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In [[matematica]], una '''differenza finita''' è un'espressione nella forma di una [[differenza]] tra i valori assunti da una [[funzione (matematica)|funzione]] in due specifici punti:
[[File:Edward Gibbon by Henry Walton cleaned.jpg|thumb|222px|Edward Gibbon (1737–1794).]]
:<math>f(x+b)-f(x+a)</math>
'''''Storia del declino e della caduta dell'Impero romano''''' (titolo originale in [[lingua inglese|inglese]] ''The History of the Decline and Fall of the Roman Empire'' - nota popolarmente come ''The History'') fu scritta dallo [[storia|storico]] [[Inghilterra|inglese]] [[Edward Gibbon]] e pubblicata in sei volumi. Il primo volume fu pubblicato nel [[1776]], e poi ristampato altre cinque volte. I volumi II e III vennero dati alle stampe nel [[1781]], mentre i volumi IV, V e VI nel periodo [[1788]]-[[1789|89]]. Essa è considerata come la maggiore opera letteraria inglese del [[XVIII secolo]].
Se la differenza finita è divisa per <math>b-a</math> si ottiene un [[rapporto incrementale]]. Viene in genere indicata con la lettera greca <math>\Delta</math> seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio <math>\Delta x</math>).<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/C00968.html IUPAC Gold Book, "change of a quantity"]</ref>
== Introduzione ==
L'opera copre la storia dell'[[Impero romano]] dopo [[Marco Aurelio]], dal [[180]] al [[1453]], concludendosi nel [[1590]]. Egli prese come materiale per il suo lavoro i comportamenti e le decisioni che portarono prima alla decadenza e poi alla caduta dell'Impero romano: [[Impero bizantino]] e [[Impero romano d'occidente]], esponendo una spiegazione circa i motivi della sua caduta.
==Definizione==
Gibbon è talvolta detto: "lo storico moderno dell'antica Roma."<ref>David Potter, ''A Companion To The Roman Empire''. (Malden, Mass.: Blackwell Pub., 2006), [http://books.google.com/books?vid=ISBN0631226443&id=xuekmwMwiBgC&pg=PA100&lpg=PA100&ots=8DcY1yJ06U&dq=%22first+modern+historian%22+gibbon&ie=ISO-8859-1&sig=1Cjq2voCMkbr8JaYA0qO7TXXK_0 p. 100].</ref> In virtù della sua obbiettività e del suo rigoroso uso del [[reference|materiale]] storiografico, l'opera di Gibbon venne adottata come riferimento per la scrittura di testi storici dagli storiografi del [[XIX secolo|XIX]] e [[XX secolo]]. Il suo pessimismo ed il distaccato uso dell'ironia è comune al genere storico di questo periodo.
Una differenza con ''centro'' <math>c</math> e ''passo'' <math>h</math> è definita come:
:<math>\Delta_{c,h} f(x)=f\left(x+c+\frac{h}{2}\right)-f\left(x+c-\frac{h}{2}\right) \qquad \forall c,h \in \R</math>
Nonostante abbia scritto anche altre opere, Gibbon dedicò gran parte della sua vita (1772-1789) a questo suo lavoro. La sua [[autobiografia]] ''[[Memoirs of My Life and Writings]]'' è dedicata per gran parte alle sue riflessioni su come il libro sia virtualmente divenuto la sua stessa vita. Egli paragonò la pubblicazione di ogni volume alla nascita di un nuovo figlio.<ref>Patricia B. Craddock, ''Edward Gibbon, Luminous Historian''. (Baltimore: Johns Hopkins Univ. Press, 1989), 249-266.</ref>
Si studiano principalmente quattro tipi di differenze finite:
Gibbon lavorava in questo modo: «modellare di getto un intero paragrafo, ripeterlo a alta voce, depositarlo nella memoria, ma sospendere l'azione della penna fin tanto che non avessi dato l'ultima rifinitura al lavoro». Gibbon stesso notò una certa differenza di stile tra i vari volumi che compongono la sua opera: il primo volume era secondo lui «un po' aspro e elaborato», il secondo e il terzo «maturati in naturalezza e precisione», mentre negli ultimi tre, composti per lo più in Svizzera (a Losanna), temeva che «l'uso costante di parlare in una lingua e scrivere in un'altra abbia infuso una certa mescolanza di gallici idiomi.»
* La '''differenza finita in avanti''' (forward difference):
:<math>\Delta_{\frac h 2, h} f (x)=\Delta_h f (x)=\Delta f (x)=f(x+h)-f(x)</math>
* La '''differenza finita all'indietro''' (backward difference):
:<math> \Delta_{-\frac h 2, h} f (x)=\Delta_{-h} f (x)= \nabla f(x)=f(x)-f(x-h)</math>
* La '''differenza finita centrata''' (central difference):
:<math>\Delta_{0,h} f(x)=\Delta_0 f (x)=\delta f(x) =f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)</math>
* La '''differenza finita media''' (medium difference):
:<math>\Delta_{(0,h)/2} f(x)=\Delta_{1/2} f (x)=\mu\,f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)\right]</math>
Le differenze finite sono centrali nell'[[analisi numerica]] per l'approssimazione delle [[derivata|derivate]] e quindi nella [[metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie|risoluzione numerica delle equazioni differenziali]].
== L'opera ==
=== Prefazione ===
Nella prefazione dell’opera il Gibbon afferma che «''in tre periodi possono dividersi le memorabili rivoluzioni, che nel corso di circa tredici secoli, hanno urtato l' edifizio della romana grandezza , e che finalmente lo hanno gettato a terra''»:
==Relazione con le derivate==
{{Quote|I. Il secolo di Traiano, e degli Antonini, fu l'epoca, nella quale la monarchia romana in tutto il suo vigore, e giunta all'apice della grandezza, cominciò a pendere verso la sua rovina. Quindi il primo periodo, cominciando dal regno di questi principi, si estende fino alla distruzione dell' impero d'Occidente, operata dalle armi de' germani , e degli Sciti, popoli barbari, e feroci, i di cui discendenti formano in oggi le più ingentilite nazioni dell'Europa. Una tale straordinaria rivoluzione, per cui Roma fu assoggettata alla potenza de goti , ebbe il suo compimento ne' primi anni del sesto secolo.
La [[derivata]] di una funzione <math>f</math> in <math>x</math> è definita come il [[limite di una funzione|limite]] del [[rapporto incrementale]]:
:<math> f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>
II. Il secondo periodo comincia col regno dì Giustiniano, il quale colle sue leggi, e le sue vittorie, restituì all'impero d'Oriente l'antico suo splendore . Questo periodo abbraccia la invasione de lombardi in Italia ; la conquista dell'Asia, e dell'Africa fatta dagli arabi, che abbracciata avevano la religione di Maometto; la ribellione del popolo romano contro i deboli sovrani di Costantinopoli ; e la elevazione di Carlo Magno, che nell'anno 800 fondò un nuovo Impero.
Se <math>h</math>, invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:
III. L' ultimo e il più lungo di questi periodi, contiene quasi sei secoli, e mezzo , vale a dire cominciando dalla rinnovazione dell'impero in Occidente, fino alla presa di Costantinopoli fatta dai turchi, ed alla estinzione della stirpe di que principi avviliti, che si adornavano de vani titoli di Cesare, e di Augusto, nel tempo stesso in cui il loro potere era circoscritto fra le mura di una sola città, dove non conservavano neppur un'ombra del linguaggio , e de costumi degli antichi romani. Le crociate fanno parte degli avvenimenti di questo periodo, poiché hanno esse contribuito alla rovina, del greco impero. Allorché si vuol parlare di queste guerre sacre, non è possibile il non fare alcune ricerche sullo stato in cui Roma trovatasi in mezzo alle tenebre, e alla confusione de' secoli bassi.}}
:<math> \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta_h[f](x)}{h}</math>
Il Gibbon nella prefazione aggiunge che non è sicuro di completare un così «immenso piano», che «ergerebbe molti anni di salute, di ozio, e di costanza», e che molto probabilmente si sarebbe fermato al primo periodo; alla fine però decise di proseguire l’opera narrando, non molto approfonditamente a dire il vero, la millenaria storia dell’Impero romano d’Oriente (o bizantino).
in modo che la differenza finita in avanti divisa per <math>h</math> approssima il valore della derivata per <math>h</math> piccolo.
=== Capitoli 1-14 ===
I primi tre capitoli dell’opera sono dedicati allo stato e alla costituzione dell’Impero nei primi due secoli, mentre il quarto capitolo è dedicato a Commodo e all’inizio della crisi. I successivi capitoli sono dedicati ai vari Imperatori del III secolo (Valeriano, Gallieno, Aureliano, Claudio il Gotico, Diocleziano ecc.) e il modo in cui avevano rallentato o accelerato la crisi dell’Impero. Due capitoli sono dedicati anche alla Persia e alla Germania e i popoli bellicosi che vi abitavano.
mamma!!!
L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il [[teorema di Taylor]]. Assumendo <math>f</math> una [[funzione differenziabile]] [[funzione continua|con continuità]] l'errore è:
=== Capitoli 15-16: l'opinione di Gibbon sul Cristianesimo ===
Nei Capitoli 15 e 16 dell'opera originale il Gibbon si dilunga sulle origini e sulla diffusione del Cristianesimo, e parla anche delle persecuzioni. A causa del forte anticlericalismo che pervade tali pagine, questi capitoli vennero fortemente criticati. In una lettera scritta alla matrigna verso la fine del 1776, paragonava le critiche a tali capitoli a «un cannoneggiamento tanto violento quale quello che potrebbe venir raccolto contro Washington». In risposta a tali critiche, il Gibbon pubblicò, in risposta a un libello di H.E. Davis, un'opera ''A vindication of some passages in the fifteenth and sixteenth chapters'' (''Difesa di alcuni brani dei capitoli XV e XVI''), dopodiché rimase in silenzio. Nella sua biografia scrive che sarebbe stato tentato di attenuare questi due capitoli se solo avesse previsto il loro effetto sui «pii, sugli incerti e sui prudenti».
:<math> \frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0) </math>
Alcuni curatori del Gibbon erano di fede cattolica e provarono a censurare l'opera. Thomas Bowdler nella sua edizione del ''Declino e caduta'' tagliò dall'opera originale tutte le parti anticlericali e per questo motivo venne coniata una nuova parola ispirandosi al cognome del censore, ''Bowdolirized'' (''espurgato''). Un altro curatore, il Decano Millman, definì l'opera un attacco sfrontato e in malafede al Cristianesimo, mentre il vittoriano Birbeck Hill rimase colpito dalla «indecenza della sua scrittura» e dalla sua «fredda e erudita oscenità».
e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:
=== Capitolo 38: Osservazioni generali sulla caduta dell'Impero romano in Occidente ===
Nel Capitolo 38, in un paragrafo chiamato ''Osservazioni generali sulla caduta dell'Impero romano in Occidente'', il Gibbon elenca una serie di cause che portarono declino e alla caduta dell'Impero romano d'Occidente:
{{Quote|... la decadenza di Roma fu conseguenza naturale della sua grandezza. La prosperità portò a maturazione il principio della decadenza...Invece di chiederci perché fu distrutto, dovremmo sorprenderci che abbia retto tanto a lungo. Le legioni vittoriose, che in guerre lontane avevano appreso i vizi degli stranieri e dei mercenari,... il vigore del governo militare fu indebolito e alla fine abbattuto dalle istituzioni parziali di Costantino, e il mondo romano fu sommerso da un'ondata di barbari. Spesso la decadenza di Roma è stata attribuita al trasferimento della sede dell'Impero [...]. Tale pericolosa novità ridusse la forza e fomentò i vizi di un duplice regno... Sotto i regni successivi l'alleanza tra i due imperi fu ristabilita, ma l'aiuto dei Romani d'Oriente era tardivo, lento e inefficace [...].}}
:<math> \frac{\Delta_{-h}[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) </math>
Ma da discepolo fedele di Voltaire, identificava nel Cristianesimo la causa prima della crisi dell'Impero:
La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo <math>h</math>, se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda <math>f^{''}</math> è continua per ogni <math>x</math>:
{{Quote|...l'introduzione, o quanto meno l'abuso, del cristianesimo ebbe una certa influenza sulla decadenza e caduta dell'Impero romano. Il clero predicava con successo la pazienza e la pussilanimità. Venivano scoraggiate le virtù attive della società, e gli ultimi resti di spirito militare finirono sepolti nel chiostro. [...] ...la Chiesa e persino lo stato furono sconvolti dalle fazioni religiose [...]; il mondo romano fu oppresso da una nuova specie di tirannia, e le sette perseguitate divennero i nemici segreti del paese. ...Se la decadenza dell'Impero romano fu affrettata dalla conversione di Costantino, la sua religione vittoriosa attenuò la violenza della caduta e addolcì l'indole crudele dei conquistatori}}
:<math> \frac{\Delta_0[f](x)}{h} - f'(x) = O(h^{2})</math>
A parte l'evidente spirito anticlericale illuministico che ispirava l'analisi di Gibbon bisogna tuttavia riconoscerne l'attualità se anche Momigliano (1959) concordava nell'evidenziare come il trionfo del Cristianesimo avesse notevolmente influito sulle istituzioni della società pagana.
===Metodo alle differenze finite===
=== Capitolo 48: Invettiva contro i Bizantini e piano degli ultimi due volumi dell'opera ===
{{vedi anche|Metodo alle differenze finite}}
All'inizio del capitolo 48, dedicato agli Imperatori bizantini dal 641 al 1204, Gibbon lancia un'invettiva contro i bizantini:
Le differenze finite possono essere utilizzate per [[matematica discreta|discretizzare]] una [[equazione differenziale ordinaria]]. Un esempio classico è il [[metodo di Eulero]], che sfrutta alternativamente i tre i tipi di differenze finite presentati.
{{Quote|[...] Questi annali devono continuare a ripetere una tediosa e uniforme storia di debolezza e miseria [...]. Dal tempo di Eraclio, [...] i confini dell'impero, che erano stati definiti dalle leggi di Giustiniano e dalle armi di Belisario, recedono su tutti i fronti [...]; il nome romano [...] è ridotto a un ristretto angolo dell'Europa, ai solitari sobborghi di Costantinopoli; e il fato dell'Impero Greco è stato comparato a quello del Reno, che si perde nelle sabbie, prima che le sue acque possano mescolarsi con l'oceano. [...] E la perdita di splendore esterno non è compensata dalle qualità più nobili della virtù e del genio. I sudditi dell’Impero Bizantino, che assumono e disonorano i nomi sia dei Greci che dei Romani, presentano una uniformità di vizii abietti, che non vengono nemmeno ammorbiditi dalla debolezza dell’umanità, o animati dal vigore di crimini memorabili. [...] Gli uomini liberi dell’antichità potrebbero ripetere con generoso entusiasmo la frase di Omero, “che nel primo giorno di servitù, il prigioniero è privato di metà della sua virtù di uomo.” Ma il poeta aveva solo visto gli effetti della schiavitù civile o domestica, e non poteva predire che la seconda metà dell’umanità deve essere annichilita dal despotismo spirituale che limita non solo le azioni, ma anche i pensieri, del fedele prostrante.}}
Questo giudizio negativo sui Bizantini è stato condannato dal [[J.B. Bury|Bury]], che lo considera «uno dei [giudizi] più falsi e di maggior effetto mai espressi da uno storico attento».
Nonostante l'evidente disprezzo per i Bizantini, lo storico decide di non abbandonare (nonostante ne fosse tentato) «gli schiavi Greci e i loro storici servili» , in quanto «il fato della monarchia Bizantina è passivamente connesso con le più splendide e importanti rivoluzioni che hanno cambiato lo stato del mondo». Infatti le province perdute dai Greci vennero occupate da nuovi regni e, secondo lo storico inglese, «è nelle loro origini e conquiste, nella loro religione e governo, che dobbiamo esplorare le cause e gli effetti del declino e caduta dell’Impero d’Oriente». Dunque nei capitoli successivi il Gibbon analizzerà le nazioni nemiche dell'Impero d'Oriente, descrivendo usi e costumi di tali popoli, i loro rapporti con Bisanzio, come lo sviluppo di tali nazioni incise sulla decadenza e rovina dell'Impero d'Oriente. Lo storico rassicura i lettori che:
{{Quote|Non sarà questo proposito o l’abbondanza e la varietà di questi materiali incompatibile con l’unità della composizione. Come, nelle loro preghiere quotidiane, il Mussulmano di Fez o Delhi ancora rivolge la sua faccia verso il tempio di Mecca, l’ occhio dello storico sarà sempre fissato sulla città di Costantinopoli. L’excursus abbraccerà le zone sperdute dell’Arabia e della Tartaria, ma il cerchio alla fine verrà ridotto ai confini restringenti della monarchia romana.}}
==Operatore==
Ecco le nazioni trattate dal Gibbon negli ultimi due volumi dell'Opera:
Un [[operatore (matematica)|operatore]] astratto agente su uno [[spazio funzionale]] che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro <math>c</math> e passo <math>h</math> si dice un ''operatore alle differenze''. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:
# I Franchi: Carlo Magno e il Sacro Romano Impero (Capitolo 49)
# Gli Arabi: Maometto (Cap. 50), Conquiste (Cap. 51) e declino (cap. 52) dell'Impero islamico.
# I Bulgari, Ungari e Russi (cap. 55)
# I Normanni (cap. 56)
# I Turchi Selgiuchidi (cap. 57)
# I Crociati (Cap. 58, 59, 60)
# I Mongoli di Gengis Khan (cap. 65)
# I Turchi Ottomani
:<math>\Delta_h =T_h - I</math>
I Capitoli 53 e 54 sono dedicati interamente all'Impero bizantino: nel primo di questi vengono trattate le condizioni dell'Impero nel X secolo, descrivendo l'organizzazione delle province, dell'esercito, le cariche politiche ecc. Il Cap. 54 viene invece dedicato all'eresia dei Pauliciani. Il Cap. 61 viene dedicato all'Impero latino, cioè l'Impero fondato dai Crociati dopo la loro conquista di Costantinopoli nel 1204. Il Cap. 62 viene dedicato alla riconquista greca di Costantinopoli e la rifondazione dell'Impero d'Oriente sotto la Dinastia dei Paleologhi. I capitoli dal 62 al 68 descrivono gli ultimi due secoli di vita dell'Impero, ridotto praticamente alla capitale; il capitolo 68 descrive la caduta di Costantinopoli del 1453 a opera degli Ottomani e la caduta dell'Impero "romano" in Oriente.
dove <math>T_h</math> è l'[[operatore di shift]] <math>T_h(f)=f(x+h)</math> e <math>I</math> l'[[funzione identità|identità]]. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.
=== Conclusione dell'Opera ===
Gli ultimi tre capitoli sono dedicati allo stato di Roma alla fine del Medioevo: le sue rovine e l'inizio della ricostruzione. Alla fine del Capitolo 71 scrive la conclusione di tutta l'opera:
{{Quote|L'attenzione di questi pellegrini, così come di ogni lettore, sarà richiamata da una ''Storia del declino e della caduta dell'Impero romano'', la scena forse più grandiosa e più tremenda della storia dell'umanità. Le varie cause e gli effetti progressivi sono connessi con molti avvenimenti tra i più interessanti degli annali umani: la politica scaltra dei Cesari, che conservarono a lungo il nome e l'immagine di una repubblica libera, i disordini del dispotismo militare, l'ascesa, l'instaurazione e le sette del Cristianesimo, la fondazione di Costantinopoli, la divisione della monarchia, l'invasione e gli insediamenti dei barbari della Germania e della Scizia, le istituzioni del diritto civile, il carattere e la religione di Maometto, il potere temporale dei Papi, la restaurazione e la decadenza dell'Impero d'Occidente di Carlo Magno, le Crociate dei Latini in Oriente, le conquiste dei Saraceni e dei Turchi, la caduta dell'Impero greco, lo stato e le rivoluzioni di Roma nel medioevo. Lo storico applaude all'importanza e alla varietà del suo tema, ma, pur essendo consapevole delle proprie imperfezioni, è costretto spesso a accusare l'insufficienza del materiale. Tra le rovine del Campidoglio ebbi per la prima volta l'idea di un'opera che ha occupato e preoccupato quasi vent'anni della mia vita e che, per quanto inadeguata ai miei desideri, affido finalmente alla curiosità e all'imparzialità del pubblico.<br />Losanna, 27 giugno 1787.}}
Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è [[trasformazione lineare|lineare]] e soddisfa la [[regola di Leibniz]].
== La teoria di Gibbon ==
La [[serie di Taylor|relazione di Taylor]] può essere espressa allora in termini simbolici come:
Gibbon offre una spiegazione per la caduta dell'Impero romano, un compito difficile dovuto alla carenza di fonti scritte, sebbene egli non fosse l'unico storico a trattare il soggetto.<ref>Vedere ad esempio le tesi di [[Henri Pirenne#La tesi di Pirenne|Henri Pirenne]] (1862-1935) pubblicate nei primi anni del [[XX secolo]]. Per le fonti più recenti, Gibbon certamente attinse al breve lavoro di [[Montesquieu]], [[:fr:Considérations sur les causes de la grandeur des Romains et de leur décadence]], e dal precedente lavoro pubblicato da [[Bossuet]] (1627-1704) in ''Histoire universelle à Monseigneur le dauphin'' ([[1763]]). vedi Pocock, ''EEG''. per Bousset, pp. 65, 145; per Montesquieu, pp. 85-88, 114, 223.</ref> La maggior parte dei suoi spunti furono tratti dai pochi documenti disponibili: quelle dei pochi studiosi romani del [[IV secolo|IV]] e [[V secolo]].
:<math>\Delta_h= \sum_i \frac{h^i D^i}{i!} \sim h D +\frac{1}{2}h^2D^2+\frac{1}{3!}h^3D^3+\dots</math>
Secondo Gibbon, l'Impero romano cadde sotto le invasioni barbariche a causa della perdita di senso civico da parte dei suoi sudditi.<ref>J.G.A. Pocock, "Between Machiavelli and Hume: Gibbon as Civic Humanist and Philosophical Historian," ''Daedulus'' 105,3(1976), 153-169; e in '''[[#Bibliografia|Bibliografia]]:''' Pocock, ''EEG'', 303-304; ''FDF'', 304-306.</ref> Essi erano divenuti deboli, cedendo il compito di difendere i confini dell'impero a barbari mercenari che divennero così numerosi ed integrati nel tessuto della società da esser capaci di distruggere l'impero. Egli pensava che i romani fossero divenuti effeminati, incapaci di una vita ''virile'' da veri soldati. In altri termini Gibbon sostenne che il [[Cristianesimo]] creò la certezza che una migliore vita sarebbe esistita dopo la morte e che questa idea portò i cittadini romani ad una indifferenza circa la vita terrena, che indebolì il loro desiderio di sacrificarsi per l'Impero. Egli credette anche che il [[pacifismo]], così radicato nella nuova religione, contribuì a smorzare il tradizionale spirito marziale romano. Per ultimo, così come gli altri pensatori [[illuminismo|illuministi]], Gibbon ebbe in disprezzo il [[medioevo]] così come i preti superstiziosi dei [[secoli bui]]. Fu soltanto nella sua era, l'età della ragione e del pensiero razionale, che si pensò la storia umana potesse riprendere il suo progresso.
dove <math>D</math> è l'[[operatore differenziale]] che trasforma una funzione nella sua derivata.
== Note ==
{{references}}
== Bibliografia Proprietà==
In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze si ha:
* Brownley, Martine W. "Appearance and Reality in Gibbon's History," ''Journal of the History of Ideas'' 38,4(1977), 651-666.
* Se <math>c</math> è costante <math>\implies\Delta_h c = 0{\,}</math>
** Brownley. "Gibbon's Artistic and Historical Scope in the Decline and Fall," ''Journal of the History of Ideas'' 42,4(1981), 629-642.
* Linearità:
* Cosgrove, Peter. ''Impartial Stranger: History and Intertextuality in Gibbon's Decline and Fall of the Roman Empire'' (Newark: Associated University Presses, 1999); [ISBN 0-87413-658-X].
:<math>\Delta_h(\alpha f + \beta\,g) = \alpha\Delta_h f + \beta\,\Delta_h g</math>con <math>\alpha</math> e <math>b</math> sono costanti.
* Craddock, Patricia. "Historical Discovery and Literary Invention in Gibbon's 'Decline and Fall'," ''Modern Philology'' 85,4(May 1988), 569-587.
* Drake, H.A., "Lambs into Lions: explaining early Christian intolerance," ''Past and Present'' 153(1996), 3-36. [http://past.oxfordjournals.org/cgi/reprint/153/1/3 Oxford Journals]
* Furet, Francois. "Civilization and Barbarism in Gibbon's History," ''Daedalus'' 105,3(1976), 209-216.
* Gay, Peter. ''Style in History'' (New York: Basic Books, 1974); [ISBN 0-465-08304-8].
* Ghosh, Peter R. "Gibbon's Dark Ages: Some Remarks on the Genesis of the ''Decline and Fall''," ''Journal of Roman Studies'' 73(1983), 1–23.
* Kelly, Christopher. "A Grand Tour: Reading Gibbon's 'Decline and Fall'," ''Greece & Rome'' 2nd ser., 44,1 (Apr. 1997), 39–58.
* Momigliano, Arnaldo. "Eighteenth-Century Prelude to Mr. Gibbon," in Pierre Ducrey et al., eds., ''Gibbon et Rome à la lumière de l'historiographie moderne'' (Geneva: Librairie Droz, 1977).
** Momigliano, "Gibbon from an Italian Point of View," in G.W. Bowersock et al., eds., ''Edward Gibbon and the Decline and Fall of the Roman Empire'' (Cambridge: Harvard Univ. Press, 1977).
** Momigliano, "Declines and Falls," ''American Scholar'' 49(Winter 1979), 37-51.
** Momigliano, "After Gibbon's ''Decline and Fall''," in Kurt Weitzmann, ed. ''Age of Spirituality : a symposium'' (Princeton: 1980); [ISBN 0-89142-039-8].
* Pocock, J.G.A. ''Barbarism and Religion'', 4 vols. all Cambridge Univ. Press.
** vol. 1, ''The Enlightenments of Edward Gibbon, 1737–1764'', 1999 [hb: ISBN 0-521-63345-1]. cited as "Pocock, ''EEG''";
** vol. 2, ''Narratives of Civil Government'', 1999 [hb: ISBN 0-521-64002-4];
** vol. 3, ''The First Decline and Fall'', 2003 [pb: ISBN 0-521-82445-1]. cited as "Pocock, ''FDF''."
** vol. 4, ''Barbarians, Savages and Empires'', 2005 [hb: ISBN 0-521-85625-6].
** [[The Work of J.G.A. Pocock|''The Work of J.G.A. Pocock'': ''Edward Gibbon'' section]].
* Trevor-Roper, H.R. "Gibbon and the Publication of ''The Decline and Fall of the Roman Empire'', 1776-1976," ''Journal of Law and Economics'' 19,3 (Oct. 1976), 489–505.
* Womersley, David. ''The Transformation of 'The Decline and Fall of the Roman Empire<nowiki>'</nowiki>'' (Cambridge: 1988).
** Womersley, ed. ''Religious Scepticism: Contemporary Responses to Gibbon'' (Bristol, England: Thoemmes Press, 1997).
* Wootton, David. "Narrative, Irony, and Faith in Gibbon's ''Decline and Fall''," ''History and Theory'' 33,4 (Dec., 1994), 77–105.
* Regola del prodotto:
== Altri progetti ==
:<math> \Delta_h (f g) = f \,\Delta_h g + g \,\Delta_h f + \Delta_h f \,\Delta_h g </math>
{{interprogetto|commons=Category:The History of the Decline and Fall of the Roman Empire|s=Storia della decadenza e rovina dell'Impero romano}}
:<math> \Delta_{-h} (f\cdot g) = f \,\Delta_{-h} g + g \,\Delta_{-h} f - \Delta_{-h} f \,\Delta_{-h} g </math>
* Regola del quoziente:
:<math>\Delta_h\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta_h f - f \,\Delta_h g}{g\,(g + \Delta_h g)}</math>
:<math>\Delta_{-h}\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta_{-h} f - f \,\Delta_{-h} g}{g\,(g-\Delta_{-h} g)}</math>
* Regole di sommazione:
== Collegamenti esterni ==
:<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta_h f(n) = f(b+1)-f(a)</math>
:<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta_{-h} f(n) = f(b)-f(a-1)</math>
==Differenze finite di ordine superiore==
* [http://www.gutenberg.org/catalog/world/authrec?fk_authors=375 ''The History of the Decline and Fall of the Roman Empire''] author record at [[Project Gutenberg]]. Based on the Rev. H.H. Milman edition of 1845.
Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo.
* [http://oll.libertyfund.org/index.php?option=com_staticxt&staticfile=show.php%3Ftitle=1681&Itemid=27 ''The History of the Decline and Fall of the Roman Empire''] from the Online Library of Liberty. The J. B. Bury edition, in 12 volumes.
* {{gutenberg|no=6031|name=Memoirs of My Life and Writings}}
* [http://www.timmarston.com/gibbonfront.html ''Scanned images of the 1789 edition''] being progressively added to this site, higher resolutions available on request.
* [http://books.google.com/books?id=YrJGPLuSHmoC The History of the Decline and Fall of the Roman Empire], [[Google Book Search]] ([http://books.google.com/books/pdf/The_History_of_the_Decline_and_Fall_of_t.pdf?id=YrJGPLuSHmoC&output=pdf&sig=O7cVAyGFrhdKJfoHc9EM1hOR3Sk pdf version])
* [http://www.ccel.org/ccel/gibbon/decline/files/decline.html a text at CCEL]
Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare <math>f'(x+h/2) - f'(x-h/2)</math> otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:
{{Portale|Antica Roma|Letteratura}}
:<math> \Delta_0^2 f (x) = f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)</math>
[[Categoria:Saggistica britannica]]
[[Categoria:Libri sulle guerre gotiche]]
[[Categoria:Saggi storici]]
Più in generale, le differenze finite dell' <math>n</math>-esimo ordine sono definite rispettivamente come:
[[bg:Залез и упадък на Римската империя]]
[[ca:The History of the Decline and Fall of the Roman Empire]]
:<math>\Delta^n_h f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h)</math>
[[de:The History of the Decline and Fall of the Roman Empire]]
[[en:The History of the Decline and Fall of the Roman Empire]]
:<math>\Delta^n_{-h} f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih)</math>
[[es:Historia de la decadencia y caída del Imperio romano]]
[[fr:Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain]]
:<math>\Delta^n_0 f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right)</math>
[[he:שקיעתה ונפילתה של הקיסרות הרומאית]]
[[ja:ローマ帝国衰亡史]]
Se necessario, è possibile mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.
[[ko:로마 제국 쇠망사]]
[[nl:De geschiedenis van de neergang en val van het Romeinse Rijk]]
===Proprietà===
[[pt:A História do Declínio e Queda do Império Romano]]
* Per <math>k</math> e <math>n</math> positivi:
[[tr:Roma İmparatorluğu'nun Gerileyiş ve Çöküş Tarihi]]
:<math>\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h (f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh)</math>
[[vi:Lịch sử suy tàn và sụp đổ của Đế quốc La Mã]]
* [[Regola di Leibniz]]:
[[zh:罗马帝国衰亡史]]
:<math>\Delta^n_h (fg, x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k_h (f, x) \Delta^{n-k}_h(g, x+kh)</math>
==Generalizzazioni==
Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:
:<math>\Delta_h^\alpha[f](x) = \sum_{k=0}^n \alpha_k f(x+kh)</math>
dove <math>\alpha = (\alpha_0,\ldots,\alpha_n)</math> è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la somma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la ''differenza infinita''.
Si possono anche rendere i coefficienti <math>\alpha_k</math> dipendenti dal punto <math>x</math>, ovvero <math>\alpha_k=\alpha_k(x)</math>, ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere <math>h</math> dal punto <math>x</math>, ovvero <math>h=h(x)</math>: ciò risulta utile ad esempio per definire diversi [[modulo di continuità|moduli di continuità]].
L'operatore alle differenze si generalizza alla [[formula di inversione di Möbius]] su un [[insieme parzialmente ordinato]].
==Interpolazione di Newton==
{{vedi anche|Polinomio di Newton}}
La formula di interpolazione di Newton, introdotta da Newton nei ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]'' del 1687,<ref>Newton, Isaac, (1687). [http://books.google.com/books?id=KaAIAAAAIAAJ&dq=sir%20isaac%20newton%20principia%20mathematica&as_brr=1&pg=PA466#v=onepage&q&f=false ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> è l'analogo discreto dell'[[Serie di Taylor|espansione di Taylor]] continua:
:<math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!} ~(x-a)_k
= \sum_{k=0}^\infty {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a)
</math>
che vale per ogni funzione polinomiale <math>f</math> e per molte [[funzione analitica|funzioni analitiche]]. L'espressione:
:<math>{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!}</math>
è il [[coefficiente binomiale]], mentre:
:<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>
è il [[Fattoriale crescente|fattoriale decrescente]]. Il [[prodotto vuoto]] <math>(x)_0</math> vale inoltre 1.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{en}} Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). ''Difference Methods for Initial Value Problems'', 2nd ed., Wiley, New York.
* {{Cita libro|cognome=Levy|nome=H.|autore2=Lessman, F.|titolo=Finite Difference Equations|anno=1992|editore=Dover|isbn=0-486-67260-3|lingua=en}}
* {{en}} Ames, W. F., (1977). ''Numerical Methods for Partial Differential Equations'', Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
* {{en}} Hildebrand, F. B., (1968). ''Finite-Difference Equations and Simulations'', Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
==Voci correlate==
* [[Derivata]]
* [[Equazione alle differenze]]
* [[Metodo delle differenze finite]]
* [[Polinomio di Newton]]
* [[Serie di Taylor]]
* [[Teorema di Taylor]]
* [[Differenze divise]]
==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Finite-difference calculus|autore= A.F. Leont'ev}}
{{Portale|Matematica}}
[[Categoria:Analisi numerica]]
[[Categoria:Operatori lineari]]
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