || || 15 || 9 || || 20 || 6 || || 0 || 0 || 289 || 88
|}
 
===Cronologia presenze e reti in nazionale===
La funzione:
{{Cronoini|COL}}
{{Cronopar|23-3-2017|Barranquilla|COL|1|0|BOL|-|QMondiali|2018|13={{Sostin|64}}}}
{{Cronopar|10-10-2017|Lima|PER|1|1|COL|-|QMondiali|2018|13={{Sostout|71}}|14=Lima (Perù)}}
{{Cronopar|10-11-2017|Suwon|KOR|2|1|COL|-|Amichevole|13={{Sostout|64}}}}
{{Cronopar|14-11-2017|Chongqing|CHN|0|4|COL|-|Amichevole|13={{Sostout|46}}}}
{{Cronopar|23-3-2018|Saint-Denis|FRA|2|3|COL|-|Amichevole|13={{Sostin|68}}|14=Saint-Denis (Senna-Saint-Denis)}}
{{Cronofin|5|0}}
 
==Palmarès==
:<math>H(z)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^\infty h[m] z^{-m}</math>
===Club===
====Competizioni nazionali====
*{{Calciopalm|Campionato colombiano|1}}
:América de Cali: [[Apertura e Clausura|Clausura]] 2008
 
*{{Calciopalm|Coppa Italia|1}}
dipende solo dal parametro ''z'', ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) <math>z^n</math> del sistema LTI.
:Napoli: [[Coppa Italia 2013-2014|2013-2014]]
 
*{{Calciopalm|Supercoppa italiana|1}}
La [[trasformata zeta]]:
:Napoli: [[Supercoppa italiana 2014|2014]]
 
===Nazionale===
:<math>H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\} = \sum_{n=-\infty}^\infty h[n] z^{-n}</math>
*{{Calciopalm|Torneo di Tolone|1}}
:[[Torneo di Tolone 2011|2011]]
 
==Note==
è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure <math>e^{j \omega n}</math>, con <math>\omega \in \mathbb{R}</math>, che possono essere scritte come <math>z^n</math>, dove <math>z = e^{j \omega}</math>. Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla [[trasformata di Fourier a tempo discreto]]:
<references/>
 
==Altri progetti==
:<math>H(e^{j \omega}) = \mathcal{F}\{h[n]\}</math>
{{interprogetto}}
 
==Collegamenti esterni==
Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:
*{{Collegamenti esterni}}
*{{Cita web|url=http://www.sscnapoli.it/web/listplayer.aspx#&slider1=28|titolo=Profilo e statistiche su SSCNapoli.it}}
 
{{Calcio Atalanta rosa}}
:<math>y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m] = \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)X(z)\}</math>
{{Nazionale colombiana under-20 mondiali 2011}}
 
{{Portale|biografie|calcio}}
==Descrizione matematica==
Un sistema stazionario o invariante alla traslazione è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo, ma sono costanti. Il processo fisico di cui il sistema ne è il modello è quindi un sistema di equazioni alle differenze a coefficienti costanti:
 
:<math>x(n+1)=f(x_0,n_0,u(n)) \ </math>
:<math>y(n)=h(x_0,n_0,u(n)) \ </math>
 
dove <math>x(n),x_0,u(n),y(n)</math> dove sono [[Vettore (matematica)|vettori]] [[colonna]] composti rispettivamente da:
 
* Variabili di stato in funzione del tempo ''n''. In generale non possono essere fissate né osservate direttamente.
* Variabili di stato all'istante iniziale <math>t_0</math>.
* Le variabili in ingresso. Ci possono essere particolari variabili di ingresso, dette ''disturbi'' o ''rumori'', su cui non si può agire in alcun modo
* Le uscite, cioè le variabili misurate da cui si deduce, a seconda delle caratteristiche di [[osservabilità]] del sistema, il valore o la [[stima dello stato]] in funzione del tempo ''n''.
 
Le funzioni <math>f</math> e <math>h</math> non dipendono direttamente da ''n''.
 
Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso:
 
:<math>x(n+1)=A(n)x(n)+B(n)u(n)</math>
:<math>y(n)=C(n)x(n)+D(n)u(n)</math>
 
dove <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> sono [[matrice|matrici]] di dimensioni opportune che [[moltiplicazioni tra matrici|premoltiplicano]] <math>x(n)</math> e <math>u(n)</math>.
 
Unendo le precedenti si ottiene il processo LIT, descritto da equazioni matriciali lineari:
 
:<math>\left\{\begin{array} {c} x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array} \right.</math>
 
dove le matrici sono costanti.
 
===Esempio===
Ad esempio, volendo analizzare la dinamica del prodotto interno lordo <math>P(n)</math> di una nazione, siano <math>C(n)</math> i consumi, <math>I(n)</math> gli investimenti e <math>G(n)</math> le spese per il governo. Se <math>P(n)</math> è l'uscita del sistema e <math>G(t)</math> l'ingresso, lo stato del sistema è dato dal vettore <math>(C(n),I(n)))</math>. Secondo il modello di Samuelson i consumi si possono assumere proporzionali al prodotto interno lordo dell'anno precedente, pertanto si ha:
 
:<math>C(n)=mP(n-1) </math>
 
e quindi <math>C(n+1)=mP(n) </math> con 0<m<1 dove m è la propensione marginale al consumo. Inoltre. sempre secondo tale modello gli investimenti sono proporzionali all'incremento di consumo per cui si ha:
 
:<math>I(n+1)=\mu(C(n+1)-C(n)) </math>
 
Infine vi è l'equazione di bilancio:
 
:<math>P(n)=C(n)+I(n)+G(n) </math>
 
Risolvendo il sistema si ricava che:
 
:<math>A=\left(\begin{array}{cc}
m & m\\
\mu(m-1) & \mu m\end{array}\right) \qquad B=\left(\begin{array}{c}m\\
m\mu\end{array}\right) \qquad C=(1 \quad 1) \qquad D=(1) \ </math>
 
=== Soluzione del sistema ===
Si vuole risolvere l'equazione:
 
:<math>\left\{\begin{array} {c} x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array} \right.</math>
 
Si deve valutare per <math>n=0,1,2,\dots</math> e pertanto si ha:
 
:<math>x(1)=Ax(0)+Bu(0) \ </math>
 
:<math>x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^2x(0)+ABu(0)+Bu(1) \ </math>
 
:<math>x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^3x(0)+A^2Bu(0)+ABu(1)+Bu(2) \ </math>
 
:<math>x(n)=A^n x(0)+A^{n-1}Bu(0)+A^{n-2}Bu(1)+...+Bu(n-1) \ </math>
 
Si ottiene:
 
:<math>x(n)=A^n x(0)+\sum^{n-1}_{m=0}A^m Bu(n-m-1) \ </math>
 
Posto <math>l=n-m-1</math> si ha <math>m=n-l-1</math>, e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:
 
:<math>x(n)=A^n x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}A^{n-l-1} Bu(l)</math>
 
Occorre distinguere i seguenti casi:
 
* <math>A</math> ammette soltanto [[autovalori]] [[reali]] con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
* <math>A</math> ammette soltanto autovalori [[complessi coniugati]].
* <math>A</math> ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
* <math>A</math> non è [[diagonalizzabile]].
 
====Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidenti====
In tal caso considerata la matrice <math>P</math>, ''n'' per ''n'', le cui colonne sono gli [[autovettori]] di <math>A</math> [[linearmente indipendenti]] che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiente, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:
 
:<math>P^{-1}AP=\Lambda \ </math>
 
dove <math>\Lambda</math> è la [[matrice diagonale]] in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di <math>A</math> ripetuti eventualemnte ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di <math>A</math> sono reali e distinti sulla matrice diagonale <math>\Lambda</math> vi saranno gli n autovalori distinti di <math>A</math>. Essendo <math>A=P \Lambda P^{-1}</math> allora:
 
:<math>A^{n}=(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})...(P \Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n}P^{-1} \ </math>
 
pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:
 
:<math>x(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l) \ </math>
 
Si nota che la [[risposta libera nello stato]] ottenuta ponendo <math>u(t)=0</math> è:
 
:<math>x_{l}(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0) \ </math>
 
mentre la ''risposta forzata nello stato'', ottenuta ponendo <math>x(0)=0</math>, è:
 
:<math>x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l) \ </math>
 
Inoltre la ''risposta libera nell'uscita'' per <math>u(l)=0</math> è:
 
:<math>y_{l}(n)=CP\Lambda^{n}P^{-1} x(0) \ </math>
 
mentre la ''risposta forzata nell'uscita''' per <math>x(0)=0</math> è:
 
:<math>y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)+Du(n) \ </math>
 
====Autovalori complessi coniugati====
Volendo analizzare il caso in cui <math>A</math> ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che <math>A</math> sia una matrice 2 per 2 e siano <math>\alpha+j\omega</math> (<math>j</math> è l'[[unità immaginaria]]), <math>\alpha-j\omega</math> i due autovalori complessi coniugati di <math>A</math>, e siano <math>u_{a}+ju_{b}</math>, <math>u_{a}-ju_{b}</math> i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
 
:<math>(A-(\alpha+j\omega)I)((u_{a}+ju_{b})=0 \ </math>
 
dove <math>I</math> è la [[matrice identica]] di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:
 
:<math>((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0 \ </math>
 
Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:
 
:<math>\begin{array}{c} (A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b}=0\\ (A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}=0\end{array} \ </math>
 
che può essere posto nella forma:
 
:<math> A(u_a u_b)=(u_a u_b)\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \omega \\
-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>
 
Pertanto se si pone <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:
 
:<math>TAT^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \omega \\
-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>
 
Rappresentando il numero complesso <math>u_{a}+ju_{b}</math> nel piano di Gauss se <math>\lambda
</math> è il modulo e <math>\beta</math> l'argomento si ha:
 
:<math>\alpha=\lambda\cos\beta</math> e <math>\omega=\lambda \; \mathrm{sen} \,\beta</math>
 
pertanto:
 
:<math>A=T^{-1}\lambda\left(\begin{array}{cc}
\cos\beta & \; \mathrm{sen} \,\beta \\
- \; \mathrm{sen} \,\beta & \cos\beta \end{array}\right)T</math>
 
Si dimostra per induzione che:
 
:<math>A^n=T^{-1}\lambda^{n}\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta & \; \mathrm{sen} \,n \beta \\
- \; \mathrm{sen} \,n \beta & \cos n \beta \end{array}\right)T</math>
 
Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:
 
:<math>x(n)=T^{-1}\lambda^{n}\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta & \; \mathrm{sen} \,n \beta \\
- \; \mathrm{sen} \,n \beta & \cos n \beta \end{array}\right)T x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}T^{-1}\lambda^{n}\left(\begin{array}{cc}
\cos (n-l-1)\beta & \; \mathrm{sen} (n-l-1) \beta \\
- \; \mathrm{sen} (n-l-1) \beta & \cos (n-l-1) \beta \end{array}\right)T Bu(l)</math>
 
====Autovalori reali e autovalori complessi coniugati====
Si supponga che la matrice <math>A</math> di ordine ''n'' ammetta <math>k</math> autovalori reali distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k</math> a cui corrispondono <math>k</math> autovettori distinti <math>v_1,v_2,...,v_k</math> allora si hanno le seguenti equazioni:
 
:<math>\begin{array}{c} Av_1=\lambda_1v_1\\Av_2=\lambda_2v_2\\...\\Av_k=\lambda_kv_k \end{array}</math>
 
Si supponga inoltre che la matrice <math>A</math> ammetta <math>p</math> coppie di autovalori complessi coniugati la cui ''p''-esima coppia è:<math>\alpha_p+j\omega_p</math> e <math>\alpha_p-j\omega_p</math> a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati <math>u_{a_p}+ju_{b_p}</math> e <math>u_{a_p}-ju_{b_p}</math> allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se <math>\tau_p</math> è il modulo dell'autovalore p-esimo e <math>\beta</math> il suo argomento si ha:
 
:<math>A(u_{a_p} u_{b_p})=(u_{a_p} u_{b_p})\tau_p\left(\begin{array}{cc}
\cos \beta_p & \; \mathrm{sen} \,\beta_p \\
- \; \mathrm{sen} \,\beta_p & \cos \beta_p \end{array}\right)</math>
 
Ora posto <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono i <math>k</math> autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle <math>p</math> coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:
 
:<math>T^{-1}=(v_1,v_2,...,v_k,u_{a_1},u_{b_1},u_{a_2},u_{b_2},...,u_{a_p},u_{b_p})</math>
 
allora dalle precedenti equazioni si ha la [[matrice diagonale]] [[matrice a blocchi|a blocchi]]:
 
:<math>TAT^{-1}=\mbox{diag} \left(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k,\tau_p\left(\begin{array}{cc}
\cos \beta_1 & \; \mathrm{sen} \,\beta_1 \\
- \; \mathrm{sen} \,\beta_1 & \cos \beta_1 \end{array}\right),...,\tau_p\left(\begin{array}{cc}
\cos \beta_p & \; \mathrm{sen} \,\beta_p \\
- \; \mathrm{sen} \,\beta_p & \cos \beta_p \end{array}\right)\right)</math>
 
pertanto:
 
:<math>x_l(t)=T^{-1}\mbox{diag} \left(\lambda_1^n,\lambda_2^n,...,\lambda_k^n,
\tau_p^n\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta_1 & \; \mathrm{sen} \,n\beta_1 \\
- \; \mathrm{sen} \,n\beta_1 & \cos n\beta_1 \end{array}\right),...,\tau_p^n\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta_p & \; \mathrm{sen} \,n\beta_p \\
- \; \mathrm{sen} \,n\beta_p & \cos n\beta_p \end{array}\right)\right)Tx(0)</math>
 
====La matrice non è diagonalizzabile====
{{...}}
 
==Voci correlate==
*[[Sistema dinamico]]
*[[Controlli automatici]]
*[[Z-trasformata]]
*[[Attrattore]]
*[[Equazione differenziale]]
*Processo [[ergodico]]
*[[Sistema dinamico lineare stazionario]]
*[[Controlli automatici]]
*[[Trasformata di Laplace]]
*[[Controllabilità (Teoria dei sistemi)|Controllabilità]] di un sistema dinamico.
*[[Automa (informatica)]]
*[[Teoria del caos]]
 
== Bibliografia ==
* E. Fornasini, G. Marchesini, ''Appunti di Teoria dei Sistemi'', Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
* A. Ruberti, S. Monaco, ''Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni'', Pitagora Editrice, Bologna, 1998.
* O.M. Grasselli, ''Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari'', Pitagora Editrice, Bologna, 1978
 
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[[Categoria:Teoria dei sistemi dinamici]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_dinamico_lineare_stazionario_discreto"