Wikipedia

Trasformata di Fourier e Fabrizio Santafede: differenze tra le pagine

(Differenze fra le pagine)
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
VisualeWikitesto
m Correggo sintassi in formula matematica secondo mw:Extension:Math/Roadmap
 
 
Riga 1:
{{Bio
In [[analisi matematica]], la '''trasformata di Fourier''', abbreviata spesso in '''F-trasformata''', è una [[trasformata integrale]] con numerose applicazioni nella [[fisica]] e nell'[[ingegneria]]. Fu sviluppata dal matematico francese [[Jean Baptiste Joseph Fourier]] nel [[1822]], nel suo trattato ''Théorie analytique de la chaleur''.
|Nome = Fabrizio
|Cognome = Santafede
|Sesso = M
|LuogoNascita = Napoli
|GiornoMeseNascita =
|AnnoNascita = 1555 circa
|NoteNascita = <ref name=ReferenceA>{{DBI}}</ref>
|LuogoMorte = Napoli
|GiornoMeseMorte =
|AnnoMorte = 1626
|NoteMorte = <ref name=ReferenceA />
|Epoca = 1500
|Epoca2 = 1600
|Attività = pittore
|Nazionalità = italiano
|PostNazionalità = , dell'epoca [[barocca]]
}}
[[File:Cristoospitato.jpg|thumb|''[[Cristo in casa di Marta e Maria (Santafede)|Cristo in casa di Marta e Maria]]'' (1612), [[Pio Monte della Misericordia]]]]
[[File:Madonna col Bambino ed i santi Benedetto, Mauro e Placido.gif|thumb|Fabrizio Santafede, ''Madonna col Bambino ed i santi Benedetto, Mauro e Placido'', 1593, [[Chiesa dei Santi Severino e Sossio]], cappella Medici<ref>Opera firmata e datata, olio su tavola, cm 270×190.</ref>]]
== Biografia ==
Allievo dell'artista senese [[Marco Pino]], che operò a Napoli nell'ultima parte della sua vita, tra il [[1580]] e il [[1600]] i suoi dipinti risentirono dell'impronta [[manierismo|manierista]] tosco-veneta, calibrata e addolcita negli anni da un recupero di modelli lontani nel tempo, tanto da fargli meritare il "plauso universale, sì che ne fu chiamato il Raffaello napoletano".<ref>{{Cita libro |curatore = Giovan Battista Chiarini <!--|autore = Carlo Celano--> |titolo = Delle notizie del bello, dell'antico, e del curioso della città di Napoli raccolte dal canonico Carlo Celano |volume = Vol. I |città = Napoli |editore = Stamperia Floriana |anno = 1856 |p = 154 |accesso = 17 dicembre 2015 |url = http://books.google.it/books?id=t3w5AAAAcAAJ&pg=PA3&dq=Carlo+Celano,+Delle+notizie+del+bello,+dell%27antico,+e+del+curioso&hl=it&ei=zS2bTMGoPMTJswbTmeGCBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC0Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false}}</ref>
 
Nel [[1593]] il pittore - forse il maggiore del momento a Napoli, se appena un anno prima, per dirla col Previtali, «appare assunto nell'Olimpo degli ''arrivati''», con la commissione dell<nowiki>'</nowiki>''Annunciazione'' di Santa Maria de La Vid, a [[Burgos (Spagna)|Burgos]]<ref>{{Cita libro |autore = Giovanni Previtali |titolo = La pittura del Cinquecento a Napoli e nel vicereame |città = Torino |editore = Einaudi |anno = 1978 |p = 110}} Nel biennio 1591-1592 il pittore collaborò con Girolamo Imparato, Wenzel Cobergher e [[Giovan Battista Cavagna]] alla realizzazione di un gruppo di tele commissionate da [[Juan de Zúñiga y Avellaneda|don Juan de Zùñiga]] conte di Miranda, viceré dal 1586 al 1594, destinate all'altare maggiore della chiesa di Santa Maria de La Vid, un minuscolo villaggio sito a poca distanza da Aranda de Duero, in Castiglia (a sud di Burgos). La chiesa era stata scelta sin dagli anni trenta del Cinquecento come luogo di sepoltura per la famiglia da un illustre antenato del viceré di Napoli, don Íñigo Lòpez de Mendoza. La paternità al Santafede, la data e la notizia della commissione dell'Annunciazione da parte del viceré si ricava dall'iscrizione che corre sul gradino marmoreo nella tela.</ref> - eseguiva per la cappella Medici di Gragnano, nella chiesa napoletana dei [[Chiesa dei Santi Severino e Sossio|Santi Severino e Sossio]], la ben conosciuta [[pittura su tavola|tavola]] della ''Madonna col Bambino e i santi [[Benedetto da Norcia|Benedetto]], [[San Mauro|Mauro]] e [[San Placido (monaco)|Placido]]''.<ref>Dimensioni 270x190 cm, siglata sul gradino, in basso a destra, ''Fabr(itius) S(ancta) Fede 1593''. L'attribuzione della pala a Fabrizio Santafede si trova registrata per la prima volta in [[Camillo Tutini]] (1664), che la giudicò "pittura assai degna". Camillo Tutini, ''De' pittori, scultori, architetti, miniatori e recamatori napoletani'', ms del 1664 ca, ed. a cura di {{Cita pubblicazione |autore = [[Benedetto Croce]] |titolo = Il manoscritto di Camillo Tutini sulla storia dell'arte napoletana |rivista = [[Napoli Nobilissima]] |serie = s. I, VII |anno = 1898 |numero = 8 |p = 126 |sbn = IT\ICCU\NAP\0580067}} Si ricordi a titolo di cronaca l'invenzione nel vicino 1588, in un sepolcro posto nel coro di San Giovanni a Messina, dei corpi di San Placido, dei due fratelli e della sorella. C. Colafranceschi, ''Placido'', in ''Bibliotheca sanctorum'', vol. X, Roma 1968, col. 949. Sulla cappella Medici si veda: {{Cita pubblicazione |autore = Lawrence d'Aniello |titolo = La cappella Medici di Gragnano nella chiesa dei Santi Severino e Sossio a Napoli |rivista = "Napoli Nobilissima" |serie = 5 |volume = vol. 6, fasc. 1/4 |data = genn.-ago. 2005 |sbn = IT\ICCU\NAP\0525433}}</ref> Le molteplici esperienze formative del pittore, da Marco Pino (attivo in passato per la stessa chiesa) a [[Raffaello]], fino al manierismo internazionale, neo-parmigianesco di [[Francesco Curia]], paiono qui raggiungere una loro unitaria convergenza, e a livello assai nobile di qualità. Osserviamo i personaggi inseriti in una equilibrata scenografia, di poche e solide figure solennemente atteggiate in primo piano, che non lasciano alcuno spazio ad elementi secondari quali il paesaggio. È chiaro che siamo di fronte ad un tentativo di interpretare le immagini sacre con serietà [[controriforma|contro-riformata]] di linguaggio, ma in modo accostante e 'domestico', vicino alla religiosità dei devoti.
È uno degli strumenti matematici maggiormente utilizzati nell'ambito delle [[scienza|scienze]] pure e [[scienze applicate|applicate]]. Essa permette di scrivere una funzione dipendente dal tempo nel [[dominio della frequenza|dominio delle frequenze]], e per fare ciò decompone la funzione nella base delle [[funzione esponenziale|funzioni esponenziali]] con un [[prodotto scalare]]. Questa rappresentazione viene chiamata spesso ''spettro'' della funzione (tale nome non è legato al concetto di [[spettro (matematica)|spettro di un operatore]]).
 
In seguito il nostro si avvicinò allo studio dell'opera del [[Caravaggio]] e a quella di altri toscani come [[Santi di Tito]] e Domenico Crespi detto il [[Passignano]].
La trasformata è invertibile: a partire dalla trasformata di una funzione <math>\hat x</math> è possibile risalire alla funzione <math>x</math> tramite il [[teorema di inversione di Fourier]]. Nel caso di [[funzione periodica|funzioni periodiche]], può essere semplificata con il calcolo di un insieme discreto di ampiezze complesse, chiamati coefficienti della [[serie di Fourier]].
 
Nel [[1603]] e nel [[1608]] gli furono commissionate due opere per il [[Pio Monte della Misericordia]] di Napoli, ''[[Cristo in casa di Marta e Maria (Santafede)|Cristo in casa di Marta e Maria]]'' e ''[[San Pietro che resuscita Tabitha]]''.
Grazie alla trasformata di Fourier è possibile individuare un criterio per compiere un [[campionamento (teoria dei segnali)|campionamento]] in grado di digitalizzare un segnale senza ridurne il [[informazione|contenuto informativo]]: ciò è alla base dell'intera [[teoria dell'informazione]] che si avvale, inoltre, della trasformata di Fourier (in particolare della [[trasformata di Fourier discreta|sua variante discreta]]) per l'elaborazione di segnali numerici.
 
Tra le altre tele di rilievo vanno menzionate ''L'incoronazione della Vergine'' ([[1601]]-[[1602|02]]) nella [[Chiesa di Santa Maria la Nova (Napoli)|Chiesa di Santa Maria la Nova]], la ''Madonna e Santi'' ([[1606]]) a [[Chiesa di Sant'Anna dei Lombardi|Monteoliveto]], e le opere commissionate da privati come ''I figli di Zebedeo davanti a Cristo'' ([[1625]]) ai [[Chiesa dei Girolamini|Gerolamini]] e la ''Lavanda del Bambino'', tela menzionata da [[Bernardo De Dominici]] nel [[1742]]. Di probabile sua attribuzione sarebbe la ''Madonna con angeli e san Bonaventura, san Francesco e Ludovico d'Angiò'' opera collocata sull'altare maggiore nella [[Chiesa di San Bonaventura (Napoli)]] situata in via San Giovanni Maggiore Pignatelli.
Formalmente, la trasformata di Fourier <math>\mathcal{F}\left\{x(t)\right\}(\omega)</math> di una funzione <math>x(t)</math> è equivalente al valutare la [[trasformata di Laplace|trasformata di Laplace bilatera]] <math>\mathcal{L}</math> di <math>x</math> ponendo <math>s = i\omega</math>, e tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.
 
Lavorò anche in altre città dell'Italia meridionale, ma anche al Nord e in [[Spagna]].
==Generalità==
La trasformata di Fourier è largamente utilizzata nell'analisi in frequenza dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], nella risoluzione delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] e in [[teoria dei segnali]]. Ad esempio, nell'[[ingegneria dei sistemi]] la trasformata di Fourier della [[risposta impulsiva]] caratterizza la [[risposta in frequenza]] del sistema in oggetto.
 
Fra i suoi allievi vi fu [[Giovanni De Gregorio]] detto il Pietrafesa.
Il motivo di una così vasta diffusione risiede nel fatto che si tratta di uno strumento che permette di scomporre un segnale generico in una somma infinita di sinusoidi con [[frequenza|frequenze]], [[ampiezza|ampiezze]] e [[Fase (segnali)|fasi]] diverse; e successivamente permette di ricostruirlo tramite la [[teorema di inversione di Fourier|formula inversa]] di sintesi (o "antitrasformazione"). L'insieme di valori in funzione della frequenza, continuo o discreto, è detto ''spettro di ampiezza'' e ''spettro di fase''.
 
Se il segnale in oggetto è un [[funzione periodica|segnale periodico]], la sua trasformata di Fourier è un insieme [[Segnale discreto|discreto]] di valori, che in tal caso prende il nome di ''spettro discreto'' o spettro "a pettine": la frequenza più bassa è detta ''armonica fondamentale'' ed è quella che ha peso maggiore nella ricomposizione finale del segnale, mentre le altre frequenze sono multiple della fondamentale e prendono talvolta il nome di "armoniche secondarie". In questo caso la rispettiva formula inversa di sintesi costituisce lo sviluppo in [[serie di Fourier]] della funzione o segnale periodico originario. Se il segnale ha un [[valor medio]] diverso da zero la serie restituisce anche una componente costante che lo rappresenta. Se un segnale periodico viene troncato all'esterno di un certo intervallo in ascissa rimanendo definito solo all'interno di un certo intervallo di definizione, lo spettro risultante sarà quello discreto in cui però ciascuna riga si allarga nel dominio della variabile dipendente di un valore pari all'inverso dell'intervallo di definizione del segnale stesso.
 
== Opere (lista non esaustiva) ==
Nel caso in cui la funzione sia non periodica, lo spettro è continuo, e tanto più è esteso lungo l'asse delle frequenze quanto più è limitato nel dominio originario della variabile indipendente, e viceversa.
* ''La Madonna con il Bambino e Santi'' (tela, 1580 circa), [[Cattedrale di Matera]]
 
===Napoli===
La teoria della trasformata e antitrasformata di Fourier generalizza dunque la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici, ricomprendendo i segnali periodici come caso particolare ed insieme confluiscono nell'[[analisi di Fourier]] e nell'[[analisi armonica]].
* ''La Madonna del Rosario'' (tela), [[Chiesa di Santa Maria Egiziaca a Forcella]]
 
* ''La Madonna del Rosario'' (tela), [[Basilica di San Domenico Maggiore]]
La [[trasformata di Laplace]] è un'estensione della trasformata di Fourier che è stata introdotta poiché consente di trattare funzioni particolari che non sono integrabili secondo Fourier, come le [[continuità a tratti|funzioni continue a tratti]]. Data la trasformata di Laplace di una funzione (o [[teoria dei segnali|segnale]]), sotto determinate ipotesi si può ottenere la sua trasformata di Fourier ponendo <math>s = 2\pi \cdot i \cdot f</math>, dove <math>i</math> è l'[[unità immaginaria]] e <math>f = \omega / 2 \pi</math> la frequenza delle sinusoidi di base la cui [[combinazione lineare]] determina la trasformata di Fourier.
* ''L'Annunciazione'' (tela), [[Basilica di San Domenico Maggiore]]
 
* ''La Deposizione''(tela), [[Eremo dei Camaldoli]]
== Definizione ==
* ''San Pietro che resuscita Tabitha'' (tela, 1611), Chiesa del [[Pio Monte della Misericordia]]
Si consideri la [[Base (algebra lineare)|base]] <math>\{ u_n = e^{i n t},n\in\mathbb{Z}\}</math>, [[base ortonormale|ortonormale]] rispetto al [[forma sesquilineare|prodotto interno standard]], di uno [[spazio di Hilbert]] <math>H</math>. Un tale sistema ortonormale in <math>L^2(T)</math>, dove <math>T</math> è la [[circonferenza unitaria]], è detto ''sistema ortonormale trigonometrico'', ed è un sistema completo.
* ''Cristo in casa di Marta e Maria'' (tela, 1612), Chiesa del [[Pio Monte della Misericordia]]
 
* ''La Sacra Famiglia con Santa Lucia'' (tela, 1620 circa), Quadreria del [[Pio Monte della Misericordia]]
Si definisce [[serie di Fourier]] di una funzione periodica <math>f(x) \in L^2(T)</math> a [[Funzione quadrato sommabile|quadrato sommabile]] la rappresentazione della funzione per mezzo di una [[combinazione lineare]] dei vettori di base <math>u_n</math> del sistema ortonormale trigonometrico:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 91|rudin}}</ref>
* ''La Visitazione'' (tela), [[Chiesa di Santa Teresa a Chiaia]]
 
* ''L'Annunciazione'' (tela), [[Chiesa di Santa Maria in Portico]]
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) u_n = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{int}</math>
* ''La Santissima Trinità con la Vergine, San Giuseppe e Santi'' (tela, 1618-1619), [[Chiesa di Santa Maria di Monteverginella]]
 
* ''La Madonna del Rosario'' (tela), [[Chiesa del Gesù Nuovo]]
I coefficienti della combinazione sono dunque la [[proiezione (geometria)|proiezione]] della funzione sui vettori di base stessi:
* ''La Madonna del Soccorso'' (tela, 1607), [[Basilica dello Spirito Santo]]
 
* ''La Natività'' (tela, 1590), Oratorio dell'Arciconfraternita di Santa Restituta dei Neri nel [[Duomo di Napoli]]
:<math>f(n) := \frac{(f,u_n)}{\| u_n \|^2} = (f,u_n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-inx}dx</math>
* ''La Madonna con il Bambino e i Santi Benedetto, Mauro e Placido'' (tela, 1593), [[Chiesa dei Santi Severino e Sossio]]
 
* ''I Figli di Zebedeo davanti a Cristo'' (tela), [[Quadreria dei Girolamini]]
e sono detti ''coefficienti di Fourier''.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 46|reed}}</ref>
* ''La Lavanda del Bambino'' (tela), [[Quadreria dei Girolamini]]
 
* ''L'Annuncio ai pastori'' (tela, 1606), [[Chiesa dei Girolamini]]
Si supponga di estendere <math>T</math> ad un intervallo sufficientemente ampio in modo che il [[Supporto (matematica)|supporto]] di una funzione periodica <math>f</math> con periodo <math>T = 2\pi</math> sia contenuto in <math>[-T / 2,T / 2]</math>. Allora l'''n''-esimo coefficiente <math>f(n)</math> è dato da:
* ''
 
:<math>f(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,e^{-i2\pi \left(\frac n T \right)x}dx</math>
 
In modo informale si può affermare che all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo <math>T</math> sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione <math>f(x)</math> i coefficienti della serie approssimano il valore della trasformata di Fourier <math>\mathcal{F}\{f\}</math> della funzione stessa, e la somma della serie approssima il valore della [[Trasformata inversa di Fourier|trasformata inversa]]. In particolare, i coefficienti della serie sono i valori della trasformata di Fourier campionata ad intervalli di larghezza <math>1/T</math>, e nel caso in cui <math>f(x)</math> sia identicamente nulla al di fuori dell'intervallo di integrazione <math>[-T / 2,T / 2]</math> il valore dell'n-esimo coefficiente di Fourier è pari a <math>\mathcal{F}\{f\}\left( {n \over T} \right)</math>.
 
Estendendo <math>T</math> all'intero asse reale si definisce trasformata di Fourier di una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>f</math> appartenente allo [[spazio di Schwartz]] l'integrale:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 180|rudin}}</ref>
 
:<math>\mathcal{F}\{f\}(t) = \hat{f}(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} f(x)e^{-ixt}\,dx\qquad\forall t\in\R</math>
 
Dal momento che <math>f</math> appartiene a <math>L^1(\R)</math>, l'integrale è ben definito per ogni numero reale. Come conseguenza del [[teorema di Plancherel]], la trasformata si può estendere in modo unico anche nello [[spazio di Hilbert]] <math>L^2</math>, tuttavia come funzione puntuale è definita [[quasi ovunque]] in tale insieme.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 189|rudin}}</ref>
 
Indicando l'operazione con la lettera ''F'' calligrafica, con il termine trasformata di Fourier si identifica anche l'[[Operatore (matematica)|operatore]] funzionale:
 
:<math>\mathcal{F}: f\mapsto\hat{f}</math>
 
Si può estendere la definizione anche per funzioni di Schwartz di una variabile vettoriale <math>f(\mathbf{x})\in L^1(\R^n)</math>:
 
:<math>\mathcal{F}\{f\}(\mathbf{t}) = \hat{f} (\mathbf{t}) := \frac{1}{(2\pi)^{n \over 2}} \int_{\R^n} e^{-i\mathbf{t}\cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}\qquad\forall\mathbf{t}\in\R^n</math>
 
dove <math>\mathbf{t}\cdot \mathbf{x}</math> rappresenta il [[prodotto scalare]] dei due vettori.
 
La trasformata di Fourier è un endomorfismo dello spazio di Schwartz.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 319|reed}}</ref> In particolare, mappa dal dominio <math>x</math> al dominio <math>t = 2 \pi f</math>, ed è una funzione complessa della variabile <math>t</math>. La trasformata è quindi esprimibile in modulo e argomento tramite rispettivamente lo ''spettro di ampiezza'' e lo ''spettro di fase''.
 
=== Il teorema di inversione di Fourier ===
{{vedi anche|Teorema di inversione di Fourier}}
Il teorema di inversione di Fourier afferma che se <math>f</math> e la sua trasformata appartengono ad <math>L^1</math> allora:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 186|rudin}}</ref>
 
:<math>f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt</math>
 
In modo informale si può affermare che, all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione, la somma della serie approssima il valore della trasformata inversa.
 
Esso si esprime dicendo che matematicamente una funzione <math>f(x)</math> è scomponibile come la somma infinita su tutte le frequenze di sinusoidi con peso pari alla trasformata o spettro <math>X(f)</math> di <math>f(x)</math>. Equivalentemente, si dice invece che la grandezza <math>f(x)</math> è data dalla sovrapposizione di infinite [[onda (fisica)|onde]] a differente frequenza con peso pari alla trasformata o spettro di <math>f(x)</math>.
 
== Esistenza ed unicità ==
Sia <math>\phi \in L^1</math> un [[omomorfismo]] a valori complessi tale che:
 
: <math> \phi(f*g)= \phi(f)\phi(g) \qquad f,g \in L^1</math>
 
dove l'asterisco denota la [[convoluzione]]. Si dimostra che:
 
* Esiste un'unica <math>\beta \in L^\infty</math> tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 193|rudin}}</ref>
 
: <math> \phi(f)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\beta(x)dx</math>
 
* Vale la proprietà:
 
: <math> \phi(f*g) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(y)\phi (f(x-y))dy</math>
 
Dato che:
 
: <math> \phi(f)\phi(g) = \phi(f)\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(y)\beta(y)dy</math>
 
dall'uguaglianza (per ipotesi) dei membri alla destra nelle precedenti due relazioni segue che allora è possibile scrivere, portando <math>\phi</math> dentro l'integrale nella seconda e uguagliando gli integrandi:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 194|rudin}}</ref>
 
: <math> \phi(f)\beta(y) = \phi (f(x-y)) \ </math>
 
Assumendo che <math>\beta</math> sia una [[funzione continua]] e sostituendo <math>y</math> con <math>x+y</math> e <math>f</math> con <math>f(y-x)</math> si ottiene:
 
: <math> \phi(f(z))\beta(x+y) = \phi(f (z-(x+y)) = \phi(f(z-x))\beta(y)= \phi(f(z))\beta(x)\beta(y) \ </math>
 
e quindi:
 
: <math>\beta(x+y) = \beta(x)\beta(y) \ </math>
 
il che implica che <math>f(0)=1</math>. Si mostra inoltre che <math>\beta</math> è differenziabile. Differenziando la precedente relazione rispetto a <math>y</math> e valutando in <math>y=0</math> si ottiene:
 
: <math>\beta'(x) = \beta'(0)\beta(x) </math>
 
con <math>\beta'(0)</math> una costante, da cui:
 
: <math>\beta(x) = e^{\beta'(0)x} \ </math>
 
Dalla limitatezza di <math>\beta</math> segue che <math>\beta'(0)</math> è un numero puramente immaginario. Esiste quindi un <math>t</math> reale tale che:
 
: <math>\beta'(x) = e^{-itx} \ </math>
 
L'unicità di <math>t</math> discende considerando una traslazione <math>f = e^{-|x|}</math> e notando che <math>s \ne t</math> implica che la trasformata <math>\hat f</math> è diversa se valutata in <math>t</math> oppure <math>s</math>. Si può pertanto associare ad ogni omomorfismo a valori complessi non identicamente nullo <math>\phi \in L^1</math> un unico <math>t</math> reale in modo che si verifichi la relazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 195|rudin}}</ref>
 
: <math>\phi(f) = \hat f(t) \ </math>
 
== Proprietà ==
Dalla linearità dell'integrale consegue immediatamente la linearità della trasformata di Fourier, esplicitamente:
:<math>\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)</math>
per ogni <math>f, g \in L^1(\mathbb{R})</math> e <math>\alpha , \beta \in \mathbb{C}</math>.
 
Segue immediatamente dalla definizione che una traslazione della funzione risulta nella moltiplicazione con un esponenziale della trasformata, e viceversa.
 
Siano <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> e <math>\alpha \in \mathbb{C}</math>, allora valgono le seguenti proprietà:<ref name=prop>{{Cita|W. Rudin|Pag. 181|rudin}}</ref>
 
* Se <math>g(t) = f(t - \alpha) </math> allora:
: <math> \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-i\alpha\omega}</math>
* Se <math>g(t) = f(t)e^{i\alpha t} </math> allora:
: <math> \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha)</math>
* Se <math>g(t) = f(-t) </math> allora:
: <math> \hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega)</math>
* Se <math>g(t) = f(-t)^* </math> allora:
: <math> \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*</math>
:dove l'asterisco denota il [[complesso coniugato]]. In particolare, se ''f'' è reale e [[Funzioni pari e dispari|pari]], allora <math>\hat{f}</math> è reale e pari; se invece ''f'' è reale e dispari, allora <math>\hat{f}</math> è immaginaria e dispari.
* Attraverso un [[Regola della sostituzione|cambio di variabile]] si ottiene che se:
 
:<math>g(t) = f(t/\lambda) \ </math>
 
:allora:
 
: <math> \hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega) \quad \lambda > 0</math>.
 
===Il teorema di convoluzione===
{{vedi anche|Convoluzione|Teorema di convoluzione}}
Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di una convoluzione è data dal prodotto delle trasformate. Siano <math>f</math> e <math>g</math> funzioni a descrescenza rapida in <math>\R^n</math>. La loro convoluzione è data dall'integrale:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 323|reed}}</ref>
 
:<math>(f*g)(t) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} f(t-i \omega) g(i \omega) \mathrm{d}\omega</math>
 
Sia <math>\ \mathcal{F}</math> l'operatore trasformata di Fourier, sicché <math>\ \mathcal{F}\{f\}</math> e <math>\ \mathcal{F}\{g\}</math> sono le trasformate di <math>\ f</math> e <math>\ g</math> rispettivamente. Allora si ha:
 
: <math>\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}</math>
 
dove <math>\cdot</math> denota la moltiplicazione. Si ha anche che:
 
: <math>\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}</math>
 
Applicando la trasformata inversa <math>\mathcal{F}^{-1}</math>, si ottiene:
 
: <math>f*g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F}\{f\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\big\}</math>
 
Si può dimostrare questa proprietà applicando il [[teorema di Fubini]].
 
=== Correlazione incrociata ===
{{vedi anche|Correlazione incrociata}}
In modo analogo alla convoluzione, si mostra che se <math>h(x)</math> è la correlazione incrociata di <math>f(x)</math> e <math>g(x)</math>:
 
:<math>h(x)=(f\star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f(y)}\,g(x+y)\,dy</math>
 
allora la trasformata di Fourier di <math>h(x)</math> è:
 
:<math>\mathcal{F}\{h \}(\xi) = \overline{\mathcal{F}\{f\}(\xi)}\,\mathcal{F}\{g\}(\xi)</math>
 
Come caso particolare, l'[[autocorrelazione]] di <math>f(x)</math> è data da:
 
:<math>h(x)=(f\star f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f(y)}f(x+y)\,dy</math>
 
e si ha:
 
:<math>\mathcal{F}\{h\}(\xi) = \overline{\mathcal{F}\{f\}(\xi)}\,\mathcal{F}\{f\}(\xi) = |\mathcal{F}\{f\}(\xi)|^2</math>
 
===Trasformata della derivata===
Con un'[[integrazione per parti]] si può dimostrare che se:
 
:<math>g(t) = -itf(t) \ </math>
 
ed <math>f,g \in L^1(\mathbb{R})</math>, allora <math>\hat{f}</math> è differenziabile e la [[derivata]] è data da:<ref name=prop/>
 
:<math>\hat{f}\text{ }'(\omega) = \hat{g}(\omega)</math>
 
Se, al contrario, <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> è differenziabile e la derivata è a sua volta assolutamente integrabile, ovvero <math>f' \in L^1(\mathbb{R})</math>, allora la trasformata della derivata è:
 
:<math>\widehat{f'\text{ }} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega)</math>
 
Questa proprietà permette di trovare le soluzioni di alcune [[equazione differenziale|equazioni differenziali]], trasformandoli in equazioni algebriche per la trasformata di Fourier della soluzione.
 
===Il teorema di Plancherel===
{{vedi anche|Teorema di Plancherel}}
Il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier a funzioni che appartengono all'intersezione dello spazio delle [[Funzione integrabile|funzioni integrabili]] secondo [[integrale di Lebesgue|Lebesgue]], denotato con <math>L^1</math>, e lo spazio delle [[Spazio Lp|funzioni a quadrato sommabile]], denotato con <math>L^2</math>. In particolare, l'applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad <math>L^2</math>, è un'[[isometria]] da <math> L^1 \cap L^2</math> in <math>L^2</math> che può essere estesa in maniera unica ad un'isometria da <math>L^2</math> in sé.
 
Il teorema di Plancherel afferma che è possibile associare ad ogni funzione <math>f</math> di <math>L^2</math> una funzione <math>\hat f</math> di <math>L^2</math> tale da soddisfare le seguenti proprietà:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 187|rudin}}</ref>
 
* Se <math>f \in L^1 \cap L^2</math>, allora <math>\hat f</math> è la trasformata di Fourier di <math>f</math>.
* Per ogni <math>f \in L^2</math> si ha:
:<math>\| \hat f \|_2 = \| f \|_2</math>
* L'applicazione <math>f \to \hat f</math> è un [[isomorfismo]] da <math>L^2</math> in sé in uno [[spazio di Hilbert]].
* Se:
 
:<math>\phi_A(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A f(x)e^{-ixt}\,dx \ </math>
 
:e se:
 
:<math>\psi_A(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt</math>
 
:allora:
 
:<math>\lim_{A \to \infty} \|\phi_A - \hat{f}\|_2 = 0 \qquad \lim_{A \to \infty} \|\psi_A - f \|_2 = 0 </math>
 
Dal momento che <math>L^1 \cap L^2</math> è [[insieme denso|denso]] in <math>L^2</math>, le prime due proprietà implicano che l'applicazione <math>f \to \hat f</math> è unica, mentre l'ultima è detta anche ''teorema di inversione di'' <math>L^2</math>.
 
=== Il teorema di Parseval ===
{{vedi anche|Teorema di Parseval}}
Siano <math>A(x)</math> e <math>B(x)</math> due funzioni [[integrale di Riemann|Riemann-integrabili]], a valori complessi e definite su <math>\R</math>. Siano esse periodiche con periodo <math>2\pi</math> e sia la rappresentazione per mezzo della [[serie di Fourier]]:
 
:<math>A(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_ne^{inx} \qquad B(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_ne^{inx}</math>
 
Allora:
 
:<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx</math>
 
Nel caso particolare in cui <math>A(x)=B(x)</math> il teorema stabilisce che, data una funzione in <math>C^2</math> su <math>\R</math> con derivata prima e seconda assolutamente convergenti, allora l'area sottesa dal modulo al quadrato della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier:
 
:<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx</math>
 
Una scrittura integrale equivalente alla precedente relazione è:
 
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} | A(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} | \hat A(\omega) |^2 d\omega </math>
 
dove <math>\hat A(\omega) = \mathcal{F} \{ A(t) \}</math> è la trasformata di Fourier normalizzata di <math>A(x)</math> e <math>\omega</math> la frequenza di <math>A</math>.
 
=== Proprietà di dualità ===
Un'utile proprietà della trasformata di Fourier è la dualità fra trasformata e antitrasformata: poiché esse differiscono solo per il segno è immediato applicare un risultato ottenuto trasformando dal dominio del tempo a quello della frequenza all'operazione duale.<ref>[http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/html/libro/libro-3.3.html Prime proprietà della trasformata di Fourier<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>
 
Formalmente:
:<math>\mathcal{F}\left\{x(t)\right\} = X(\omega)</math>
operando la sostituzione formale fra le variabili <math>\omega</math> e <math>t</math>
:<math>\mathcal{F}\left\{X(t)\right\} = x(-\omega)</math>
analogamente
:<math>\mathcal{F}^{-1}\left\{X(\omega)\right\} = x(t)</math>
operando la sostituzione formale fra le variabili <math>t</math> e <math>\omega</math>
:<math>\mathcal{F}^{-1}\left\{X(t)\right\} = x(-\omega)</math>
 
tale proprietà è particolarmente utile per applicare risultati quali la [[formula di sommazione di Poisson]] al [[teorema del campionamento]] o ricavare immediatamente la trasformata di una generica funzione periodica (grazie alla trasformata della [[delta di Dirac]]).
 
=== Il lemma di Riemann-Lebesgue ===
{{vedi anche|Lemma di Riemann-Lebesgue}}
Sia <math>f\colon \R \to \Complex</math> una [[funzione misurabile]]. Se <math>f</math> è [[spazio Lp|sommabile]] allora:
 
:<math>\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) e^{-izx}\,dx \rightarrow 0\text{ per } z\rightarrow \pm\infty</math>
 
La trasformata di Fourier di <math>f</math> tende quindi a <math>0</math> per valori infiniti di <math>z</math>. Il lemma si estende anche al caso pluridimensionale.
 
==Relazione con la trasformata di Laplace==
La trasformata di Fourier <math>\mathcal{F}\left\{f(t)\right\}(\omega)</math> di una funzione <math>f(t)</math> è equivalente alla [[trasformata di Laplace|trasformata di Laplace bilatera]] <math>\mathcal{L}</math> di <math>f</math> valutata per <math>s = i\omega</math>, ovvero:
 
:<math> \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t </math>
 
Tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.
 
== Esempi ==
 
* Sia <math>u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)</math>, cioè la [[funzione rettangolare]] di ampiezza due. Allora:
 
:<math>\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt = </math>
 
:<math>=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}</math>
 
* Sia <math>u(t) = \frac{1}{1+t^2}</math>. Allora:
 
:<math>\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-i\omega t}}{1 + t^2}dt</math>
 
:Si può usare il [[teorema dei residui]] notando che la funzione ha due poli semplici in <math> t = \pm i</math>, ottenendo per <math> y = -i</math>:
 
:<math>\hat u (\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{t \rightarrow -i} (-2\pi i)e^{-i\omega t} \frac{1}{2t} = \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{-\omega} </math>
 
:mentre per <math> y = +i</math>:
 
:<math>\hat u (\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{t \rightarrow +i} (-2\pi i)e^{-i\omega t} \frac{1}{2t} = \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{\omega} </math>
 
:Unendo i due residui si ha infine:
 
:<math> \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}\Big(e^{\omega} + e^{-\omega}\Big) = \sqrt{2\pi} \cosh(\omega)</math>
 
== Note ==
Riga 296 ⟶ 62:
 
== Bibliografia ==
* {{Cita libro |url = http://books.google.it/books?id=kgNAAAAAcAAJ&pg=PA885&dq=capaccio+santafede&hl=it&ei=1TSiTLXELoGROLbj7OYE&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CEoQ6AEwBw#v=onepage&q&f=false |autore = Giulio Cesare Capaccio |titolo = Il forastiero |città = Napoli |editore = |anno = 1634 |p = 859 |accesso = 17 dicembre 2015}}
*{{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin| lingua= en}}
* {{Cita libro |autore = Niccolò Morelli di Gregorio |autore2 = Pasquale Panvini |titolo = Biografia degli uomini illustri del regno di Napoli, ornata de loro rispettivi ritratti |città = Napoli |editore = |anno = 1820 |accesso = 17 dicembre 2015 |url = http://books.google.it/books?id=Z1oq-b8kNioC&pg=PT263&dq=santafede+%22severino%22+medici&hl=it&ei=hUqbTIKeONO44AbExfQ8&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEgQ6AEwBg#v=onepage&q=santafede%20%22severino%22%20medici&f=false}}
*{{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}
* {{Cita libro |autore = Giovanni Battista Gennaro Grossi |titolo = Le belle arti |città = Napoli |editore = Tipografia del giornale enciclopedico |anno = 1820 |pp = 91-92 |accesso = 17 dicembre 2015 |url = http://books.google.it/books?id=qxsTAAAAQAAJ&dq=belisario%20corenzio&pg=RA1-PA91#v=onepage&q=santafede&f=false}}
* {{Cita libro |autore = Adolfo Venturi |titolo = Storia dell’arte italiana. La pittura del Cinquecento |volume = vol. IX, parte quinta |città = Milano |editore = |anno = 1932 |pp = 746-748 |sbn = IT\ICCU\RMS\0186380}}
* {{Cita libro |autore = Giovanni Previtali |titolo = La pittura del Cinquecento a Napoli e nel vicereame |città = Torino |editore = Einaudi |anno = 1978 |p = 120 |sbn = IT\ICCU\RAV\0079351}}
* Concetta Restaino, ''La giovinezza di Fabrizio Santafede'', in «Prospettiva», 1989-1990, 57-60, ''Scritti in ricordo di Giovanni Previtali'', vol. II, pp.&nbsp;95–96.
* {{Cita libro |autore = Pierluigi Leone De Castris |titolo = Pittura del Cinquecento a Napoli (1573-1606) |volume = 3 (''L’ultima maniera'') |città = Napoli |editore = Electa |annooriginale = 1991 |anno = 2001 |p = 262 |isbn = 88-510-0017-4 |sbn = IT\ICCU\NAP\0014086}}
* {{Cita libro |autore = Francesco Abbate |titolo = Storia dell’arte nell’Italia meridionale |volume = 3 (''Il Cinquecento'') |città = Roma |editore = Donzelli |anno = 2001 |p = 233 |isbn = 88-7989-653-9}}
 
== VociAltri correlateprogetti ==
{{interprogetto|commons=Category:Fabrizio Santafede}}
* [[Analisi di Fourier]]
* [[Convoluzione]]
* [[Lemma di Riemann-Lebesgue]]
* [[Serie di Fourier]]
* [[Teorema di convoluzione]]
* [[Teorema di inversione di Fourier]]
* [[Teorema di Parseval]]
* [[Teorema di Plancherel]]
* [[Teorema di Wiener-Khinchin]]
* [[Trasformata di Fourier a tempo discreto]]
* [[Trasformata di Fourier veloce]]
* [[Trasformata discreta di Fourier]]
* [[Trasformata inversa di Fourier]]
* [[Trasformata di Laplace]]
* [[Trasformata di Steinmetz]]
 
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenticollegamenti esterni}}
* {{Treccani|fabrizio-santafede|Santaféde, Fabrizio|accesso=17 dicembre 2015}}
* {{SpringerEOM|titolo=Fourier transform|autore= P.I. Lizorkin}}
* {{Cita web |url = http://www.europeana.eu/portal/brief-doc.html?start=1&view=table&query=santafede |titolo = Scheda Santafede, Fabrizio |accesso = 17 dicembre 2015 |urlmorto = sì |urlarchivio = https://web.archive.org/web/20151030021924/http://www.europeana.eu/portal/brief-doc.html?start=1&view=table&query=santafede |dataarchivio = 30 ottobre 2015 }}
* {{en}}[http://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples] — A Matlab tutorial
* {{en}}[http://www.thefouriertransform.com The Fourier Transform Tutorial Site] (thefouriertransform.com)
* {{en}}[http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Fourier.htm Fourier Series Applet] (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
* {{en}}[http://www.dspdimension.com/fftlab/ Stephan Bernsee's FFTlab] (Java Applet)
* {{cita web|http://www.academicearth.org/courses/the-fourier-transform-and-its-applications|Stanford Video Course on the Fourier Transform|lingua=en}}
* {{en}}[http://blogs.zynaptiq.com/bernsee/dft-a-pied/ The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day] previously found at The DSP Dimension
* {{cita web|http://www.fourier-series.com/f-transform/index.html|An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform|lingua=en}}
* {{cita web|https://pulse.embs.org/january-2016/highlights-in-the-history-of-the-fourier-transform/|Highlights in the History of the Fourier Transform|autore=Alejandro Dominguez|sito IEEE Pulse|data=2016|accesso=27 gennaio 2018|lingua=en}}
*[http://www.treccani.it/enciclopedia/trasformata-di-fourier_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/]
 
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|controlli automaticibiografie|matematicapittura}}
 
[[Categoria:TrasformateFabrizio Santafede| integrali]]
[[Categoria:Analisi di Fourier]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier"