Congruenza polinomiale e Huawei P30: differenze tra le pagine

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{{Telefono cellulare

Una '''congruenza polinomiale''', o '''congruenza algebrica''', è una [[aritmetica modulare|congruenza]] del tipo

|logo =

|immagine =

|didascalia =

|tipo = [[Smartphone]]

|reti = Gsm: Quad Band (850/900/1800/1900)

|connettività = [[Wi-Fi]]: 802.11 a/b/g/n/ac;

[[Bluetooth]]: 5.0 con LE/EDR/A2DP/aptX;

[[USB]]:Type-C 3.1;

[[GPS]]: A-GPS/GLONASS/BeiDou

|disponibilità = 5 aprile [[2019]]

|sistemaoperativo = [[Android]] [[Android Pie|9 Pie]] [[EMUI]] 9.0

|suonerie = [[Polifoniche]]

|videocamera = Posteriore: 4K (2160p), 30 fps; Frontale: Full HD, 30fps

|alimentazione = *Batteria Li-Po 3650 [[Ampere|mAh]] (P30),

*Batteria Li-Po 4200 mAh (P30 Pro)

|cpu = Huawei HiSilicon Kirin 980, 2x2.6 GHz Cortex-A76 + 2x1.92 GHz Cortex-A76 + 4x1.8 GHz Cortex-A55

|gpu = Mali-G76 MP10

|memoria = *6 GB RAM e 128 GB di ROM (P30),

*8 GB RAM e 128 GB ROM (P30 Pro)

|schermo = *6.1 pollici (P30),

*6.47 pollici (P30 Pro)

|risoluzione = 2340x1080 pixel

|dimensioni = *149.1 x 71.4 x 7.5 [[Metro|mm]] (P30),

*158 x 73 x 8 mm (P30 Pro)

|peso = *165 [[Grammo|g]] (P30),

*191 g (P30 Pro)

|touchscreen = [[Schermo capacitivo|Capacitivo]] e [[Multi-touch]]

|predecessore = [[Huawei P20]]

|successore =

}}

'''Huawei P30''', '''Huawei P30 Pro''' '''Huawei P30 Lite''' sono [[smartphone]] [[Android]] progettati e commercializzati da [[Huawei]], seguono [[Huawei P20]] nella [[Lista dei telefoni Huawei#Ascend P/P|serie P]].

:<math>a_k x^n+a_{k-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\equiv 0\mod n</math>

== Specifiche tecniche ==

dove ''n'' è un qualsiasi intero maggiore o uguale a 2.

=== Hardware ===

Le proprietà di questi [[polinomi]] differisce in molti casi radicalmente rispetto alle proprietà possedute, ad esempio, negli interi o nei razionali; in altri casi valgono invece teoremi simili se non identici.

Huawei P30 è dotato di un [[display]] da 6,1" con risoluzione 2340x1080 [[pixel]]. Il dispositivo è dotato di [[processore]] [[HiSilicon]] Kirin 980, 6 GB di memoria [[RAM]] e 128 GB di [[Read Only Memory|ROM]]<ref>{{Cita web|url=https://www.hdblog.it/schede-tecniche/huawei-p30_i3952/|titolo=Huawei P30|sito=HDblog.it|accesso=2019-04-05}}</ref>. Con il Huawei P30 Pro il display, curvo ai lati su questo modello, aumenta la propria diagonale a 6,47<nowiki>''</nowiki>, mantenendo invece invariata la risoluzione, così come il processore che è un Kirin 980. Le memorie RAM e ROM sono rispettivamente da 8 e 128 GB<ref>{{Cita web|url=https://www.hdblog.it/schede-tecniche/huawei-p30-pro_i3951/|titolo=Huawei P30 Pro|sito=HDblog.it|accesso=2019-04-05}}</ref>.

La batteria è da 3650<ref>{{Cita web|url=https://www.androidworld.it/schede/huawei-p30/|titolo=Huawei P30 - Scheda tecnica|sito=AndroidWorld|data=2018-03-26|accesso=2019-04-05}}</ref> [[Ampere|mAh]] su P30 e da 4200 su P30 Pro.

== Proprietà generali ==

=== Principio di identità dei polinomi ===

Il modulo [[fotocamera]] è composto da tre lenti su P30, una 40 megapixel con la nuova tecnologia <nowiki>''SuperSpectrum''</nowiki><ref>{{Cita web|url=https://www.webnews.it/2019/03/26/huawei-p30-pro-sensibilita-iso-409600/|titolo=Huawei P30 Pro, sensibilità ISO fino a 409.600 {{!}} Webnews|sito=www.webnews.it|data=2019-03-26|accesso=2019-04-05}}</ref>, che utilizza quindi un sensore RYYB con il quale i sub-pixel verdi vengono sostituiti da sub-pixel gialli, che assorbono più luce, permettendo così una migliore resa fotografica al buio, una 16 megapixel ''ultra-wide angle'' ed una 8 megapixel con zoom ottico 3x. Il P30 Pro aggiunge una quarta [[Telecamera a tempo di volo|camera TOF]] ed aumenta la risoluzione della lente grandangolare a 20 megapixel, inoltre lo zoom ottico è un 5x, che in digitale arrivo fino a 50x<ref>{{Cita web|url=https://www.androidworld.it/schede/huawei-p30-pro/|titolo=Huawei P30 Pro - Scheda tecnica|sito=AndroidWorld|data=2018-03-26|accesso=2019-04-05}}</ref>. Entrambi i modelli hanno una camera frontale da 32 megapixel.

In <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\mathbb{R}</math> e <math>\mathbb{C}</math>, due polinomi assumono valori identici in ogni punto se e solo se i loro coefficienti sono rispettivamente uguali: ovvero se in uno dei due compare un termine <math>a_ix^i</math>di grado ''i'', allora anche nell'altro sarà presente un termine di grado ''i'', con lo stesso coefficiente ''a_i''.

Huawei P30 Lite è la versione economica dello smartphone, monta infatti un processore Kirin 710, con 4 GB di RAM e 128 di ROM. Il display è un 6,15" da 2312x1080 pixel e le camere, tre su questo modello, sono rispettivamente da 24, 8 e 2 megapixel<ref>{{Cita web|url=https://www.hdblog.it/schede-tecniche/huawei-p30-lite_i3953/|titolo=Huawei P30 Lite|sito=HDblog.it|accesso=2019-04-05}}</ref>.

In <math>\mathbb{Z}_n</math>, qualunque sia <math>n \ne 0</math>, questo principio non si applica: ad esempio si possono considerare, modulo 5, i due polinomi

=== Software ===

:<math>P(x)=x^7+4x^6</math>

Tutte le varianti del Huawei P30 sono state commercializzate con [[Android]] [[Android Pie|9 Pie]] e [[EMUI]] 9.1.

:<math>Q(x)=x^3-x^2</math>

== Note ==

e considerare i valori che assumono:

<references/>

== Collegamenti esterni ==

<math>P(0)=0\qquad\qquad Q(0)=0</math>

* {{collegamenti esterni}}

{{Huawei}}

<math>P(1)=1+4\equiv 0\qquad Q(1)=1-1\equiv 0</math>

{{controllo d'autorità}}

{{portale|telefonia}}

[[Categoria:Smartphone]]

<math>P(2)=2^7+4\cdot 2^6=384\equiv 4 \qquad Q(2)=8-4\equiv 4</math>

[[Categoria:Dispositivi Android]]

<math>P(3)=2187+2916=5103\equiv 3\qquad Q(3)=27-9=18\equiv 3</math>

<math>P(4)=16384+16384=32768\equiv 3\qquad Q(4)=64-16=48\equiv 3</math>

Le ragioni di questo comportamento sono due: primo, la rappresentazione di un numero non è unica, ma può essere sia negativa che positiva: ad esempio <math>-2\equiv 6\mod 8</math>. In secondo luogo, il [[piccolo teorema di Fermat]] (e il [[teorema di Eulero]] che è la sua generalizzazione) afferma che <math>a^p\equiv a\mod p</math> per ogni ''a'', quando ''p'' è un numero primo: di conseguenza ogni esponente maggiore di ''p'' si comporta nello stesso modo di un esponente più piccolo, compreso tra 0 e ''p-1''. Possiamo però ''ridurre'' questi esponenti, in modo da portarli in questo intervallo: la riduzione sarà compiuta come se si fosse in modulo ''p-1'', con l'eccezione di non ridurre ogni multiplo di ''p-1'' a 0, ma di lasciarlo a ''p-1''. Questo perché, mentre <math>x^0\equiv 1\mod p</math> per ogni primo ''p'', <math>x^{p-1}\equiv 0</math> se ''x=0'', mentre è congruo a 1 se <math>x\neq 0</math>.

Se rispettiamo queste limitazioni (''n'' è primo, sia gli esponenti che i coefficienti appartengono all'intervallo <math>[0;~p-1]</math>) allora il principio di identità è valido.

Se poi il modulo non è primo, non vale neppure un principio di questo tipo, in quanto alcuni numeri saranno divisori dello 0, mentre altri no.

=== Riduzione a una potenza prima ===

La tecnica generale per risolvere (sia numericamente che in ragionamenti teorici) una congruenza polinomiale modulo ''n'' prevede di spezzare la congruenza in un sistema di congruenze in cui i moduli siano le potenze dei [[numero primo|numeri primi]] che dividono ''n'': una volta risolte le singole congruenze polinomiali, è possibile poi "ricomporle" ed individuare le soluzioni modulo ''n'' attraverso il [[teorema cinese dei resti]].

Con questo metodo è possibile esprimere il numero di soluzioni modulo ''n'' attraverso il numero di soluzioni modulo <math>p_i^{a_i}</math> (dove <math>n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}</math> è la fattorizzazione di ''n'' in primi distinti): se ''S''(''k'') è il numero di soluzioni di <math>f(x)\equiv 0\mod k</math>, si ha

<math>S(n)=S(p_1^{a_1})S(p_2^{a_2})\cdots S(p_k^{a_k})</math>

Questo non garantisce che il numero di soluzioni sia minore del grado del polinomio, e in genere non succede: per esempio la congruenza <math>x^2-1\equiv 0</math> ha due soluzioni modulo 4, quattro soluzioni modulo 8 e ben otto soluzioni modulo 12.

Se invece ''n'' = ''p'' è un numero primo, si può essere sicuri che il numero delle soluzioni è minore o uguale del grado, e la dimostrazione ricalca la corrispondente dimostrazione nel caso di trovarsi in <math>\mathbb{Z}</math> o in <math>\mathbb{Q}</math>: se ''a'' è una soluzione di <math>P(x)\equiv 0</math>, allora si può scrivere <math>(x-a)Q(x)\equiv 0</math>, dove Q(x) ha grado ''n-1''. Procedendo in questo modo si arriva o a fattorizzare completamente P(x) oppure a non avere più fattori per cui dividerlo; in entrambi i casi il numero di soluzioni è al più ''n''. La differenza con il caso precedente è che, se ''n'' è composto, <math>\mathbb{Z}_n</math> non è un [[dominio d'integrità]], e quindi un numero ''b'' può essere soluzione di P(x) senza esserlo né di (x-a) né di Q(x).

=== Sollevamento delle soluzioni ===

Sebbene non si conosca metodo generale per risolvere le congruenze modulo un primo ''p'', esiste un semplice procedimento [[algoritmo|algoritmico]] ricorsivo che permette di ricavare, una volta note queste, le soluzioni modulo ''p^k'' per ogni ''k''.

Esso si basa su uno sviluppo "alla [[polinomio di Taylor|Taylor]]" del polinomio ''f''(''x''), usando il concetto di [[derivata formale]]. Data una soluzione ''y'' modulo ''p^k'' si hanno tre casi:

*se <math>f'(y)\not\equiv 0\mod p</math> allora esiste un'unica soluzione del tipo <math>y+tp^k</math>, che è tale che ''t'' verifica

*:<math>f'(y)t+\frac{f(y)}{p^k}\equiv 0\mod p</math>

*se <math>f'(y)\equiv 0\mod p</math> e ''y'' è una soluzione modulo ''p^k+1'', allora <math>y+tp^k</math> è una soluzione per tutti i ''t'' compresi tra 0 e ''p'' -1;

*se <math>f'(y)\equiv 0\mod p</math> e ''y'' non è una soluzione modulo ''p^k+1'', allora neppure gli elementi nella forma <math>y+tp^k</math> sono soluzioni di ''f''.

== Congruenze lineari ==

Una '''congruenza lineare''' è una congruenza polinomiale di primo grado, ovvero nella forma

:<math>ax+b\equiv 0\mod n</math>, o il che è lo stesso, <math>ax\equiv b\mod n</math>

La teoria di queste congruenze è molto semplice: la congruenza ammette soluzioni soltanto quando il [[massimo comun divisore]] tra ''a'' ed ''n'' divide ''b''. In questo caso il numero delle soluzioni è precisamente <math>MCD(a,n)</math>.

Infatti risolvere la congruenza equivale a risolvere l'equazione

:<math>ax-ny=b</math>

in numeri interi. Dalla teoria delle [[equazione diofantea|equazioni diofantee]] sappiamo che questa equazione, [[equazione diofantea lineare|lineare]] e in due variabili, ha soluzione se e soltanto se <math>MCD(a,n)|b</math>.

=== Sistemi di congruenze lineari ===

{{vedi anche|Teorema cinese del resto}}

Si distinguono due tipi di sistemi di congruenze lineari: il primo e più importante in cui si ha un'unica incognita e i moduli sono diversi tra loro; e un secondo in cui si hanno più incognite modulo lo stesso ''n'': nel caso che ''n'' = ''p'' sia un numero primo, quest'ultima può essere risolta con i metodi dei [[Sistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]] (sfruttando il fatto che <math>\mathbb{Z}_p</math> è un [[campo (matematica)|campo]]); per ''n'' qualsiasi una condizione sufficiente è che il [[determinante]] della [[matrice]] associata sia coprimo con ''n''.

Il primo caso è di grande importanza sia teorica che pratica, perché permette sia di unificare diverse congruenze in un'unica congruenza sia di spezzarne una modulo ''n'' in un sistema modulo ''p^k'', per ''p'' primi distinti, risolvere queste e quindi risalire al modulo originario. Se

:<math>\{x \equiv a_i \mod n_i \quad\mathrm{per}\; i = 1, \ldots, k.</math>

e gli ''n_i'' sono primi tra loro, allora esiste un'unica soluzione modulo <math>n=n_1n_2\cdots n_k</math>; più in generale, una condizione necessaria e sufficiente perché esista un'unica soluzione modulo <math>n=\mathrm{mcm}(n_1,n_2,\ldots,n_k)</math> è che, per ogni coppia di ''i'' e ''j'' diversi tra loro l'MCD(''n_i'',''n_j'') divida la differenza ''a_i''&nbsp;-&nbsp;''a_j''.

== Estrazione di radici ==

La possibilità di risolvere le congruenze del tipo

:<math>X^m\equiv a\mod p^k</math>

(ovvero di voler trovare una "radice ''m''-esima" di ''a'') può essere affrontata in parte grazie all'esistenza delle [[radice primitiva|radici primitive]] modulo ''p^k'' (per ''p'' primo dispari), ovvero grazie al fatto che il gruppo delle [[Unità (matematica)|unità]] di <math>\mathbb{Z}_{p^k}</math> è [[gruppo ciclico|ciclico]]. Se ''a'' è coprimo con ''p'', questo permette infatti di trasformare la congruenza in

:<math>r^{mT}\equiv r^k\mod p^k</math>

(dove ''r'' è una radice primitiva e <math>r^s\equiv a\mod p^k</math>) che a sua volta è equivalente a

:<math>mT\equiv s\mod\phi(p^k)</math>

dove φ indica la [[funzione phi di Eulero]]. Quest'ultima congruenza è risolubile se e solo se il massimo comun divisore ''d'' tra ''m'' e ''s'' divide <math>\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)</math>, e in tal caso ha ''d'' soluzioni; in particolare se ''m'' è coprimo con ''p'' -1 la congruenza è sempre risolubile e ha una sola soluzione. Se invece ''a'' non è coprimo con ''p'', anche le eventuali soluzioni sono divisibili per ''p'', e quindi ci si può ridurre ad una congruenza modulo ''p^j'', con ''j'' < ''k'', in cui il termine noto è coprimo con il modulo.

Questo metodo è tuttavia inefficace per il calcolo effettivo delle soluzioni e perfino per sapere se esistono soluzioni per un determinato ''a'', perché si basa sul calcolo di una radice primitiva modulo ''p'', per cui non è noto alcun algoritmo efficace. Per determinare l'eventuale esistenza delle soluzioni ci si può però basare sulla [[legge di reciprocità quadratica]] (nel caso ''m'' = 2) o nelle leggi di reciprocità per esponenti maggiori.

=== Congruenze quadratiche ===

Le congruenze quadratiche (ovvero le congruenze polinomiali di secondo grado) possono essere in gran parte ridotte all'estrazione di una radice quadrata modulo ''p^k'': applicando il medesimo procedimento che si usa per trovare la formula risolutiva (vedi [[Equazione di secondo grado]]), infatti, si può ottenere passare da

:<math>x^2+bx+c\equiv 0\mod p</math>

a

:<math>(x+b2^{-1})^2+c-b^2 2^{-2}\equiv 0 \mod p</math>

ovvero

:<math>4(x+b2^{-1})^2\equiv b^2-4c \mod p</math>

Se <math>b^2-4c</math> è un [[residuo quadratico]], la congruenza originaria avrà due soluzioni (eventualmente coincidenti); se non lo è, neppure la congruenza originaria sarà risolubile.

== Congruenze in più incognite ==

{{vedi anche|Teorema di Chevalley}}

Una proprietà interessante, non posseduta dai campi infiniti, si ha quando si esaminano congruenze in più incognite. Il '''teorema di Chevalley''' asserisce infatti che se il numero di incognite supera il grado del polinomio, e non è presente un termine costante, allora esiste un'altra soluzione diversa da quella banale <math>(0,0,\ldots,0)</math>. In <math>\mathbb{R}</math> questo non è vero: basta prendere ad esempio il polinomio <math>x^2+y^2+z^2</math>, che assume sempre valori positivi eccetto quando le tre variabili sono uguali a 0.

== Bibliografia ==

* [[Harold Davenport]], ''Aritmetica superiore'', Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546, capitolo 2

* Andrew Adler e John E. Coury, ''The Theory of Numbers'', Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, 1995, ISBN 0-86720-472-9, capitolo 4

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Aritmetica modulare]]

[[Categoria:Polinomi]]