Energia di Fermi e Louis di Galles: differenze tra le pagine

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{{Aristocratico

{{nota disambigua|altri significati|[[Fermi (disambigua)]]}}

|nome = Louis

|immagine =

|legenda =

|stemma =

|titolo = [[Principe del Regno Unito]]

|periodo =

|investitura =

|predecessore =

|successore =

|nome completo = ''Louis Arthur Charles''<ref>Come tutti membri della famiglia reale che godono del trattamento di altezza reale, Louis formalmente non ha un cognome; nel caso in cui ne serva uno, questo può essere "[[Duca di Cambridge|Cambridge]]", "[[Mountbatten-Windsor]]", oppure "Windsor".</ref>

|trattamento = [[Altezza reale]]

|altrititoli =

|data di nascita = {{Calcola età|2018|04|23}}

|dinastia = [[Casa reale di Windsor|Windsor]]

|padre = [[William, duca di Cambridge]]

|madre = [[Catherine Middleton|Catherine, duchessa di Cambridge]]

|religione = [[Anglicana]]

}}

{{Famiglia reale del Regno Unito e degli altri Reami del Commonwealth}}

{{Bio

|Nome = Louis di Cambridge

|Cognome =

|PreData = nome completo: ''Louis Arthur Charles Mountbatten-Windsor''

|Sesso = M

|LuogoNascita = Londra

|GiornoMeseNascita = 23 aprile

|AnnoNascita = 2018

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|Epoca = 2000

|Attività = principe

|Nazionalità = britannico

|Categorie = no

|PostNazionalità = , membro della [[famiglia reale britannica|famiglia reale]], terzogenito di [[William, duca di Cambridge]], e [[Catherine Middleton|Catherine, duchessa di Cambridge]]

}}

È quinto nella [[Linea di successione al trono britannico|linea di successione]] alla sua bisnonna, la regina [[Elisabetta II del Regno Unito|Elisabetta II]], dopo suo [[Carlo, principe di Galles|nonno paterno]], suo padre, suo fratello [[George di Cambridge|George]] e sua sorella [[Charlotte di Cambridge|Charlotte]].

In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], l''''energia di Fermi''' è l'energia del più alto [[stato quantico|livello]] occupato in un sistema di [[fermione|fermioni]] alla temperatura dello [[zero assoluto]]. Il suo nome deriva dal fisico italiano [[Enrico Fermi]].

== Biografia ==

Il termine "energia di Fermi" viene anche usato facendo riferimento al concetto di '''livello di Fermi''', diffuso nella fisica del [[Semiconduttore|semiconduttori]].<ref>Si veda ad esempio: [http://books.google.com/books?id=n0rf9_2ckeYC&pg=PA49 ''Electronics (fundamentals And Applications)''] diD. Chattopadhyay, [http://books.google.com/books?id=lmg13dHPKg8C&pg=PA113 ''Semiconductor Physics and Applications''] di Balkanski e Wallis.</ref> L'energia di Fermi ed il [[potenziale elettrochimico]] coincidono allo zero assoluto,<ref name=Bube92>{{Cita|Bube|p. 92}}</ref> ma differiscono a temperature maggiori.

===Annuncio e nascita===

== Introduzione ==

[[Kensington Palace]] ha annunciato il 4 settembre [[2017]] che il [[William, duca di Cambridge|Duca]] e la [[Catherine Middleton|Duchessa di Cambridge]] erano in attesa del loro terzo bambino.<ref>{{Cita web|url=https://www.bbc.co.uk/news/uk-41148027|titolo=Duchess of Cambridge expecting third child|sito=BBC News|data=4 settembre 2017|lingua=en|accesso=23 aprile 2018}}</ref>

Il principe Louis è nato il 23 aprile [[2018]] alle 11:01 (ora inglese) nell'ospedale St. Mary's di [[Paddington]], dove nacquero precedentemente anche i fratelli [[George di Cambridge|George]] e [[Charlotte di Cambridge|Charlotte]].<ref name=":0">{{Cita news|lingua=en|autore=|url=https://www.royal.uk/prince-louis|titolo=Prince Louis|pubblicazione=The Royal Family|data=2018-04-26|accesso=2018-06-30|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20180528080418/https://www.royal.uk/prince-louis|dataarchivio=28 maggio 2018|urlmorto=sì}}</ref><ref>{{Cita news|autore=Enrico Franceschini|url=http://www.repubblica.it/esteri/2018/04/23/news/kate_moglie_principe_william_terzo_figlio-194591680/|titolo=Regno Unito, è nato il terzo figlio di William e Kate: è un maschio|pubblicazione=Repubblica.it|data=2018-04-23|accesso=2018-06-30}}</ref><ref>{{Cita news|nome=Luigi Ippolito|cognome=Londra|autore=|url=https://www.corriere.it/esteri/18_aprile_23/nato-terzo-royal-baby-figlio-kate-middleton-william-maschio-0525762c-46ee-11e8-a25d-1013070b91d4.shtml|titolo=È nato il terzo Royal baby: il figlio di Kate Middleton e William è un maschio|pubblicazione=Corriere della Sera|data=23 aprile 2018|accesso=2018-06-30}}</ref> Il neonato è stato mostrato al pubblico per la prima volta fuori dall'ospedale con i suoi genitori, circa 7 ore dopo la sua nascita.<ref>{{Cita news|autore=|url=https://gossip.fanpage.it/kate-middleton-solo-7-ore-in-ospedale-dopo-il-parto-in-gran-bretagna-e-quasi-una-prassi/|titolo=Kate Middleton solo 7 ore in ospedale dopo il parto, in Gran Bretagna è quasi una prassi|pubblicazione=Gossip Fanpage|data=24 aprile 2018|accesso=2018-07-09}}</ref>

===Contesto===

Il 27 aprile 2018 il Duca e la Duchessa di Cambridge hanno annunciato che il nome del loro terzo figlio sarà Louis Arthur Charles.<ref>{{Cita news|autore=|url=http://www.repubblica.it/esteri/2018/04/27/news/nome_royal_baby-194921997/|titolo=Gb, Louis Arthur Charles: ecco il nome del terzo royal baby|pubblicazione=Repubblica.it|data=2018-04-27|accesso=2018-06-30}}</ref><ref>{{Cita news|autore=Elisabetta Esposito|url=http://www.ilgiornale.it/news/spettacoli/kate-middleton-e-royal-baby-suo-nome-louis-1520136.html|titolo=Kate Middleton e il Royal Baby: il suo nome è Louis|pubblicazione=ilGiornale.it|data=27 aprile 2018|accesso=2018-06-30}}</ref> Come già per il quarto nome del padre (William Arthur Philip Louis), e il terzo del fratello maggiore (George Alexander Louis), il nome del principe Louis è da pronunciarsi /ˈluːi/ senza la "s".<ref>{{Cita news|lingua=en|autore=|url=https://www.bbc.co.uk/news/uk-43922335|titolo=Royal baby named Prince Louis|pubblicazione=BBC News|data=2018-04-27|accesso=2018-07-09}}</ref>

In [[meccanica quantistica]], una classe di particelle indicate con il nome di [[fermione|fermioni]] (alla quale appartengono ad esempio, l'[[elettrone]], il [[protone]] ed il [[neutrone]]) obbedisce al [[principio di esclusione di Pauli]]. Questo principio afferma che due particelle non possono occupare lo stesso [[stato quantico]]. Ogni stato di un sistema è caratterizzato dai valori dell'insieme dei [[numero quantico|numeri quantici]] caratteristici del sistema. In un sistema che contiene molti fermioni (come gli elettroni in un metallo), ciascun fermione ha un diverso insieme di valori dei numeri quantici.

È stato battezzato il 9 luglio 2018 nella cappella reale del [[St. James's Palace]] di Londra, dall’arcivescovo di Canterbury [[Justin Welby]].<ref name=":1">{{Cita news|autore=Antonella Catena|url=https://www.amica.it/2018/07/09/kate-middleton-e-william-tutto-cio-che-bisogna-sapere-sul-battesimo-di-louis/|titolo=Il battesimo di Louis di Cambridge: tutto quello che dobbiamo sapere|pubblicazione=Amica|data=09 luglio 2018|accesso=2018-07-09}}</ref> I padrini e le madrine, nessuno dei quali appartenente alla famiglia reale, sono stati: Lucy Middleton, cugina di Kate; Lady Laura Meade, moglie di un amico d'infanzia di William; Hannah Gillingham, compagna di studi di Kate; Nicholas Van Cutsem, amico stretto di William; Guy Pelly, amico di famiglia, e Harry Aubrey-Fletcher, compagno di studi di William.<ref>{{Cita news|autore=|url=https://www.tpi.it/2018/07/09/battesimo-principe-louis-testimoni/|titolo=Chi sono i padrini di battesimo del principe Louis e perché sono stati scelti|pubblicazione=TPI|data=2018-07-09|accesso=2018-07-09}}</ref><ref name=":1" />

Per calcolare l'energia minima di un sistema di fermioni, è quindi possibile raggruppare in insiemi gli stati che hanno la medesima energia, e ordinare poi questi insiemi in ordine di energia crescente.

Partendo dal sistema vuoto (senza nessun fermione), possiamo dunque aggiungere via via un fermione dopo l'altro, occupando quindi in ordine tutti i livelli di energia più bassa. Quando tutte le particelle sono state così inserite, l''''energia di Fermi''' coincide con l'energia dello stato quantico più alto occupato.

==Titoli e posizione costituzionale==

Ciò ha come conseguenza che, anche se portiamo un metallo allo [[zero assoluto]], gli elettroni all'interno del metallo sono ancora in movimento: il più veloce di essi, infatti, si muoverà con una velocità tale che la sua [[energia cinetica]] corrisponda all'energia di Fermi. Tale velocità è chiamata '''velocità di Fermi'''.

[[File:Hyde Park gun salute 24 April 2018 03.jpg|thumb|Il tradizionale sparo dei cannoni a [[Hyde Park]], [[Londra]], per la nascita del principe Louis]]

Il principe Louis è, per nascita, un [[principe del Regno Unito]] con il diritto al trattamento di ''[[altezza reale]]'' tramite [[lettere patenti]] emanate dalla regina Elisabetta II il 31 dicembre 2012, che conferiva titoli e trattamento a tutti i figli del figlio maggiore del principe di Galles. Il suo titolo e trattamento ufficiale è ''sua altezza reale'' principe Louis di Cambridge.<ref name=":0" />

Il principe è quinto nella [[Linea di successione al trono britannico|linea di successione]] dopo suo nonno, suo padre, suo fratello maggiore e sua sorella maggiore.

[[File:Semi-conducteur 01.png|thumb|300px|[[Struttura elettronica a bande]] nel caso di metalli (a), isolanti (b) e semiconduttori (c). È indicata la posizione del livello di Fermi ''E_f''.]]

L'energia di Fermi è uno dei concetti fondamentali della [[fisica della materia condensata]]: viene usato, per esempio, per descrivere [[metallo|metalli]], [[Isolante|isolanti]] e [[semiconduttore|semiconduttori]]. È inoltre importante nella fisica dei [[superconduttore|superconduttori]], in quella dei liquidi quantici [[superfluido|superfluidi]] (come lo [[Elio|³He]] a basse temperature), nella [[fisica nucleare]] e per comprendere la stabilità delle [[nana bianca|nane bianche]] nei confronti del [[collasso gravitazionale]].

* dal 23 aprile [[2018]] - ''oggi'': Sua Altezza Reale Principe Louis di Cambridge.

===Approfondimenti sul contesto===

L'energia di Fermi ''E_F'' di un sistema di [[fermione|fermioni]] non interagenti è pari all'aumento di [[energia]] dello [[stato fondamentale]] quando una sola particella viene aggiunta nel sistema. Parimenti, può essere vista come l'energia massima di un singolo fermione nel livello fondamentale. Il [[potenziale chimico]] allo [[zero assoluto]] coincide con l'energia di Fermi.

== Albero genealogico ==

==Il caso della buca di potenziale in una dimensione ==

<div align="center">

La [[buca di potenziale]] fornisce un modello per rappresentare una scatola unidimensionale: si tratta di un modello tipico della [[meccanica quantistica]] per il quale si conoscono le soluzioni relative al caso della particella singola.

{| class="wikitable"

Indicando con ''n'' il numero quantico che distingue i livelli del sistema, l'energia è data da:

|-

:<math>E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2 \,</math>.

|-

Supponiamo ora che invece di una sola particella, siano presenti nella buca N fermioni (di [[spin]] semi-intero). Per il [[principio di esclusione di Pauli]] solo due particelle potranno avere la medesima energia; pertanto, solo due particelle potranno avere l'energia:

| rowspan="16" align="center"| '''Louis di Cambridge'''

:<math>E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math>

| rowspan="8" align="center"| '''Padre:'''<br />[[William, duca di Cambridge]]

altre due l'energia:

| rowspan="4" align="center"| '''Nonno paterno:'''<br />[[Carlo, principe di Galles]]

:<math>E_2=4 E_1 \ </math>

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonno paterno:'''<br />[[Filippo, duca di Edimburgo]]

e così via.

| align="center"| '''Trisnonno paterno:'''<br />[[Andrea di Grecia]]

Si noti, infatti, che trattandosi di fermioni, sono possibili i due stati di spin +1/2 (spin su) e spin -1/2 (spin giù) e pertanto è possibile avere due particelle con la medesima energia che però, in ottemperanza al Principio di Pauli, non hanno ''tutti'' i numeri quantici identici.

|-

| align="center"| '''Trisnonna paterna:'''<br />[[Alice di Battenberg]]

|-

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonna paterna:'''<br />[[Elisabetta II del Regno Unito]]

| align="center"| '''Trisnonno paterno:'''<br />[[Giorgio VI del Regno Unito]]

|-

| align="center"| '''Trisnonna paterna:'''<br />[[Elizabeth Bowes-Lyon]]

|-

| rowspan="4" align="center"| '''Nonna paterna:'''<br />[[Diana Spencer|Lady Diana Spencer]]

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonno paterno:'''<br />[[Edward Spencer, VIII conte Spencer]]

| align="center"| '''Trisnonno paterno:'''<br />[[Albert Spencer, VII conte Spencer]]

|-

| align="center"| '''Trisnonna paterna:'''<br />[[Cynthia Hamilton|Lady Cynthia Hamilton]]

|-

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonna paterna:'''<br />[[Frances Shand Kydd|Hon. Frances Ruth Roche]]

| align="center"| '''Trisnonno paterno:'''<br />[[Maurice Roche, IV barone Fermoy]]

|-

| align="center"| '''Trisnonna paterna:'''<br />[[Ruth Roche, baronessa Fermoy|Ruth Sylvia Gill]]

|-

| rowspan="8" align="center"| '''Madre:'''<br />[[Catherine Middleton]]

| rowspan="4" align="center"| '''Nonno materno:'''<br />Michael Francis Middleton

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonno materno:'''<br />Peter Francis Middleton

| align="center"| '''Trisnonno materno:'''<br />Richard Noel Middleton

|-

| align="center"| '''Trisnonna materna:'''<br />Olive Christiana Lupton

|-

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonna materna:'''<br />Valerie Glassborow

| align="center"| '''Trisnonno materno:'''<br />Frederick George Glassborow

|-

| align="center"| '''Trisnonna materna:'''<br />Constance Robison

|-

| rowspan="4" align="center"| '''Nonna materna:'''<br />Carole Elizabeth Goldsmith

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonno materno:'''<br />Ronald John James Goldsmith

| align="center"| '''Trisnonno materno:'''<br />Stephen Charles Goldsmith

|-

| align="center"| '''Trisnonna materna:'''<br />Edith Eliza Chandler

|-

| rowspan="2" align="center"| '''Bisnonna materna:'''<br />Dorothy Harrison

| align="center"| '''Trisnonno materno:'''<br />Thomas Harrison

|-

| align="center"| '''Trisnonna materna:'''<br />Elizabeth Mary Temple

|}

</div>

== Linea genealogica ascendente maschile ==

Se ora consideriamo l'energia totale del sistema, è evidente che la situazione in cui l'energia totale è minima (cioè lo stato fondamentale) è quella in cui tutti i livelli fino al N/2-esimo sono occupati (e tutti quelli di energia maggiore vuoti). L'energia di Fermi di tale stato fondamentale è dunque:

* [[Elimar I, conte di Oldenburg|Adelmiro I, conte in Lerigau]] (1088-1108), +1108; sposò Richeza N.

:<math>E_f=E_{N/2}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} (N/2)^2 \,</math>.

* [[Elimar II, conte di Oldenburg|Adelmiro II, conte in Lerigau]], + ca 1142, sposò Eilika di Rietberg

* Conte Cristiano I di Oldenburg (1143-67), +1167; sposò Cunegonda N.

* Conte Maurizio I di Oldenburg (1167-1211), +ca 1218; sposò contessa Salome di Wickerode

* Conte Cristiano II di Oldenburg (1211-51); sposò Agnese di Altena

* Conte Giovanni I di Oldenburg (1251-72); sposò Richeza di Hoya

* Conte Cristiano III di Oldenburg (1272-78), +1285; sposò 1m: Edvige di Oldenburg; 2m: Judith di Bentheim

* Conte Giovanni II di Oldenburg (1278-1305), +1314/15; sposò 1m: Elisabetta di Braunschweig-Lüneburg (+1294/98); 2m: Edvige di Diepholz

* Conte Corrado I di Oldenburg (1344-67/68), +1367/68; sposò Ingeborg di Holstein

* Conte [[Cristiano V di Oldenburg]] (1398-1423), +1423; sposò Agnese di Honstein

* [[Dietrich di Oldenburg|Dietrich conte di Oldenburg]] (*ca 1398-1444) conte (1423-40/44); sposò 1m: Adelaide di Oldenburg-Delmenhorst (+ca 1404); 2m: 1423 Edvige di Schleswig e Holstein (ca. 1398-1436);

* Cristiano conte di Oldenburg (1448-81), divenne re [[Cristiano I di Danimarca]], sposò [[Dorotea di Hohenzollern (1430-1495)|Dorotea di Brandenburgo]] (1430-1495);

* [[Federico I di Danimarca]] re di Danimarca e Norvegia (1523-33), sposò 1m: Anna di Brandeburgo (1487-1514); 2m: Sofia di Pomerania (1498-1568)

* [[Cristiano III di Danimarca]] (1503-1559) re di Danimarca e Norvegia (1534-59), sposò Dorotea di Saxe-Lauenburg (1511-1571)

* [[Giovanni di Schleswig-Holstein-Sonderburg|Giovanni]] (1545-1622), Principe di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Plön (1564-1622); sposò 1m: Elisabetta di Braunschweig-Grubenhagen (1550-1586); 2m: Agnese Edvige di Anhalt (1573-1616);

* [[Alessandro di Schleswig-Holstein-Sonderburg|Alessandro]] (1573-1627), Principe di Schleswig-Holstein-Sonderburg (1622-27); sposò Dorotea di Schwarzburg-Sondershausen (1579-1639)

* [[Augusto Filippo di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Beck]], sposò Maria Sibilla di Nassau-Saarbrücken

* Duca [[Federico Luigi di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Beck]] (1653–1728), sposò Luisa Carlotta di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Augustenburg

* Duca [[Pietro Augusto di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Beck]] (1697–1775), sposò principessa Sofia d'Assia-Philippsthal

* Duca [[Carlo Antonio di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Beck]] (1727–1759), sposò contessa Federica di Dohna-Schlobitten

* [[Federico Carlo di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Beck|Federico Carlo Luigi, Duca di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Beck]] (1757–1816), sposò [[Federica di Schlieben|Contessa Federica di Schlieben]]

* [[Federico Guglielmo di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg|Federico Guglielmo, Duca di Schleswig-Holstein-Sonderburg-Glücksburg]] (1785-1831), sposò [[Luisa Carolina d'Assia-Kassel]]

* [[Cristiano IX di Danimarca]] (1818–1906), sposò [[Luisa d'Assia-Kassel]]

* Re [[Giorgio I di Grecia]] (1845–1913), sposò [[Ol'ga Konstantinovna Romanova]]

* [[Andrea di Grecia|Principe Andrea di Grecia e Danimarca]] (1882–1944), sposò [[Alice di Battenberg]]

* [[Filippo di Edimburgo|Principe Filippo, duca di Edimburgo]] (* 1921), sposato con la regina [[Elisabetta II del Regno Unito]], nata nel [[1926]], prima figlia di re Giorgio VI e attuale sovrano del [[Regno Unito]]

* [[Carlo, principe di Galles]], nato nel [[1948]], primo figlio della regina Elisabetta II, sposò [[Diana Spencer|Lady Diana Spencer]]

* [[William, duca di Cambridge]], nato nel [[1982]], primo figlio del principe Carlo, sposato con [[Catherine Middleton]]

* Louis di Cambridge, nato nel [[2018]], terzo figlio del principe William

== Il caso a 3 dimensioniNote ==

Il caso tridimensionale [[isotropia|isotropico]] è noto come '''sfera di fermi'''.

Si consideri una scatola tridimensionale cubica di lato ''L'' (si veda anche [[Buca_di_potenziale#Buca_di_potenziale_infinita|Buca di potenziale infinita]]), che si dimostra essere una ottima approssimazione per descrivere il comportamento degli elettroni in un metallo. Siano poi gli stati numerati da tre diversi numeri quantici n_x, n_y, and n_z.

Le energie della singola particella sono allora:

::<math>E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right) \,</math>

dove n_x, n_y, n_z sono interi positivi.

Ci sono evidentemente una pluralità di stati con la stessa energia; ad esempio <math>E_{1,0,0}=E_{0,1,0}=E_{0,0,1}</math>

Supponiamo di introdurre ora N fermioni di spin 1/2, non interagenti, nella nostra scatola. Per calcolare l'energia di Fermi consideriamo il caso di N elevato.

Se introduciamo il vettore:

:<math>\vec{n}=\{n_x,n_y,n_z\}</math>

allora, ogni stato quantico corrisponderà, nello spazio n-dimensionale, ad un punto con energia:

:<math>E_{\vec{n}} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} |\vec{n}|^2 \,</math>

Il numero di stati con energia minore di E_f è pari al numero di stati all'interno della sfera di raggio <math>|\vec{n}_f|</math>, ovviamente considerando solo quella regione dello spazio n-dimensionale dove n_x, n_y, n_z sono tutti positivi.

Nello stato fondamentale questo numero è uguale al numero di fermioni presenti nel sistema.

:<math>N =2\times\frac{1}{8}\times\frac{4}{3} \pi n_f^3 \,</math>

[[Immagine:Fermi energy momentum.svg|thumb|I fermioni liberi che occupano lo stato di minor energia danno luogo ad una sfera nello [[Spazio (fisica)|spazio]] del [[quantità di moto|momento]]. La superficie di questa sfera è detta [[superficie di Fermi]].]]

dove il fattore 2 è, ancora una volta, dovuto al fatto che ci sono due diversi stati di spin, mentre il fattore 1/8 deriva dal fatto che solo un ottavo della sfera cade nella regione dove tutti gli n sono positivi.

Si trova in questo modo:

:<math>n_f=\left(\frac{3 N}{\pi}\right)^{1/3} </math>

cosicché l'energia di Fermi è data da:

:<math>E_f =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} n_f^2 </math>

::<math> = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{2/3}</math>

Ne deriva la seguente relazione tra l'energia di Fermi e il numero di particelle per unità di volume (si noti che L² è stato rimpiazzato da V^2/3, essendo V il volume):

:<math>E_f = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{6 \pi^2 N}{g_s V} \right)^{2/3} \,</math>

L'energia totale di un sfera di Fermi con <math>N_0</math> fermioni è così data da:

:<math>E = {\int_0}^{N_0} E_f(N) dN = {3\over 5} N_0 E_f</math>

== Energie di Fermi tipiche ==

=== Nane bianche===

Le stelle conosciute con il nome di [[nana bianca|nane bianche]] hanno massa comparabile con quella del nostro [[Sole]], ma un raggio 100 volte minore. Le alte densità così raggiunte fanno sì che gli elettroni non siano più legati ai singoli nuclei, ma formino invece un [[Elettrone degenerato|gas elettronico degenerato]]. La densità elettronica in una nana bianca raggiunge l'ordine di 10³⁶ elettroni/m³. Questo significa che l'energia di Fermi è:

::<math>E_f = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left( \frac{3 \pi^2 (10^{36})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 3 \times 10^5 \ \mathrm{eV} \,</math>

=== Nuclei ===

Un altro tipico esempio relativo all'energia di Fermi è quello delle particelle presenti in un nucleo atomico. Il [[Nucleo_atomico#Il_raggio_del_nucleo|raggio del nucleo]] è approssimativamente

::<math>R = \left(1.25 \times 10^{-15} \mathrm{m} \right) \times A^{1/3}</math>

dove ''A'' è il numero di [[nucleone|nucleoni]].

La densità di nucleoni in un nucleo è dunque:

::<math>n = \frac{A}{\begin{matrix} \frac{4}{3} \end{matrix} \pi R^3 } \approx 1.2 \times 10^{44} \ \mathrm{m}^{-3} </math>

Poiché l'energia di Fermi si applica solo a fermioni tutti dello stesso tipo, è necessario dividere questa densità in due: ciò è possibile poiché la presenza di [[neutrone|neutroni]] non influenza la densità di [[protone|protoni]] e viceversa.

In questo modo l'energia di Fermi di un nucleo è:

::<math>E_f = \frac{\hbar^2}{2m_p} \left( \frac{3 \pi^2 (6 \times 10^{43})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 30 \times 10^6 \ \mathrm{eV} = 30 \ \mathrm{MeV} </math>

Poiché il [[Nucleo_atomico#Il_raggio_del_nucleo|raggio del nucleo]] può variare intorno al valore sopra riportato, il valore tipico dell'energia di Fermi generalmente accettato è di 38 [[Elettronvolt|Mev]].

== Il livello di Fermi ==

Il '''livello di Fermi''' è il livello occupato di maggior energia allo zero assoluto: in altri termini, tutti i livelli energetici fino al livello di Fermi sono occupati da elettroni.<ref name=Bube92/>

Poiché i [[fermione|fermioni]] non possono coesistere in stati energetici identici (si veda il [[Principio di esclusione di Pauli|principio di esclusione]]), allo zero assoluto gli elettroni sono catturati dal livello energetico più basso disponibile creando il "'''mare di Fermi'''" di stati energetici elettronici .<ref>[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/fermi.html] ''Fermi level'' su hyperphysics.phy-astr.gsu.edu</ref> In queste condizioni, l'energia media di un elettrone è data da:

:<math>E_{av} = \frac{3}{5} E_f </math>

dove <math> E_f </math> è l'energia di Fermi.

Il '''momento di Fermi''' e la '''velocità di Fermi''' sono rispettivamente l'[[quantità di moto|impulso]] e la velocità dei [[fermione|fermioni]] sulla [[superficie di Fermi]], che si calcolano dall'energia con le usuali espressioni:

::<math>p_F = \sqrt{2 m_e E_f} </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; e &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> V_f = \sqrt{\frac{2 E_f}{m_e}} </math>

dove <math> m_e </math> è la massa dell'elettrone.

{{chiarire|L'impulso di Fermi è normalmente utilizzato nel caso delle [[relazione di dispersione|relazioni di dispersione]] tra l'energia e l'impulso che non dipendono dalla direzione. Nel caso più generale è invece necessario ricorrere direttamente all'energia di Fermi.}}

Sotto la cosiddetta '''temperatura di Fermi''' le sostanze mettono in evidenza via via sempre più gli effetti quantistici del raffreddamento. Tale temperatura è definita da:

::<math> T_f = \frac{E_f}{k} </math>

dove ''k'' è la [[costante di Boltzmann]].

== Gas di elettroni liberi ==

In un [[gas di Fermi|gas di elettroni liberi]] (le versione quantistica di un [[gas ideale]] di fermioni), gli stati quantistici possono essere distinti in base al loro [[quantità di moto|impulso]]. Ciò è analogo a quanto avviene nei sistemi periodici, come nel caso degli elettroni all'interno della una struttura cristallina di un [[metallo]], introducendo il concetto di "quasi-momento" o "momento cristallino" (si veda [[Onda di Bloch]]).

In entrambi i casi, gli stati corrispondenti all'energia di Fermi giacciono, nello spazio dell'impulso, su una superficie detta [[superficie di Fermi]]. Per il gas di elettroni liberi, la superficie di Fermi coincide con la superficie di una sfera mentre, per sistemi periodici, è solitamente una superficie più complessa (vedi [[Zona di Brillouin|Zone di Brillouin]]). Il volume racchiuso dalla superficie di Fermi definisce il numero di elettroni del sistema, mentre la topologia del volume è direttamente collegata alle proprietà di trasporto del metallo, come ad esempio la [[conduttività elettrica]]. Lo studio della superficie di Fermi è talora chiamata '''fermiologia'''. Le superfici di Fermi della maggior parte dei metalli sono state ampiamente studiate sia dal punto di vista teorico che sperimentale.

L'energia di Fermi di un gas di elettroni liberi è collegata al [[potenziale chimico]] dalla relazione

:<math>\mu = E_F \left[ 1- \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{kT}{E_F}\right) ^2 - \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{kT}{E_F}\right)^4 + \cdots \right] </math>

dove ''E''_F è l'energia di Fermi, ''k'' è la [[costante di Boltzmann]] e''T'' è la [[temperatura]].

Di conseguenza, il potenziale chimico è (circa) uguale all'energia di Fermi a temperature molto minori della '''temperatura di Fermi''' ''E_F''/''k''. Valori tipici della temperatura di Fermi per i metalli sono dell'ordine di 10⁵ [[kelvin|K]]. Di conseguenza, alla temperatura ambiente (300 K) l'energia di Fermi ed il potenziale chimico sono sostanzialmente equivalenti. Questa equivalenza è importante anche perché il potenziale chimico (e non l'energia di Fermi) è utilizzato della [[statistica di Fermi-Dirac]].

== Note ==

<references/>

== BibliografiaVoci correlate ==

* [[Famiglia reale britannica]]

*{{en}} Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, ''Solid State Physics'', Harcourt, Orlando (USA), 1976.

* [[Linea di successione al trono britannico]]

*{{en}} Giuseppe Grosso, Giuseppe Pastori Parravicini, ''Solid State Physics'', Cambridge (UK).

*{{en}} Kroemer, Herbert; Kittel, Charles, ''Thermal Physics (2nd ed.)'', W. H. Freeman Company (1980), ISBN 0-7167-1088-9

* {{cita libro | cognome= Bube | nome= Richard H. | titolo= Electrons in solids: an introductory survey | editore= Academic Press |ed= 3 | anno= 1992 |lingua= inglese |id= ISBN 0121385531 |cid= Bube |url= http://books.google.it/books?id=u0ZJuFjPOYUC&source=gbs_navlinks_s}}

==Voci correlate==

*[[Statistica di Fermi-Dirac]]

*[[Gas di Fermi]]

*[[Legame metallico]]

*[[Potenziale chimico]]

*[[Semiconduttore]]

== Collegamenti esterni ==

* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tables/fermi.html Tavola delle energie, velocità e temperature di Fermi per vari elementi]

* [http://physicsweb.org/articles/world/15/4/7 Discussione sul gas di Fermi e sulla temperatura di Fermi]

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