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In [[matematica]], una '''differenza finita''' è un'espressione nella forma di una [[differenza]] tra i valori assunti da una [[funzione (matematica)|funzione]] in due specifici punti:
{{Avvisounicode}}
{{Bio
|Nome = Luís Vaz de
|Cognome = Camões
|PostCognome = ([[Pronuncia|pron.]] [[Alfabeto fonetico internazionale|IPA]] /{{IPA|lu'iʃ vaʃ dɨ ka'mõj̃ʃ}}/; talvolta riportato come '''Camoens''')
|Sesso = M
|LuogoNascita = Lisbona
|GiornoMeseNascita =
|AnnoNascita = ca. 1524
|LuogoMorte =
|GiornoMeseMorte = 10 giugno
|AnnoMorte = 1580
|Epoca = 1500
|PreAttività = è considerato il principale
|Attività = poeta
|Nazionalità = portoghese
|PostNazionalità = . Per la sua padronanza della poesia, è stato paragonato ad [[Omero]], [[Publio Virgilio Marone|Virgilio]], [[Dante Alighieri|Dante]] e [[William Shakespeare|Shakespeare]]. Il suo lavoro più noto è il racconto epico ''[[I Lusiadi|Os Lusíadas]]''
|Immagine = Luís de Camões por François Gérard.jpg
}}
:<math>f(x+b)-f(x+a)</math>
== Biografia ==
Non si conoscono la data e il luogo esatti della nascita di Camões. Si pensa che fosse nato tra il [[1517]] e il [[1525]], probabilmente a [[Lisbona]] o [[Coimbra]]. Spesso si dice anche che fosse nato ad [[Alenquer (Portogallo)|Alenquer]], ma ciò è dovuto a una errata interpretazione di uno dei suoi sonetti, dove egli scrisse "[…] / Criou-me Portugal na verde e cara / pátria minha Alenquer […]" (Mi generò il Portogallo nella verde / e cara patria mia Alenquer). Questa frase isolata e la stesura del sonetto nella prima persona singolare hanno portato molti a pensare che qui il poeta parli di sé. Ma una lettura attenta e completa del sonetto permette di concludere che i fatti qui citati non sono associati alla vita di Camões. Camões scrisse il sonetto per un'altra persona, probabilmente un suo conoscente, morto a 25 anni, lontano dalla patria e sepolto in mare.
Se la differenza finita è divisa per <math>b-a</math> si ottiene un [[rapporto incrementale]]. Viene in genere indicata con la lettera greca <math>\Delta</math> seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio <math>\Delta x</math>).<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/C00968.html IUPAC Gold Book, "change of a quantity"]</ref>
I genitori di Camões erano Simão Vaz de Camões e Ana de Sá de Macedo. Per via paterna, Camões era pronipote del trovatore gallego Vasco Pires de Camões, e per via materna era imparentato con il navigatore Vasco da Gama. Simão Vaz abbandonò suo figlio e sua moglie per cercare fortuna in [[India]], ma morì a [[Goa]] qualche anno dopo. La madre in seguito si risposò.
==Definizione==
Seguì gli studi, forse non troppo regolarmente, al ''Collegio des Artes di [[Coimbra]]'', dedicandosi alla [[filosofia]] ed alle lingue classiche e moderne principalmente, ed anche, seppure con minore impegno, alla [[geografia]], alla [[storia]] ed all'[[astronomia]]. Non risulta la presenza del poeta nei registri ufficiali delle strutture scolastiche che egli frequentò, ma è certo che fu educato dai Domenicani e dai Gesuiti grazie all'interessamento di suo zio Bento de Camões, Priore del Monastero di Santa Cruz e Rettore dell'Università di Coimbra. In ogni caso, la cultura raffinata dei suoi scritti fa pensare all'unica Università del Portogallo di quell'epoca come luogo più probabile dei suoi studi.
Una differenza con ''centro'' <math>c</math> e ''passo'' <math>h</math> è definita come:
:<math>\Delta_{c,h} f(x)=f\left(x+c+\frac{h}{2}\right)-f\left(x+c-\frac{h}{2}\right) \qquad \forall c,h \in \R</math>
Tra il 1542 e il 1545 Camões visse a Lisbona, interrompendo gli studi per entrare nella corte di Giovanni III, conquistando fama di poeta e grandi onori.
Si studiano principalmente quattro tipi di differenze finite:
Legato alla casata del Conte di Linhares, Don Francisco de Noronha, e forse precettore del figlio Don Antonio, si recò a Ceuta nel 1549 e vi restò fino al 1551. Fu un'avventura comune nella carriera militare dei due giovani, ricordata nell'elegia 'Aquela que de amor descomedido'. Durante l'assedio, perse la vista all'occhio destro per la 'fúria rara de Marte', ma continuò a combattere.
* La '''differenza finita in avanti''' (forward difference):
:<math>\Delta_{\frac h 2, h} f (x)=\Delta_h f (x)=\Delta f (x)=f(x+h)-f(x)</math>
* La '''differenza finita all'indietro''' (backward difference):
:<math> \Delta_{-\frac h 2, h} f (x)=\Delta_{-h} f (x)= \nabla f(x)=f(x)-f(x-h)</math>
* La '''differenza finita centrata''' (central difference):
:<math>\Delta_{0,h} f(x)=\Delta_0 f (x)=\delta f(x) =f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)</math>
* La '''differenza finita media''' (medium difference):
:<math>\Delta_{(0,h)/2} f(x)=\Delta_{1/2} f (x)=\mu\,f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x-\frac{h}{2}\right)\right]</math>
Le differenze finite sono centrali nell'[[analisi numerica]] per l'approssimazione delle [[derivata|derivate]] e quindi nella [[metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie|risoluzione numerica delle equazioni differenziali]].
Rientrato a Lisbona, riprese la vita bohémien. Si innamorò perdutamente di una dama, Caterina de Athaide, che, morta assai giovane, egli pianse per tutta la vita, benché numerose altre passioni gli accendessero il cuore negli anni successivi. Ebbe vari amori, non solo con le dame di corte ma perfino con la sorella del re Manuel I.
==Relazione con le derivate==
A causa di alcune sue malignità sulla vita privata del re, nel [[1546]] dovette lasciare la corte e ritirarsi a [[Ribatejo]], dove scrisse [[verso|versi]] in cui parlava del suo perduto amore e diede inizio alla sua opera immortale, ''Os Lusiadas'' ([[I Lusiadi]]).
La [[derivata]] di una funzione <math>f</math> in <math>x</math> è definita come il [[limite di una funzione|limite]] del [[rapporto incrementale]]:
:<math> f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}</math>
Caduto in disgrazia, fu esiliato a [[Constância]]. Non esiste però nessuna prova documentale che questo fatto sia accaduto davvero. Il giorno del [[Corpus Domini]] del [[1552]], durante una rissa, Camões ferì un certo Gonçalo Borges. Imprigionato e poi liberato con decreto reale di perdono del 7 marzo [[1553]], si imbarcò per le Indie sulla flotta di Fernão Álvares Cabral, il 24 dello stesso mese.
Se <math>h</math>, invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:
[[File:EstatuaCamoesLisboa.JPG|thumb|left|200px|Monumento a Luís de Camões, a Lisbona.]]
:<math> \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta_h[f](x)}{h}</math>
== Oriente ==
Nel [[1555]] arrivò a [[Goa]], il centro più importante dell'India portoghese, e per due anni corse il mare partecipando ad alcune spedizioni. Il malcostume, la violenza, le prevaricazioni dei suoi connazionali lo indussero a scrivere una satira, ''Disparates na India'' (Pazzie in India), contro i governatori portoghesi, la cui ultima parte forse non è sua.
in modo che la differenza finita in avanti divisa per <math>h</math> approssima il valore della derivata per <math>h</math> piccolo.
Il risentimento delle pubbliche autorità lo costrinse ad allontanarsi da Goa per peregrinare in [[Cina]], [[Cambogia]] e [[Macao]] fino al [[1559]], anno in cui, dopo avventurose traversie, naufragi, contrasti con i suoi connazionali, ritornò a Goa. Qui restò fino al [[1567]]. Non si sa cosa facesse; certo è che il suo soggiorno fu sempre turbato da estrema povertà, lotte, accuse, processi. Lasciata l'India in quell'anno, spinto dal desiderio di rivedere la patria, non vi giunse che tre anni più tardi, dopo essersi fermato in [[Mozambico]], aver sofferto malattie, disinganni e fallimenti d'ogni specie che gli piagarono l'anima.
L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il [[teorema di Taylor]]. Assumendo <math>f</math> una [[funzione differenziabile]] [[funzione continua|con continuità]] l'errore è:
A Lisbona si occupò subito della pubblicazione del suo grande poema. Il successo gli procurò una piccola pensione da parte del giovane re Sebastiano, che gli consentì di vivere alla meglio in mezzo alle amarezze che gli venivano dalle sue personali disgrazie e da quelle della sua patria, la cui potenza accennava a declinare.
:<math> \frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0) </math>
Nel 1578 infatti il Portogallo subì una disastrosa sconfitta nella Battaglia di Alcácer Quibir, in Marocco, dove il re Sebastiano fu ucciso e l'esercito portoghese fu distrutto. Le truppe spagnole erano alle porte di Lisbona quando Camões scrisse al Capitano Generale di Lamego: "Tutti vedranno che la mia patria mi fu così cara che fui contento di morire non solo in essa ma con essa".
e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:
Camões morì nel giugno del [[1580]] all'età di 56 anni, colpito dalla peste che infieriva sulla città, e fu seppellito poveramente nella chiesa del monastero di S. Anna di Lisbona. Oggi è sepolto nella chiesa del [[Monastero di Jerónimos]], accanto a [[Vasco de Gama]].
:<math> \frac{\Delta_{-h}[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) </math>
[[File:tumulocamoes.jpg|thumb|260px|'''Tomba di Camões''', [[Monastero di Jerónimos]]]]
La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo <math>h</math>, se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda <math>f^{''}</math> è continua per ogni <math>x</math>:
== I Lusiadi ==
La sua fama imperitura è legata al poema ''[[I Lusiadi|Os Lusiadas]]'', opera in 10 canti di struttura classica. La stupenda fattura del verso, la novità e la grandiosità della materia trattata, la potenza e la semplicità dello stile fanno del poema uno dei più grandi monumenti della letteratura di tutti i tempi.
:<math> \frac{\Delta_0[f](x)}{h} - f'(x) = O(h^{2})</math>
L'opera celebra le conquiste del Portogallo dall'Infante Don Henrique fino all'unione dinastica con la Spagna nel 1580, conquiste che segnano la transizione dal Medio Evo all'Età Moderna. L'epopea narra la storia di Vasco de Gama e degli eroi portoghesi che navigarono fino al Capo di Buona Speranza e da lì aprirono una nuova rotta per l'India. È un'epopea umanista, anche nelle sue contraddizioni, nell'associazione di mitologia pagana a visione cristiana, nei sentimenti opposti sulla guerra e sull'impero, nel gusto del riposo e nel progetto di avventura, nell'apprezzamento del piacere e nelle esigenze di una visione eroica.
===Metodo alle differenze finite===
== Le opere liriche ==
{{vedi anche|Metodo alle differenze finite}}
Le opere liriche di Camões furono pubblicate come ''Rimas'', non essendoci accordo tra i diversi editori circa il numero di sonetti scritti dal poeta e circa la paternità di alcuni dei componimenti. Alcuni suoi sonetti, come il famoso ''Amor é fogo que arde sem se ver'', per l'uso audace dei paradossi, preannunciano il Barocco.
Le differenze finite possono essere utilizzate per [[matematica discreta|discretizzare]] una [[equazione differenziale ordinaria]]. Un esempio classico è il [[metodo di Eulero]], che sfrutta alternativamente i tre i tipi di differenze finite presentati.
==Operatore==
Camões compose [[sonetto|sonetti]], liriche, [[ode|odi]], [[Canzone (metrica)|canzoni]] ed ancora il ''Seleuco'', operetta teatrale di carattere farsesco (quella che gli valse il favore del re nel [[1546]]), l'''Amphytriões'', commedia al modo di [[Plauto]], il ''Filodemo'', commedia romanzesca, la ''Satira do torneo'' ed altre.
Un [[operatore (matematica)|operatore]] astratto agente su uno [[spazio funzionale]] che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro <math>c</math> e passo <math>h</math> si dice un ''operatore alle differenze''. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:
:<math>\Delta_h =T_h - I</math>
== Lo stile ==
È facile riconoscere nell'opera di Camões due stili differenti e perfino opposti: uno, lo stile delle ''redondilhas'' (composizioni in versi di 5 o 7 sillabe) e di alcuni sonetti, nella tradizione del ''[[Cancioneiro Geral]]'' di [[Garcia de Resende]]; un altro, lo stile di ispirazione latina o italiana di molti altri sonetti e delle composizioni in endecasillabi maggiori.
dove <math>T_h</math> è l'[[operatore di shift]] <math>T_h(f)=f(x+h)</math> e <math>I</math> l'[[funzione identità|identità]]. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.
Il primo, lo stile ingegnoso, come appare nel Cancioneiro Geral, si manifesta soprattutto nelle composizioni costituite da motto e risposta. Il poeta deve sviluppare un motivo dato e nell'interpretazione di questo motto rivelava la sua sottigliezza e la sua immaginazione, esattamente come facevano i predicatori medioevali quando sviluppavano la frase biblica che serviva da tema al sermone. Nello sviluppo del motto c'era una preoccupazione di pseudo-rigore verbale, di precisione terminologica, cosicché gli ingegnosi paradossi e le interpretazioni fantasiose delle parole sembravano generare una specie di operazione logica.
Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è [[trasformazione lineare|lineare]] e soddisfa la [[regola di Leibniz]].
Le opere di Camões furono divise in opere liriche e opere amorose. Tra le opere liriche, la più importante è rappresentata da ''[[I Lusiadi]]''.
La [[serie di Taylor|relazione di Taylor]] può essere espressa allora in termini simbolici come:
== Attualità dell'opera di Camões ==
La sua attualità nella vita culturale del [[Portogallo]] è dimostrata dal fatto che sue poesie sono state musicate come fados prima da Alain Oulman (Com que voz) da Carlos Gonçalves (Extrato do Canto IX in Os Lusiadas) e recentemente da Custòdio Castelo (Memória de meu bem).
:<math>\Delta_h= \sum_i \frac{h^i D^i}{i!} \sim h D +\frac{1}{2}h^2D^2+\frac{1}{3!}h^3D^3+\dots</math>
In suo onore è stato battezzato il [[cratere Camões]], sulla [[superficie di Mercurio|superficie]] di [[Mercurio (astronomia)|Mercurio]].
dove <math>D</math> è l'[[operatore differenziale]] che trasforma una funzione nella sua derivata.
== Opere ==
* [[1572]]- [[I Lusiadi]] ([[Os Lusíadas|testo completo]])
=== Liriche =Proprietà==
In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze si ha:
* [[1595]] - [[:s:Amor é fogo que arde sem se ver|Amor é fogo que arde sem se ver]]
* Se <math>c</math> è costante <math>\implies\Delta_h c = 0{\,}</math>
* [[1595]] - [[:s:Eu cantarei o amor tão docemente|Eu cantarei o amor tão docemente]]
* Linearità:
* [[1595]] - [[:s:Verdes são os campos|Verdes são os campos]]
:<math>\Delta_h(\alpha f + \beta\,g) = \alpha\Delta_h f + \beta\,\Delta_h g</math>con <math>\alpha</math> e <math>b</math> sono costanti.
* [[1595]] - [[:s:Que me quereis, perpétuas saudades?|Que me quereis, perpétuas saudades?]]
* [[1595]] - [[:s:Sobolos rios que vão|Sobolos rios que vão]]
* [[1595]] - [[:s:Transforma-se o amador na cousa amada|Transforma-se o amador na cousa amada]]
* [[1595]] - [[:s:Mudam-se os tempos, mudam-se as vontades|Mudam-se os tempos, mudam-se as vontades]]
* [[1595]] - [[:s:Quem diz que Amor é falso ou enganoso|Quem diz que Amor é falso ou enganoso]]
* [[1595]] - [[:s:Sete anos de pastor Jacob servia|Sete anos de pastor Jacob servia]]
* [[1595]] - [[:s:Alma minha gentil, que te partiste|Alma minha gentil, que te partiste]]
* Regola del prodotto:
=== Teatro ===
:<math> \Delta_h (f g) = f \,\Delta_h g + g \,\Delta_h f + \Delta_h f \,\Delta_h g </math>
* [[1587]] - ''Il re Seleuco''
:<math> \Delta_{-h} (f\cdot g) = f \,\Delta_{-h} g + g \,\Delta_{-h} f - \Delta_{-h} f \,\Delta_{-h} g </math>
* [[1587]] - ''Filodemo''
* Regola del quoziente:
* [[1587]] - ''Anfitrione''
:<math>\Delta_h\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta_h f - f \,\Delta_h g}{g\,(g + \Delta_h g)}</math>
:<math>\Delta_{-h}\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \,\Delta_{-h} f - f \,\Delta_{-h} g}{g\,(g-\Delta_{-h} g)}</math>
* Regole di sommazione:
== Altri progetti ==
:<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta_h f(n) = f(b+1)-f(a)</math>
{{interprogetto|q|commons=Category:Luís de Camões|s=pt:Autor:Luís Vaz de Camões|s_preposizione=in [[lingua portoghese]] di o su}}
:<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta_{-h} f(n) = f(b)-f(a-1)</math>
==Differenze finite di ordine superiore==
== Collegamenti esterni ==
Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo.
* [http://www.instituto-camoes.pt/index.htm Istituto Camões]
:* [http://www.instituto-camoes.pt/cvc/index.html Centro Virtuale]
:* [http://www.instituto-camoes.pt/cvc/navegaport/index.html Navigazioni Portoghesi]
* [http://bnd.bn.pt Opere di Luís Vaz de Camões nella Biblioteca Nacional Digital]
* [http://www.ruadapoesia.com/content/category/1/16/37/ Poemi di Camões] nella Rua da Poesia
* [http://users.isr.ist.utl.pt/~cfb/VdS/camoes.html Poemi di Camões II]
Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare <math>f'(x+h/2) - f'(x-h/2)</math> otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:
{{Portale|biografie|letteratura}}
:<math> \Delta_0^2 f (x) = f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)</math>
{{Link AdQ|pt}}
Più in generale, le differenze finite dell' <math>n</math>-esimo ordine sono definite rispettivamente come:
[[an:Luís de Camões]]
[[ar:لويس دي كامويس]]
:<math>\Delta^n_h f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h)</math>
[[ast:Luís de Camões]]
[[bat-smg:Luís de Camões]]
:<math>\Delta^n_{-h} f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih)</math>
[[be:Луіс дэ Камоэнс]]
[[be-x-old:Луіс дэ Камоэнс]]
:<math>\Delta^n_0 f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right)</math>
[[bg:Луиш ди Камоинш]]
[[br:Luís de Camões]]
Se necessario, è possibile mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.
[[bs:Luís de Camões]]
[[ca:Luís de Camões]]
===Proprietà===
[[cs:Luís Vaz de Camões]]
* Per <math>k</math> e <math>n</math> positivi:
[[cy:Luís de Camões]]
:<math>\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} \cdots \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h (f, x+i_1h+i_2h+\cdots+i_nh)</math>
[[da:Luis Vaz de Camões]]
* [[de:LuísRegola dedi CamõesLeibniz]]:
:<math>\Delta^n_h (fg, x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k_h (f, x) \Delta^{n-k}_h(g, x+kh)</math>
[[el:Λουίς δε Καμόες]]
[[en:Luís de Camões]]
==Generalizzazioni==
[[eo:Luís Vaz de Camões]]
Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:
[[es:Luís de Camões]]
:<math>\Delta_h^\alpha[f](x) = \sum_{k=0}^n \alpha_k f(x+kh)</math>
[[et:Luís Vaz de Camões]]
dove <math>\alpha = (\alpha_0,\ldots,\alpha_n)</math> è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la somma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la ''differenza infinita''.
[[eu:Luís de Camões]]
[[fi:Luís de Camões]]
Si possono anche rendere i coefficienti <math>\alpha_k</math> dipendenti dal punto <math>x</math>, ovvero <math>\alpha_k=\alpha_k(x)</math>, ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere <math>h</math> dal punto <math>x</math>, ovvero <math>h=h(x)</math>: ciò risulta utile ad esempio per definire diversi [[modulo di continuità|moduli di continuità]].
[[fr:Luís de Camões]]
[[gl:Luís de Camões]]
L'operatore alle differenze si generalizza alla [[formula di inversione di Möbius]] su un [[insieme parzialmente ordinato]].
[[he:לואיש דה קמואש]]
[[hif:Luís de Camões]]
==Interpolazione di Newton==
[[hr:Luís de Camões]]
{{vedi anche|Polinomio di Newton}}
[[hu:Luís de Camões]]
La formula di interpolazione di Newton, introdotta da Newton nei ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]'' del 1687,<ref>Newton, Isaac, (1687). [http://books.google.com/books?id=KaAIAAAAIAAJ&dq=sir%20isaac%20newton%20principia%20mathematica&as_brr=1&pg=PA466#v=onepage&q&f=false ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref> è l'analogo discreto dell'[[Serie di Taylor|espansione di Taylor]] continua:
[[id:Luís de Camões]]
[[io:Luís Vaz de Camões]]
:<math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!} ~(x-a)_k
[[is:Luís de Camões]]
= \sum_{k=0}^\infty {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a)
[[ja:ルイス・デ・カモンイス]]
</math>
[[ka:ლუიშ დი კამოენსი]]
[[ko:루이스 드 카몽이스]]
che vale per ogni funzione polinomiale <math>f</math> e per molte [[funzione analitica|funzioni analitiche]]. L'espressione:
[[la:Ludovicus Camonius]]
[[lb:Luís Vaz de Camões]]
:<math>{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!}</math>
[[lv:Luišs di Kamoinšs]]
[[mn:Луис Камоэнс]]
è il [[coefficiente binomiale]], mentre:
[[mr:लुइस दि कामोइस]]
[[mwl:Luís Vaz de Camões]]
:<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>
[[nl:Luís de Camões]]
[[nn:Luís de Camões]]
è il [[Fattoriale crescente|fattoriale decrescente]]. Il [[prodotto vuoto]] <math>(x)_0</math> vale inoltre 1.
[[no:Luís de Camões]]
[[oc:Luís Vaz de Camões]]
==Note==
[[pl:Luís de Camões]]
<references/>
[[pt:Luís de Camões]]
[[ro:Luís de Camões]]
==Bibliografia==
[[ru:Камоэнс, Луис де]]
* {{en}} Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). ''Difference Methods for Initial Value Problems'', 2nd ed., Wiley, New York.
[[simple:Luís de Camões]]
* {{Cita libro|cognome=Levy|nome=H.|autore2=Lessman, F.|titolo=Finite Difference Equations|anno=1992|editore=Dover|isbn=0-486-67260-3|lingua=en}}
[[sl:Luis de Camões]]
* {{en}} Ames, W. F., (1977). ''Numerical Methods for Partial Differential Equations'', Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
[[sr:Луис де Камоес]]
* {{en}} Hildebrand, F. B., (1968). ''Finite-Difference Equations and Simulations'', Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
[[sv:Luís de Camões]]
[[sw:Luís de Camões]]
==Voci correlate==
[[ta:லூயிஸ் டி கமோஸ்]]
* [[Derivata]]
[[tr:Luís de Camões]]
* [[Equazione alle differenze]]
[[uk:Луїс де Камоенс]]
* [[Metodo delle differenze finite]]
[[vi:Luís Vaz de Camões]]
* [[vo:LuísPolinomio dedi CamõesNewton]]
* [[Serie di Taylor]]
[[war:Luís Vaz de Camões]]
* [[Teorema di Taylor]]
[[zh:路易·德賈梅士]]
* [[Differenze divise]]
[[zh-yue:賈梅士]]
==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Finite-difference calculus|autore= A.F. Leont'ev}}
{{Portale|Matematica}}
[[Categoria:Analisi numerica]]
[[Categoria:Operatori lineari]]
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