Equazione di Poisson e Alberto I d'Asburgo: differenze tra le pagine

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{{Monarca

In [[matematica]], l''''equazione di Poisson''' è un'[[equazione alle derivate parziali]] con vaste utilità in [[elettrostatica]], [[ingegneria meccanica]] e [[fisica teorica]]. Il suo nome deriva dal [[matematico]], [[geometria|geometra]], [[fisico]] [[Francia|francese]] [[Simeon Poisson|Siméon-Denis Poisson]].

|nome = Alberto I

|immagine = König Albrecht schickt wegen seiner Kaiserkrönung einen Boten zu Papst Bonifatius.jpg

|legenda = Alberto invia un messo a [[Papa Bonifacio VIII]], rappresentazione del [[1450]]

|titolo = [[Sovrani di Germania|Re di Germania]]

|sottotitolo = (formalmente '''[[Re dei Romani]]''')

|inizio regno = 27 luglio [[1298]]

|fine regno = 1º maggio [[1308]]

|incoronazione = 24 agosto [[1298]]

|stemma = Shield and Coat of Arms of the Holy Roman Emperor (c.1200-c.1300).svg

|predecessore = [[Adolfo di Nassau|Adolfo I]]

|successore = [[Enrico VII di Lussemburgo|Enrico VII]]

|titolo1 = [[Sovrani d'Austria|Duca d'Austria]]

|inizio regno1 = dicembre [[1282]]

|fine regno1 = 1º maggio [[1308]]

|predecessore1 = [[Rodolfo I d'Asburgo|Rodolfo I]]

|successore1 = [[Federico I d'Asburgo|Federico I]]<br />e [[Leopoldo I d'Asburgo (duca)|Leopoldo I]]

|data di nascita = [[1255]]

|luogo di nascita = [[Rheinfelden (Svizzera)|Rheinfelden]]

|data di morte = 1º maggio [[1308]]

|luogo di morte = [[Brugg]]

|luogo di sepoltura =

|dinastia = [[Casa d'Asburgo|Asburgo]]

|padre = [[Rodolfo I d'Asburgo]]

|madre = [[Gertrude di Hohenberg]]

|consorte = [[Elisabetta di Tirolo-Gorizia]]

|figli =

|religione = [[Chiesa cattolica|Cristianesimo Cattolico]]

}}

{{Bio

|Nome = Alberto I

|Cognome = d'Asburgo

|ForzaOrdinamento = Alberto 01 d'Asburgo

|Sesso = M

|LuogoNascita = Rheinfelden

|LuogoNascitaLink = Rheinfelden (Svizzera)

|GiornoMeseNascita = luglio

|AnnoNascita = 1255

|LuogoMorte = Brugg

|GiornoMeseMorte = 1º maggio

|AnnoMorte = 1308

|Attività = sovrano

|Nazionalità =

|Categorie = no

|FineIncipit = è stato [[duca d'Austria]] dal [[1282]] al [[1308]] e [[Sovrani di Germania|re di Germania]] dal [[1298]] al [[1308]]

}}

== Biografia ==

L'equazione di Poisson è

Ricevette il Ducato d'Austria nel [[1282]] dal padre [[Rodolfo I d'Asburgo]], re di Germania, dopo la [[battaglia di Marchfeld]] su [[Ottocaro II di Boemia|Ottocaro II]], assieme al fratello [[Rodolfo II d'Asburgo (1270-1290)|Rodolfo II]] (morto nel [[1290]]). Ben presto suscitò un vasto scontento tra la nobiltà dei ducati, a causa della sua politica volta a mettere in disparte le famiglie locali sostituendole con nobili svevi a lui legati, soprattutto i conti di Wallsee. Le prime rivolte avvennero in Stiria, nel [[1291]], e nel [[1295]] a rivoltarsi fu la nobiltà dell'Austria. Anche a [[Vienna]] Ottokar Přemysl fu a lungo preferito ad Alberto, anche per i consistenti rapporti commerciali verso l'area boema. Ciononostante nel [[1296]] a Vienna fu concesso un nuovo [[Statuto (diritto)|statuto]], il primo ad essere composto in lingua tedesca.

Dopo la morte del padre Rodolfo, avvenuta nel 1291, gli [[Principe elettore|elettori imperiali]] tedeschi si rifiutarono di riconoscere il diritto al trono di Alberto e nominarono re di Germania [[Adolfo di Nassau]]. Con l'aiuto di una coalizione di principi tedeschi, Alberto riuscì a deporre Adolfo e gli succedette nel 1298. Lo scontro tra Adolfo e Alberto venne deciso nella [[battaglia di Göllheim]], nella quale Adolfo venne ucciso. Grazie ai rapporti matrimoniali con la Francia, Alberto riuscì a stipulare un trattato di pace con [[Filippo IV di Francia|Filippo IV il bello]], con il quale era in contrasto per questioni di confine.

:<math>\Delta\varphi=f</math>

Alberto dovette intervenire con durezza anche per tutelare i diritti doganali imperiali, costringendo gli arcivescovi elettori e il conte del palatinato alla capitolazione. [[Papa Bonifacio VIII]] era però contrario allo scioglimento del collegio dei principi elettori. Il riconoscimento papale giunse solamente nel [[1303]], in cambio di importanti concessioni che limitavano fortemente l'autorità imperiale, soprattutto in Italia, che potevano essere intese persino come l'obbligo di un giuramento di fedeltà dell'Imperatore al Papa.

dove <math>\Delta</math> è l'[[operatore di Laplace]], e ''f'' e &phi; sono [[funzione (matematica)|funzioni]] [[numeri reali|reali]] o [[numero complesso|complesse]] su una [[varietà]]. Quanto la varietà è lo [[spazio euclideo]], l'operatore di Laplace è spesso denotato con <math>{\nabla}^2</math> e l'equazione di Poisson è scritta frequentemente come

Alberto parve giungere ad un passo dall'unificazione politica dell'intera Europa Centrale quando, alla morte di [[Venceslao III di Boemia|Venceslao III]], [[regno di Boemia|re di Boemia]], riuscì a mettere sul trono di Praga suo figlio [[Rodolfo I di Boemia|Rodolfo]]. Ma la nobiltà boema si ribellò decidendo di rovesciarlo. Alberto li costrinse ben presto a riconoscere il nuovo re, il quale però, durante la compagna bellica, morì di tifo. Gli successe il [[Gorizia (famiglia)|mainardino]] [[Enrico di Carinzia e Tirolo]].

:<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>

Nel 1307 però egli subì una pesante sconfitta, nei suoi piani per l'egemonia asburgica. In relazione alla controversia su un feudo in Turigia e Meissen, Alberto perse la [[battaglia di Lucka]] contro i figli di [[Alberto II di Meissen]], della [[casata di Wettin]]: come re, Alberto, con un grosso esercito, invase l'[[Osterland]], ma il 31 maggio 1307 [[Dietrich IV (Lausitz)|Dietrich&nbsp;IV di Lausitz]] e [[Federico I di Meissen]], che lo attendevano a capo di cittadini e contadini armati insieme a un gruppo di cavalieri del [[Braunschweig]], gli inflissero una sonora sconfitta.

In [[coordinate cartesiane]] in tre dimensioni prende la forma

{{Asburgo (1273-1438)}}

Durante il suo regno, si impegnò per migliorare le condizioni dei [[servitù della gleba|servi della gleba]], degli [[ebrei]] e della classe mercantile. Contemporaneamente condusse senza successo una guerra contro la [[Turingia]]. Mentre cercava di riconquistarla, venne assassinato dal nipote, [[Giovanni il Parricida]], cui aveva sottratto ingiustamente l'eredità. Gli succedette [[Enrico VII di Lussemburgo|Enrico di Lussemburgo]], che divenne imperatore del Sacro romano impero con il nome di Enrico VII.

:<math>

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

</math>

== Discendenza ==

Per ''f'' nulle, questa equazione diventa l'[[equazione di Laplace]]

Nel [[1276]] sposò a [[Vienna]] [[Elisabetta di Tirolo-Gorizia]] dalla quale ebbe i seguenti figli:

* [[Anna d'Asburgo (1280-1328)|Anna]] ([[1280]] - 19 marzo [[1328]]);

:<math>\Delta \varphi = 0. \!</math>

* [[Agnese d'Ungheria|Agnese]] (18 maggio [[1281]] - 10 giugno [[1364]]);

* [[Rodolfo I di Boemia|Rodolfo III]] (ca. [[1282]] - 4 luglio [[1307]]), Re di Boemia;

* [[Elisabetta d'Austria (1285-1352)|Elisabetta]] ([[1285]] - 19 maggio [[1352]]);

* [[Federico il Bello d'Asburgo]] ([[1289]] - 13 gennaio [[1330]]), rex Romanorum e coreggente del Sacro Romano Impero;

* [[Leopoldo I d'Asburgo (duca)|Leopoldo I]] (4 agosto [[1290]] - 28 febbraio [[1326]]), Duca d'Austria;

* [[Caterina d'Asburgo (1295-1323)|Caterina]] (ottobre [[1295]] - 18 gennaio [[1323]]);

* [[Alberto II lo Sciancato|Alberto II]] (12 dicembre [[1298]] - 20 luglio [[1358]]), Duca d'Austria;

* [[Enrico il Gioioso]] ([[1299]] - 3 febbraio [[1327]]), Duca d'Austria;

* Mainardo ([[1300]]-[[1301]]);

* [[Otto il Gioioso]] (23 luglio [[1301]] - 17 febbraio [[1339]]), Duca d'Austria;

* Guta ([[1302]] - marzo [[1329]]).

== Altri progetti ==

Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:

{{interprogetto|commons=Category:Albert I of Habsburg}}

== Collegamenti esterni ==

:<math>\varphi(\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{\frac{f(\mathbf{x'})}{\mid \mathbf{x}-\mathbf{x'} \mid}dV}</math>

* {{de}} {{collegamento interrotto|1=[http://ri-regesten.adwmainz.de Onlineversion] |date=novembre 2017 |bot=InternetArchiveBot }} dei [[Regesta Imperii]]

{{Box successione

integrata su '''x''''.

|tipologia = regnante

|carica = [[Imperatori del Sacro Romano Impero|Imperatore del Sacro Romano Impero]]<br /><small>([[Re dei Romani]])</small>

|periodo = [[1298]] – [[1308]]

|precedente = [[Adolfo di Nassau|Adolfo I]]

|successivo = [[Enrico VII di Lussemburgo|Enrico VII]]

|immagine = Armoiries Saint-Empire monocéphale.png

}}

{{Box successione

|tipologia = titolo nobiliare

|carica = [[Sovrani d'Austria|Duca d'Austria]]

|periodo = [[1282]] – [[1308]]

|coreggente = [[Rodolfo II d'Asburgo (1270-1290)|Rodolfo II]] ([[1282]] – [[1290]])

|coreggente2 = [[Rodolfo I di Boemia|Rodolfo III]] ([[1298]] – [[1307]])

|precedente = [[Rodolfo I]]

|successivo = [[Federico il Bello d'Asburgo|Federico I]]<br />e [[Leopoldo I d'Asburgo (duca)|Leopoldo I]]

|immagine = Gules a fess argent.svg

}}

{{Controllo di autorità}}

La soluzione precedente è unica se valgono opportune condizioni al contorno. In particolare, se:

{{Portale|Asburgo|biografie|storia}}

[[Categoria:Asburgo]]

:<math>V = \mathbb{R}^3 \mbox{ e } f \ne 0 \mbox{ in una regione limitata}</math>

[[Categoria:Duchi d'Austria]]

[[Categoria:Imperatori del Sacro Romano Impero]]

allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:

[[Categoria:Langravi di Turingia]]

[[Categoria:Reali assassinati]]

:<math>\lim_{r \to \infty} \varphi (\mathbf{x}) \mid \mathbf{x}-\mathbf{y} \mid = costante < \infty</math>

[[Categoria:Personaggi citati nella Divina Commedia (Purgatorio)]]

[[Categoria:Personaggi citati nella Divina Commedia (Paradiso)]]

dove '''y''' è un punto arbitrario tale che:

:<math>f(\mathbf{y}) \ne 0</math>.

L'equazione di Poisson può essere risolta usando una [[funzione di Green]]. Esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il '''metodo di rilassamente''', un algoritmo iterativo, è un esempio.

==Elettrostatica==

Uno delle pietre angolari dell'[[elettrostatica]] è la formulazione e la risoluzione di problemi che sono descritti da un'equazione di Poisson. Trovare &phi; per una data ''f'' è un importante problema pratico, poiché questo è il modo usuale per trovare il [[potenziale elettrico]] per una data distribuzione di cariche. Nelle unità [[SI]]:

:<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}</math>

dove <math> \Phi \! </math> è il potenziale elettrico (in [[volt]]). <math> \rho \!</math> è la [[densità di carica]] (in [[coulomb]] su metri cubi), e <math> \epsilon_0 \!</math> è la [[permeabilità]] del vuoto (in [[farad]] per metro).

In una regione di spazio dove non ci sono densità di carica, si ha

:<math>\rho = 0, \, </math>

e l'equazione per il potenziale diventa un'[[equazione di Laplace]]:

:<math>{\nabla}^2 \Phi = 0.</math>

== Potenziale di una densità di carica gaussiana ==

Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria simmetrica [[distribuzione gaussiana|gaussiana]]

<math> \rho(r) </math>:

:<math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>

dove ''Q'' è la carica totale, allora la soluzione &Phi; (''r'') dell'equazione di Poisson è:

:<math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 } </math>

data da:

:<math> \Phi(r) = \frac{ 1} {4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

</math>

dove erf(''x'') la [[funzione errore]].

Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di <math>{\nabla}^2 \Phi</math>.

Si noti che, per ''r'' maggiore di &sigma;, erf(''x'') tende all'unità e il potenziale &Phi; (''r'' tente al potenziale di una carica puntiforme <math> \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r}</math> come ci si aspetta.

==Bibliografia==

* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf Poisson Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

* L.C. Evans, ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

[[Categoria:Equazioni alle derivate parziali]]

[[Categoria:Elettromagnetismo]]

[[de:Poisson-Gleichung]]

[[en:Poisson's equation]]

[[es:Ecuación de Poisson]]

[[fr:Équation de Poisson]]

[[he:משוואת פואסון]]

[[ja:ポアソン方程式]]

[[nl:Poissonvergelijking]]

[[pl:Równanie różniczkowe Poissona]]

[[sl:Poissonova enačba]]