Teorema ergodico e Wikipedia:Pagine da cancellare/Conta/2019 maggio 15: differenze tra le pagine

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In [[matematica]], una [[Trasformazione (matematica)|trasformazione]] ''T'' che preserva la misura su uno [[Teoria della probabilità|spazio di probabilità]] è chiamata ergodica se i soli [[insieme misurabile|insiemi misurabili]] invarianti sotto ''T'' hanno misura 0 oppure 1. Un termine precedentemente usato per questa proprietà è stato ''metricamente transitivo''. La '''teoria ergodica''', cioè lo studio delle trasformazioni ergodiche, deriva da un tentativo di dimostrare le [[teoria ergodica|ipotesi ergodiche]] della [[fisica statistica]]. Gran parte del lavoro chiamato oggi [[teoria del caos]] fu inizialmente prodotto da matematici e pubblicato con il nome di "teoria ergodica", poiché il termine "teoria del caos" fu introdotto solo alla metà del ventesimo secolo.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Start|01:16, 19 mag 2019 (CEST)}}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 1 |voce = L'amica sbagliata |turno = |tipo = votazione |data = 2019 maggio 15 |multipla = |argomenti = letteratura |temperatura = 11 }}

== Teorema ergodico ==

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 2 |voce = Joyce Summers |turno = |tipo = consensuale prorogata |data = 2019 maggio 15 |multipla = |argomenti = Televisione |temperatura = 28 }}

Sia <math>T:X\to X</math> una trasformazione che conserva la misura su uno [[spazio misurabile]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>. Si può allora considerare la "media temporale" di una funzione sufficientemente regolare ''f'' (più precisamente, ''f'' deve essere per esempio [[Funzione localmente integrabile|''L''¹-integrabile]] rispetto alla misura <math>\mu</math>, <math>f\in L^1(\mu)</math>). La "media temporale" è definita come la media (se esiste) sulle iterazioni di ''T'' partendo da qualche punto iniziale ''x''.

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 3 |voce = Chiesa di Santa Maria Addolorata (Roma) |turno = |tipo = consensuale prorogata |data = 2019 maggio 15 |multipla = |argomenti = chiese |temperatura = 25 }}

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: <math> \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\;

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 5 |voce = Giorgio Federico di Prussia |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 maggio 15 |multipla = |argomenti = nobiltà |temperatura = 100 }}

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 6 |voce = Yassin Fortune |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 maggio 15 |multipla = |argomenti = calcio |temperatura = 56 }}

\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k(x)\right) </math>

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Voce|i = 7 |voce = Biblioteca del Sunnydale High |turno = |tipo = semplificata |data = 2019 maggio 15 |multipla = |argomenti = Televisione |temperatura = 24 }}

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Consideriamo anche la "media spaziale" o "media sullo spazio delle fasi" di ''f'', definita come

{{Conteggio cancellazioni/In corso/Stop}}

: <math> \bar f = \frac{1}{\mu(X)}\int f\,d\mu </math>

dove μ è la misura di probabilità.

In generale la media temporale e la media spaziale sono diverse.

Ma se la trasformazione è ergodica e la misura è invariante, allora la media temporale è uguale alla media spaziale quasi ovunque. Questo è il celebre teorema ergodico, in una forma astratta dovuta a [[George Birkhoff|George David Birkhoff]]. (In realtà, gli scritti di Birkhoff considerano non il caso astratto generale ma solo il caso dei sistemi dinamici derivanti da equazioni differenziali di molteplicità regolare.) Il [[teorema di equidistribuzione]] è un caso speciale del teorema ergodico, considerando in particolare distribuzioni di probabilità su un intervallo unitario.

Più precisamente, il '''teorema ergodico forte''', o '''puntuale''', afferma che esiste una

: <math>f^*\in L^1(\mu)</math>

tale che

: <math>f^*(x)=\hat{f}(x)</math>

per quasi tutti <math>x\in X</math>. Inoltre, <math>f^*</math> è ''T''-invariante, così che

: <math>f^* \circ T=f^*</math>

quasi ovunque.

La normalizzazione deve essere la stessa,

: <math>\int f^*\, d\mu = \int f\, d\mu.</math>

L'ultima relazione, combinata con la ''T''-invarianza di <math>f^*</math>, implica che, nel caso di trasformazioni ergodiche, <math>f^*</math> è costante quasi ovunque e così si ha che

: <math>\bar f = f^*</math>

quasi ovunque. Collegando la prima all'ultima eguaglianza, si ha che

: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right) = \frac{1}{\mu(X)}\int f\,d\mu </math>

per quasi ogni ''x''. Per una trasformazione ergodica, la media temporale uguaglia quasi certamente la media spaziale.

== Tempo di permanenza ==

Il tempo speso in un insieme misurabile ''A'' è detto '''tempo di permanenza'''. Un'immediata conseguenza del teorema ergodico è che la misura di ''A'' è uguale al tempo medio di permanenza.

: <math> \mu(A) = \int \chi_A\, d\mu

= \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \chi_A\left(T^k x\right) </math>

dove χ_''A'' è la funzione indice su ''A''.

I ''''tempi di visita''' di un insieme misurabile ''A'' siano definiti come l'insieme ''k''₁, ''k''₂, ''k''₃, ..., dei tempi ''k'' tali che ''T''^''k''(''x'') è in ''A'', ordinato in ordine crescente. Le differenze tra tempi di visita consecutivi

''R''_''i'' = ''k''_''i'' − ''k''_''i''−1 sono chiamate '''tempi di ritorno''' in ''A''. Un'altra conseguenza del teorema ergodico è che il tempo medio di ritorno in ''A'' è inversamente proporzionale alla misura di ''A'', assumendo che il punto iniziale ''x'' sia in ''A'', così che ''k''₀ = 0.

: <math> \frac{R_1 + \cdots + R_n}{n} \rightarrow \frac{1}{\mu(A)}

\quad\mbox{(quasi sicuramente)}</math>

(Vedi anche [[quasi sicuramente]].) cioè più piccolo è ''A'', più lungo è il tempo necessario per ritornarvi.

== Flussi ergodici su varietà ==

L'ergodicità di un [[flusso geodetico]] su una [[Geometria iperbolica dello spazio|varietà a curvatura costante negativa]] fu scoperta da [[Eberhard Hopf]] nel [[1939]], anche se casi speciali erano stati studiati prima, come per esempio, il [[Jacques Hadamard|biliardo di Hadamard]] (1898) e il [[biliardo di Artin]] (1924). La relazione tra i flussi geodetici e i sottogruppi a un parametro su SL(2,'''R''') fu stabilita da [[Sergei Fomin]] e [[Izrail' Moiseevič Gel'fand]] nel [[1952]]. L'ergodicità del flusso geodetico in uno spazio simmetrico fu trovata da [[F. I. Mautner]] nel [[1957]]. Un semplice criterio per l'ergodicità di un flusso omogeneo su uno spazio omogeneo di un [[Algebra di Lie|semi gruppo semplice di Lie]] fu dato da [[Calvin C. Moore|C. C. Moore]] nel [[1966]]. Molti dei teoremi e risultati di questa area di studi sono tipici della [[teoria della rigidità]].

{{chiarire|La voce [[Flusso di Anosov|flussi di Anosov]] fornisce un esempio|la frase rimanda a contenuti inesistenti}} di flusso ergodico su SL(2,'''R''') e più generalmente sulle [[superficie di Riemann]] a curvatura negativa. Molti degli sviluppi lì forniti si generalizzano al caso di varietà iperboliche a curvatura costante negativa, poiché queste possono essere viste come quoziente di un semplice [[Geometria iperbolica dello spazio|spazio iperbolico]] connesso rispetto a un [[Gruppo di Lie|reticolo in SO(n,1)]].

== Bibliografia ==

=== Bibliografia storica ===

* [[George David Birkhoff|G. D. Birkhoff]], ''Proof of the ergodic theorem'', (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, '''17''' pp 656-660.

* [[John von Neumann|J. von Neumann]], ''Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis'', (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, '''18''' pp 70-82.

* [[John von Neumann|J. von Neumann]], ''Physical Applications of the Ergodic Hypothesis'', (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, '''18''' pp 263-266.

* [[Eberhard Hopf|E. Hopf]], ''Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung'', (1939) Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. '''91''', p.261-304.

* [[Sergei Fomin|S. V. Fomin]] and [[Israel Gelfand|I. M. Gelfand]], ''Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature'', (1952) Uspehi Mat. Nauk '''7''' no. 1. p. 118-137.

* F. I. Mautner, ''Geodesic flows on symmetric Riemann spaces'', (1957) Ann. of Math. '''65''' p. 416-431.

* C. C. Moore, ''Ergodicity of flows on homogeneous spaces'', (1966) Amer. J. Math. '''88''', p.154-178.

=== Bibliografia moderna ===

* [[Vladimir Igorevich Arnol'd]] and André Avez, ''Ergodic Problems of Classical Mechanics''. New York: W.A. Benjamin. 1968.

* Leo Breiman, ''Probability''. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. ''(See Chapter 6.)''

* Peter Walters, ''An introduction to ergodic theory'', Springer, New York, 1982, ISBN 0-387-95152-0.

* {{Cita libro | autore=Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, ''eds.'' | titolo= Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces | editore= Oxford University Press | anno= 1991 | isbn= 0-19-853390-X }}

* ''A survey of topics in ergodic theory; with exercises.''

* Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, ''Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis'', (1993) appearing in ''Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference'', (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, ''eds.'', Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. ''(An extensive survey of the ergodic properties of generalizations of the equidistribution theorem of shift maps on the unit interval. Focuses on methods developed by Bourgain.)''

== Voci correlate ==

* [[Tempo medio di permanenza]]

* [[Teorema di ricorrenza]]

* [[Teoria ergodica]]

== Collegamenti esterni ==

* {{SpringerEOM|autore=D.V. Anosov|titolo=Ergodic theory}}

* {{PlanetMath|ergodictheorem|}}

* {{en}}[http://news.softpedia.com/news/What-is-ergodicity-15686.shtml What Is Ergodicity?] An intuitive description of the concept.

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria della probabilità]]

[[Categoria:Teoria ergodica]]

[[Categoria:Teoremi|Ergodico]]