Numero perfetto e Wikipedia:Pagine da cancellare/Conta/2019 marzo 13: differenze tra le pagine

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{{Conteggio cancellazioni}}

Un numero si dice '''perfetto''' quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso sé stesso.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Start|10:56, 17 mar 2019 (CET)}}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 1 |voce = Simona Waltert |turno = |tipo = consensuale prorogata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = tennis |temperatura = 12 }}

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 2 |voce = Elio Aste |turno = |tipo = consensuale prorogata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = biografie |temperatura = 65 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 3 |voce = Alta profondità |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = letteratura |temperatura = 2 }}

:6 = 1 + 2 + 3

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 4 |voce = L'amore di Lupo |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = letteratura |temperatura = 2 }}

:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 5 |voce = Miti e leggende della Sicilia |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = mitologia, Sicilia |temperatura = 68 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 6 |voce = Battista Acquaviva |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = musica, biografie |temperatura = 34 }}

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai [[Pitagora|pitagorici]].

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 7 |voce = Hans Nicolussi Caviglia |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 31 }}

Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da [[Euclide]] rivelò che se  2^''n''+1 - 1  è un [[numero primo]], allora  2^''n'' · (2^''n''+1 - 1)  è perfetto. Successivamente [[Eulero]] dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 8 |voce = Anna Clemente |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 marzo 13 |multipla = |argomenti = atletica leggera |temperatura = 0 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Stop}}

Esempio: 6 = 2¹ · (2² - 1)

Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:

* un [[numero triangolare]], visto che si può scrivere

:<math>2^n (2^{n+1}-1) = {(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-1+1) \over 2} = {k(k+1) \over 2}</math>

* un [[numero esagonale]], visto che si può scrivere

:<math>2^n (2^{n+1}-1) \,=\, 2^{2n+1} - 2^n= 2k^2-k</math>

I primi 10 numeri perfetti sono:

* [[sei|6]]

* [[ventotto|28]]

* [[quattrocentonovantasei|496]]

* [[8128 (numero)|8128]]

* 33.550.336 (8 cifre)

* 8.589.869.056 (10 cifre)

* 137.438.691.328 (12 cifre)

* 2.305.843.008.139.952.128 (19 cifre)

* 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176 (37 cifre)

* 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216 (54 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 279 cifre. A tutt'oggi (Marzo 2009) si conoscono solo 46 numeri perfetti (e di conseguenza 46 numeri primi di Mersenne)<ref>http://www.mersenne.org/</ref>. Il più grande tra questi è 2^43,112,608 &times; (2^43,112,609&nbsp;&minus;&nbsp;1) e contiene 25,956,377 cifre.

I primi 39 numeri perfetti sono sicuramente esprimibili come 2^{''n''&minus;1}(2^''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1) con:

''n'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 {{OEIS|id=A000043}}.

Si conoscono altri 7 numeri numeri perfetti maggiori di quelli con

''n'' = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609.

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8.

:Infatti da &nbsp;2^''n'' &middot; (2^''n''+1 - 1)&nbsp; si ha che:

:&nbsp;2^''n'' è pari e termina 2, 4, 8, 6;

:(2^''n''+1 - 1)&nbsp; è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

:Il valore '5' va scartato in quanto cadrebbe l'ipotesi di primalità, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto

Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice ''[[numero abbondante|abbondante]]'', se risulta minore, verrà chiamato ''[[numero difettivo|difettivo]]''.

Benché esistano infiniti numeri ''lievemente difettivi'', cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri ''lievemente abbondanti''.

Più in generale, i numeri ''lievemente difettivi'' sono uguali a:

:2^''n'' &middot; 2^''n''+1

== Note ==

<references />

== Voci correlate ==

*[[Numero semi-perfetto]]

*[[Numero primo di Mersenne]]

*[[Numeri amicabili]]

== Collegamenti esterni ==

* [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers] di David Moews

* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html Perfect numbers - History and Theory] in [[MacTutor]]

* [http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html Perfect Number] in [[MathWorld]]

* [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A000396 Sequence A000396] della [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]

== Bibliografia ==

* Kevin Hare (2005): ''New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number.'' Preprint disponibile nella [http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/ pagina web] dell'autore.

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Numeri]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[ar:عدد مثالي]]

[[bg:Съвършено число]]

[[bn:নিখুঁত সংখ্যা]]

[[br:Niver peurvat]]

[[ca:Nombre perfecte]]

[[cs:Dokonalé číslo]]

[[da:Fuldkomne tal]]

[[de:Vollkommene Zahl]]

[[el:Τέλειος αριθμός]]

[[en:Perfect number]]

[[eo:Perfekta nombro]]

[[es:Número perfecto]]

[[fi:Täydellinen luku]]

[[fr:Nombre parfait]]

[[gl:Número perfecto]]

[[he:מספר משוכלל]]

[[hu:Tökéletes számok]]

[[id:Bilangan sempurna]]

[[is:Fullkomin tala]]

[[ja:完全数]]

[[ko:완전수]]

[[lmo:Nümar parfett]]

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[[nap:Nummero perfetto]]

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[[ro:Număr perfect]]

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