Quaternione e Jenny Jonsson: differenze tra le pagine

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{{Sportivo

In [[matematica]], i '''quaternioni''' sono entità introdotte da [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]] come estensioni dei [[numeri complessi]].

|Nome = Jenny Jonsson

|Sesso = F

|CodiceNazione = {{SWE}}

|Disciplina = Biathlon

|Squadra = I21 IF

|Aggiornato = marzo 2014

}}

{{Bio

|Nome = Jenny

|Cognome = Jonsson

|Sesso = F

|LuogoNascita = Sollefteå

|LuogoNascitaLink = Sollefteå (comune)

|GiornoMeseNascita = 30 agosto

|AnnoNascita = 1987

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|Attività = biatleta

|Nazionalità = svedese

}}

== Biografia ==

I quaternioni sono un [[corpo non commutativo]]: hanno quindi tutte le proprietà usuali dei [[campo (matematica)|campi]], quali i [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]], tranne la [[proprietà commutativa]] del prodotto.

Nata a [[Helgum]] di [[Sollefteå (comune)|Sollefteå]]<ref>{{cita web|url=http://www.jennyjonsson.se/om-mig/|titolo="Om mig" sul sito personale|accesso=1 novembre 2013|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20131103110822/http://www.jennyjonsson.se/om-mig/|dataarchivio=3 novembre 2013}}</ref>, in [[Coppa del Mondo di biathlon|Coppa del Mondo]] ha esordito il 27 febbraio 2008 a [[Pyeongchang]] (59ª) e ha ottenuto la prima vittoria, nonché primo podio, il 6 gennaio 2011 a [[Oberhof (Germania)|Oberhof]].

In carriera ha preso parte a tre edizioni dei [[Campionati mondiali di biathlon|Campionati mondiali]] (5ª nella staffetta mista a [[Campionati mondiali di biathlon 2012|Ruhpolding 2012]] il miglior piazzamento).

I quaternioni contengono i numeri complessi, e sono anche uno [[spazio vettoriale]] sui numeri reali a 4 [[dimensione di Hamel|dimensioni]] (analogamente ai complessi, che sono uno spazio sui reali a 2 dimensioni). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale danno quindi al corpo una struttura di [[algebra di divisione]] non [[proprietà commutativa|commutativa]].

== Palmarès ==

I quaternioni hanno importanti applicazioni nello studio del [[gruppo (matematica)|gruppo]] delle [[rotazione (matematica)|rotazioni]] dello spazio tridimensionale, nella fisica (nella [[teoria della relatività]] e nella [[meccanica quantistica]]) e nella [[robotica]].

=== Coppa del Mondo ===

* Miglior piazzamento in classifica generale: 50ª [[Coppa del Mondo di biathlon 2011|nel 2011]]

* 2 podi (entrambi a squadre):

** 1 vittoria

** 1 secondo posto

==== Coppa del Mondo - vittorie ====

== Storia ==

{| class="wikitable"

[[Immagine:Quaternion Plague on Broom Bridge.jpg|right|thumb|Sul ''Broom Bridge'' c'è ora una lapide che recita: <br/> «<small>Here as he walked by<br/> on the 16th of October 1843<br/> Sir William Rowan Hamilton<br/> in a flash of genius discovered<br/> the fundamental formula for quaternion multiplication<br/> i² = j² = k² = i j k = &minus;1<br/> & cut it on a stone of this bridge.</small>» (<small>''Mentre passeggiava su questo ponte, il 16 ottobre 1843 Sir William Rowan Hamilton con un colpo di genio scoprì la formula fondamentale per la moltiplicazione quaternionica, e la incise su una pietra.'') </small>]]

|-

I quaternioni sono stati scoperti dal matematico [[Irlanda|irlandese]] [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]]. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i [[numeri complessi]] (che possono essere visti come punti su un [[piano (geometria)|piano]]) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con 4 dimensioni: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione

! Data

:<math> i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. </math>

! Località

Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte ''Brougham'' (noto ora come ''Broom Bridge'') a [[Dublino]].

! Nazione

! Specialità

Questa scoperta necessitava dell'abbandono della legge [[proprietà commutativa|commutativa]] per la moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'[[algebra lineare]] ed il [[prodotto fra matrici]]. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il [[prodotto vettoriale]] e il [[prodotto scalare]] negli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, ''Elementi sui quaternioni'' aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

|-

| 6 gennaio 2011 || [[Oberhof (Germania)|Oberhof]] || {{DEU}} || RL<br /><small>(con [[Anna Carin Olofsson]], [[Anna Maria Nilsson]] e [[Helena Ekholm]])</small>

L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'[[algebra lineare]] e del [[calcolo vettoriale]] (sviluppato fra gli altri da [[Oliver Heaviside]] e [[Willard Gibbs]]), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] in dimensione otto). Una prima versione delle [[equazioni di Maxwell]] utilizzava una notazione basata sui quaternioni.

[[Immagine:Quaternion.jpg|thumb|right|[[Frattale]] costruito come [[insieme di Julia]]-Menge, definito con i quaternioni.]]

Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di [[rotazione|rotazioni]] e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella [[grafica computerizzata]], nella [[teoria del controllo]], nell'[[elaborazione dei segnali]], nel [[controllo dell'assetto]], in [[fisica]] e in [[astrodinamica]]. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

== Definizione ==

Un '''quaternione''' è un elemento scrivibile come

:<math> a+bi+cj+dk </math>

con <math>a,b,c </math> e <math> d </math> [[numeri reali]] ed <math> i,j,k </math> simboli letterali.

Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni

:<math> i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,</math>

che implicano in particolare le relazioni seguenti:

:<math> ij = k, </math>

:<math> jk = i, </math>

:<math> ki= j, </math>

:<math> ji =-k, </math>

:<math> kj = -i, </math>

:<math> ik = -j. </math>

I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:

:{| {{prettytable}} border cellspacing="0" cellpadding="5" bgcolor="#DDEEFF"

|-----

| align="center" bgcolor="#FFFFFF" | <math> \times </math>

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> 1 </math>

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> i</math>

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> j</math>

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> k</math>

|-----

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> 1 </math>

| align="center" | <math> 1 </math> || align="center" | <math> i</math>

| align="center" | <math> j </math> || align="center" | <math> k</math>

|-----

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> i </math>

| align="center" | <math> i </math> || align="center" | <math> -1 </math>

| align="center" | <math> k </math> || align="center" | <math> -j</math>

|-----

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> j </math>

| align="center" | <math>j </math> || align="center" | <math> -k</math>

| align="center" | <math> -1 </math> || align="center" | <math> i</math>

|-----

| align="center" bgcolor="#EEEEEE" | <math> k </math>

| align="center" | <math> k</math> || align="center" | <math> j</math>

| align="center" | <math>-i</math> || align="center" | <math> -1 </math>

|}

Legenda:<br />

RL = staffetta

== Note ==

La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:

<references/>

:<math> (a_1+b_1i+c_1j+d_1k) + (a_2+b_2i+c_2j+d_2k) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i + (c_1+c_2)j + (d_1+d_2)k </math>

mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:

:<math> (a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k) = </math>

::<math> (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + a_2b_1 +c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 + c_1a_2 +d_1b_2 - b_1d_2)j + (a_1d_2 + d_1a_2+b_1c_2 - c_1b_2)k. </math>

I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo <math> q = a </math>, con <math> b=c=d=0 </math>) ed i [[numeri complessi]] (i quaternioni del tipo <math> q = a +bi </math>, con <math> c=d=0 </math>).

=== Esempio ===

Due quaternioni:

:<math> x = 3+i </math>

:<math> y = 5i+j-2k </math>

Somma e prodotto sono dati da:

:<math> x+y = 3+6i+j-2k </math>

:<math> xy = (3+i)(5i+j-2k) = 15i+3j-6k+5i^2+ij-2ik = 15i+3j-6k-5+k+2j = </math>

::<math> = -5+15i+5j-5k. </math>

== Proprietà basilari ==

I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie ai [[numeri complessi]]: ogni quaternione ha una ''norma'', un ''coniugato'' ed un [[elemento inverso|inverso]] (se diverso da zero). Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere [[proprietà commutativa|commutativo]].

=== Prodotto non commutativo ===

Il prodotto di due quaternioni non è [[proprietà commutativa|commutativo]]. Ad esempio, come si è già visto, <math> ij = k </math> è diverso da <math> ji = -k </math>.

=== Coniugato ===

Il ''coniugato'' di un quaternione <math> q = a+bi+cj+dk </math> è il quaternione

:<math>\bar q = a-bi-cj-dk. </math>

Il coniugato è a volte indicato anche con <math>q^* </math>. Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:

:<math> \overline{\overline {q}} = q, </math>

:<math> \overline {q+q'} = \overline q + \overline q', </math>

:<math> \overline {qq'} = \overline q' \overline q. </math>

=== Norma ===

La ''norma'' di <math> q </math> è il numero reale non negativo

:<math>|q|= \sqrt{q \bar q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.</math>

La norma di <math> q </math> è sempre positiva, e nulla soltanto se <math> q = 0 </math>. Valgono le relazioni seguenti:

:<math>|q|^2 = q\bar q, </math>

:<math>|qq'| = |q||q'|.\,\! </math>

=== Inverso ===

Un quaternione <math> q </math> diverso da zero ha un [[elemento inverso|inverso]] per la moltiplicazione, dato da

:<math> q^{-1} = \frac{\overline q}{|q|^2}. </math>

Infatti

:<math> qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1 </math>

e similmente <math>q^{-1}q = 1 </math>. Valgono le proprietà seguenti:

:<math> |q^{-1}| = \frac 1{|q|}, </math>

:<math> \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1}, </math>

:<math> (qq')^{-1} = {q'}^{-1}q^{-1}.\,\! </math>

=== Struttura algebrica ===

Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con <math>\mathbb H </math>, forma un [[anello non commutativo]], più precisamente un [[corpo non commutativo]].

Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale <math> \lambda </math>, data da

:<math>\lambda (a+bi+cj+dk) = \lambda a + \lambda bi + \lambda cj + \lambda dk, </math>

i quaternioni formano anche uno [[spazio vettoriale reale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] 4: una [[base (algebra lineare)|base]] per lo spazio è data dagli elementi <math>\{1,i,j,k\} </math>.

Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di [[algebra di divisione]]. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.

=== Struttura metrica ===

Usando la funzione distanza

:<math> d(q,q') = |q-q'|, </math>

i quaternioni formano uno [[spazio metrico]], [[isometria|isometrico]] allo spazio <math>\R</math>⁴ dotato della usuale [[metrica euclidea]]. Con la norma, i quanternioni formano un'[[algebra di Banach]] reale.

== Quaternioni unitari ==

=== Gruppo di Lie ===

Le coordinate <math>(a,b,c,d) </math> di un quaternione <math> q </math> lo identificano come elemento di <math>\R^4 </math>, e tramite questa identificazione la norma <math>|q| </math> è semplicemente la [[norma euclidea]].

I '''quaternioni unitari''' sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio, <math> 1,i,j </math> e <math> k </math> sono unitari. Nell'identificazione con <math>\R^4 </math>, i quaternioni unitari formano una [[ipersfera]] tridimensionale

:<math> S^3 = \{(a,b,c,d)\in\R^4\ |\ a^2+b^2+c^2+d^2=1 \}.</math>

I quaternioni unitari formano un [[gruppo (matematica)|gruppo]] con la moltiplicazione. Tale gruppo non è [[gruppo abeliano|abeliano]]. Con la struttura di [[varietà differenziabile]] data da <math> S^3 </math>, formano un [[gruppo di Lie]].

=== Gruppo di rotazioni ===

Ogni quaternione unitario <math>q_0</math> definisce una [[rotazione (matematica)|rotazione]] dello spazio <math>\R^3 </math> nel modo seguente. Si usa la notazione scalare-vettore <math> q=(a,v) </math>, e si identifica <math>\R^3 </math> con l'insieme dei quaternioni <math>(0,v) </math> con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da <math>q_0 </math> è data dall'operazione di [[coniugio]]

:<math> q\mapsto q_0qq_0^{-1}. </math>

Si verifica infatti facilmente che se <math> q </math> ha prima coordinata nulla, anche <math>q_0qq_0{-1} </math> ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'[[azione di un gruppo|azione]] del gruppo dei quaternioni unitari su <math>\R^3 </math>. Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:

:<math> |q_0qq_0^{-1}| = |q_0||q||q_0^{-1}| = |q_0||q||q_0|^{-1} = |q|. </math>

I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in <math>\R^3</math>. Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni <math>q_0,q_0' </math> definiscono la stessa rotazione se e solo se <math>q_0 = - q_0' </math>.

=== Rivestimenti ===

Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa

:<math> S^3 \to SO(3) </math>

dal gruppo dei quaternioni unitari sul [[gruppo ortogonale speciale]] delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è [[funzione suriettiva|suriettiva]], ma non [[funzione iniettiva|iniettiva]]: la controimmagine di un punto è data da due punti opposti <math>\{\pm q_0 \} </math>. In particolare, tale mappa è un [[rivestimento]] di grado 2.

Poiché <math> S^3 </math> è [[semplicemente connesso]], questo è il [[rivestimento universale]] di <math> SO(3) </math>, che ha quindi come [[gruppo fondamentale]] il [[gruppo ciclico]] <math>\mathbb Z/_{2\mathbb Z} </math> con due elementi. Topologicamente, <math> SO(3) </math> è [[omeomorfo]] allo [[spazio proiettivo]] <math>\mathbb P^3(\R) </math>.

=== Sottogruppo finito ===

Il [[sottogruppo]] generato dagli elementi <math>\{1,i,j,k\} </math> è un [[gruppo finito]]: ha [[ordine di un gruppo|ordine]] 8, e viene spesso indicato con <math>Q_8 </math>. I suoi otto elementi sono

:<math>\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}. </math>

Il gruppo <math> Q_8 </math> è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il [[gruppo di permutazioni]] <math> S_3 </math>, che ha ordine 6.

== Notazioni e rappresentazioni alternative ==

=== Notazione scalare/vettore ===

Il quaternione <math> q = a +bi +cj +dk </math> può essere descritto anche dalla coppia <math> (a, v) </math>, dove <math> v = (b,c,d) </math> è un vettore in <math>\R^3 </math>. Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:

:<math>\begin{matrix}q_1 + q_2 &=& (a_1 , v_1) + (a_2, v_2) = (a_1+a_2, v_1 + v_2) \\

q_1 \cdot q_2 &=& (a_1 a_2 - v_1 \cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \wedge v_2)\end{matrix}</math>

dove si usano il [[prodotto scalare]] ed il [[prodotto vettoriale]] fra vettori di <math>\R^3 </math>.

Le nozioni di coniugato e norma diventano:

:<math>\bar q = (a ,-v)</math>

:<math>|q|^2 = a^2 + |v|^2\,\! </math>

usando l'usuale [[norma (matematica)|norma]] di un vettore in <math>\R^3 </math>.

=== Coppia di numeri complessi ===

Grazie alla relazione <math> k = ij = -ji</math>, ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli <math> i </math> e <math> j </math> nel modo seguente:

:<math> q = a+bi+cj+dk = a+bi + cj-dji = a+bi + j(c-di) </math>

Quindi

:<math> q = z +jw </math>

dove <math> z = a+bi </math> e <math> w=c-di </math> sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione

:<math>ij = -ji. </math>

=== Matrici ===

I quaternoni possono essere espressi tramite [[matrice|matrici]] <math> 2\times 2 </math> di [[numero complesso|numeri complessi]], oppure matrici <math> 4\times 4 </math> di numeri reali.

==== Matrici <math> 2\times 2 </math> complesse ====

Gli elementi <math> 1,i,j,k </math> sono rappresentati rispettivamente da:

:<math>\left[

\begin{matrix}

1, &0\\

0, &1\\

\end{matrix}\right], \quad

\left[

\begin{matrix}

0, &1\\

-1, &0\\

\end{matrix}\right], \quad

\left[

\begin{matrix}

0, &i\\

i, &0\\

\end{matrix}\right], \quad

\left[

\begin{matrix}

i, &0\\

0, &-i\\

\end{matrix}\right].

</math>

Il quaternione <math> a+bi+cj+dk </math> è quindi rappresentato da

:<math>\begin{bmatrix} a+di & b+ci \\ -b+ci & \,\, a-di \end{bmatrix}</math>

Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

* Tutti i numeri complessi (i quaternioni con <math> c=d=0 </math>) corrispondono a matrici a valori solo reali.

* Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al [[determinante]] della matrice corrispondente.

* Il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta coniugata|coniugata trasposta]] della matrice corrispondente.

* Limitandola ai quaternioni unitari, questa rappresentazione fornisce un [[isomorfismo]] di gruppo tra le [[sfera|sfera]] <math>S^3</math> ed il [[grupppo unitario speciale]] SU(2). Questo gruppo è strettamente collegato alle [[matrici di Pauli]], ed è importante nella [[meccanica quantistica]] per gestire lo [[spin]].

==== Matrici <math> 4\times 4 </math> reali ====

Gli elementi <math> 1,i,j,k </math> sono rappresentati rispettivamente da:

:<math>

\left[

\begin{matrix}

1,&0,&0,&0\\

0,&1,&0,&0\\

0,&0,&1,&0\\

0,&0,&0,&1\\

\end{matrix} \right], \quad

\left[

\begin{matrix}

0,&1,&0,&0\\

-1,&0,&0,&0\\

0,&0,&0,&1\\

0,&0,&-1,&0\\

\end{matrix} \right], \quad

\left[

\begin{matrix}

0,&0,&0,&-1\\

0,&0,&-1,&0\\

0,&1,&0,&0\\

1,&0,&0,&0\\

\end{matrix} \right], \quad

\left[

\begin{matrix}

0,&0,&-1,&0\\

0,&0,&0,&1\\

1,&0,&0,&0\\

0,&-1,&0,&0\\

\end{matrix} \right].

</math>

Il quaternione <math> a+bi+cj+dk </math> è quindi rappresentato da

:<math>\begin{bmatrix}

a & b & -d & -c \\

-b & a & -c & d \\

d & c & a & b \\

c & -d & -b & a

\end{bmatrix}</math>

In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta|trasposta]] della matrice.

== Equazioni sui quaternioni ==

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei [[polinomio|polinomi]] definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione <math> q^2+1 = 0 </math> per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i

:<math>q = bi+cj+dk </math>

con <math>b^2+c^2+d^2=1 </math>.

== Generalizzazioni ==

Se ''F'' è un generico [[campo (matematica)|campo]] e ''a'' e ''b'' sono elementi di ''F'', è possibile definire un'[[algebra associativa]] unitaria a quattro dimensioni su ''F'' usando due generatori ''i'' e ''j'' e le relazioni ''i''² = ''a'', ''j''² = ''b'' e ''ij'' = &minus;''ji''. Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle [[matrice|matrici]] 2&times;2 su ''F'', e inoltre sono delle [[algebra di divisione|algebre di divisione]] su ''F''. Sono chiamate [[algebra di quaternioni|algebre di quaternioni]].

==Voci correlate==

* [[Numeri complessi]]

* [[Ottonione]]

* [[Numero ipercomplesso]]

* [[Algebra di divisione]]

* [[Algebra associativa]]

* [[Teoria dei gruppi]]

==Collegamenti esterni==

*[http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html Sito per spunti]

* [http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html Doing Physics with Quaternions]

* [http://theworld.com/~sweetser/java/qcalc/qcalc.html Quaternion Calculator] [Java]

* [http://arxiv.org/pdf/math-ph/0201058 The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton] (PDF)

* Kuipers, Jack (2002). ''Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality'' (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0691102988

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Quaternioni|Quaternioni]]

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web|lingua=en|url=http://www.the-sports.org/biathlon-jenny-jonsson-results-identity-s12-c2-b4-o31-w84823.html|titolo=Profilo su The-sports.org|accesso=1 novembre 2013}}

* {{cita web|lingua=sv|url=http://www.jennyjonsson.se/|titolo=Sito personale|accesso=1 novembre 2013|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20131102135825/http://www.jennyjonsson.se/|dataarchivio=2 novembre 2013|urlmorto=sì}}

{{portale|biografie|sport invernali}}

[[ca:Quaternió]]

[[cs:Kvaternion]]

[[da:Kvaternioner]]

[[de:Quaternion]]

[[en:Quaternion]]

[[es:Cuaternión]]

[[fa:چهارگان‌ها]]

[[fi:Kvaternio]]

[[fr:Quaternion]]

[[he:חוג הקווטרניונים]]

[[hu:Kvaterniók]]

[[ia:Quaternion]]

[[is:Fertölur]]

[[ja:四元数]]

[[ko:사원수]]

[[lmo:Quaterniú]]

[[lt:Kvarternionas]]

[[nl:Quaternion]]

[[no:Kvaternioner]]

[[pl:Kwaterniony]]

[[pt:Quaterniões]]

[[ro:Cuaternion]]

[[ru:Кватернион]]

[[sl:Kvaternion]]

[[sr:Кватернион]]

[[sv:Kvaternion]]

[[uk:Кватерніони]]

[[zh:四元數]]