De architectura e E=mc²: differenze tra le pagine
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[[File:Relativity4 Walk of Ideas Berlin.JPG|thumb|Sesta e ultima scultura della "Berliner Walk of Ideas", realizzata in occasione del [[Campionato mondiale di calcio 2006]] ([[Lustgarten]], di fronte al [[Altes Museum]], a [[Berlino]])]]
'''''E = mc<sup>2</sup>''''' è l'[[equazione]] che stabilisce la relazione tra l'[[energia]] e la [[massa (fisica)|massa]] di un [[sistema fisico]]. ''E'' indica l'[[Energia totale relativistica|energia totale]] di un corpo, ''m'' la sua [[massa relativistica]] e ''c'' la costante [[velocità della luce]] nel vuoto. Nel caso di un corpo in quiete, le grandezze ''E'' ed ''m'' si devono intendere come [[energia a riposo]] ''E<sub>0</sub>'' e [[massa a riposo]] ''m<sub>0</sub>''.
Venne enunciata, in una forma diversa (vedi Sezione ''L'articolo di Einstein sull'equivalenza massa-energia (1905)''), da [[Albert Einstein]] nel 1905 nell'ambito della [[relatività ristretta]], benché non compaia nel [[Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento|primo articolo sulla teoria]] del giugno di quell'anno, ma in un secondo del settembre intitolato "''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?''". <ref name="einstein">{{cita pubblicazione|cognome= Einstein |nome= A. |titolo= Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? |lingua= Tedesco |rivista= Annalen der Physik |volume= 18 |anno= 1905 |pp= 639-641}}</ref>
L'elemento rivoluzionario della formula risiede nel fatto che la massa, fino a quel momento ritenuta una [[grandezza fisica]] indipendente, viene messa in relazione con l'energia tramite l'elevatissimo rapporto numerico rappresentato dalla costante della velocità della luce nel vuoto al quadrato ('''''equivalenza massa-energia''''').
È probabilmente la più famosa formula della fisica, grazie all'intreccio di novità, semplicità ed eleganza.
== Significato dell'equazione ==
Fino al 1905 si riteneva che massa ed energia fossero due realtà fisiche molto diverse, ma [[Einstein]] in quell'anno (passato alla storia come il suo "annus mirabilis") comprese che queste due [[Grandezza fisica|grandezze]] sono strettamente legate da un valore numerico molto preciso: il quadrato della [[velocità della luce]] nel vuoto (c²). In questa geniale e semplice formula, che all'epoca risultò assolutamente rivoluzionaria, sono riassunte proprietà fondamentali della massa intesa come [[materia (fisica)|materia]], evidenziate dalle sue interazioni con l'energia:
# la [[massa (fisica)|massa]] ''m'' non si conserva, ma è soggetta a continue variazioni; in particolare aumenta o diminuisce di una quantità pari a ''E/c²'' rispettivamente quando assorbe o emette un'energia ''E''.
# di conseguenza, la massa può essere assimilata a una forma di energia: qualsiasi corpo materiale o [[particella (fisica)|particella]] massiva, anche a riposo, possiede un'energia. L'[[energia a riposo]] si indica con ''E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub> c²'' dove ''m<sub>0</sub>'' è la [[massa a riposo]].
# la conservazione dell'[[energia meccanica]] comprende ora, oltre all'[[energia cinetica]] e all'[[energia potenziale]], anche la massa quale ulteriore forma di energia. L'[[energia totale relativistica]] del corpo, data da ''E = mc²'', comprende sia l'[[energia cinetica]] K'' ''sia quella relativa alla massa a riposo (''E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub> c²'').
La formula prende in considerazione:
* ''E'': energia espressa in [[joule]] (= N•m = W•s = kg•m²/s²);
* ''m'': massa espressa in chilogrammi ([[Chilogrammo|kg]]);
* ''c'': velocità della luce nel vuoto, espressa in m/s: {{formatnum:299792458}} m/s, generalmente approssimata a {{formatnum:300000000}} m/s ({{exp|3|8}}m/s). Pertanto c<sup>2</sup> = 9 × 10<sup>16</sup> m²/s².
Per meglio chiarire come funziona questa equazione, si consideri il seguente esempio. Consideriamo l'[[uranio]]-238 che di per sé non è fissile e costituisce oltre il 99% dell'uranio che si trova in natura (solo lo 0,7% dell'uranio reperibile naturalmente è uranio-235, necessario per la fissione nucleare; per tale motivo l'uranio viene opportunamente arricchito). Tuttavia un nucleo di uranio-238 può decadere naturalmente formando un nucleo di torio-234 e un nucleo di elio-4. Sommando la massa dei due nuovi nuclei si rileva, però, che essa è minore del nucleo originario di uranio; in particolare risulta mancante una quantità di massa pari a {{m|7,6|k|g|e=−30}}, che non è sparita, ma si è trasformata in energia. L'equazione di Einstein consente di determinare quanta energia è stata liberata dalla scissione del nucleo di uranio: E = ({{m|7,6|k|g|e=−30}}) × ({{exp|9,0|16}}m²/s²) = {{exp|68,4|−14}}J = {{exp|6,84|−13}}J.
Ovviamente, conoscendo l'energia di una particella si può determinare la sua massa (= E/c²). Ad esempio conoscendo l'energia di una particella di materia (come avviene negli [[acceleratore di particelle|acceleratori]] di [[protoni]] ed [[elettroni]]) si può determinare la sua corrispondente massa.
L'enorme fattore di conversione (''c''<sup>2</sup> = {{formatnum:89875517873681764}} m²/s²) che lega la massa e l'energia spiega come concentrando un grosso quantitativo di energia (= ''mc''<sup>2</sup>) si possa generare una piccola quantità di massa, e anche come partendo da una piccolissima massa (= ''E''/''c''<sup>2</sup>) si possa ottenere un grandissimo quantitativo di energia. Ad esempio un corpo la cui massa è pari a un chilogrammo avrà un'energia di circa {{exp|9|16}}J: a titolo di confronto, una bomba atomica media rilascia {{exp|3,2|11}}J, circa {{formatnum:280000}} volte meno (c'è da dire però che un ordigno nucleare converte in energia appena l'1% della massa a disposizione).
È quindi comprensibile come la concezione einsteiniana getti una luce unificante sulla realtà fisica. La massa è, in sostanza, una forma di energia estremamente concentrata che in determinati processi fisici può essere liberata (es. massa solare, centrali atomiche, decadimento di materiali [[Radioattività|radioattivi]], emissione di radiazione elettromagnetica da parte di atomi e corpi materiali), così come l'energia può trasformarsi in materia, come si verifica negli acceleratori di particelle e nella collisione di [[fotoni]]. All'inizio del paragrafo si è detto che l'equivalenza tra massa ed energia fa pensare alle due facce della stessa “medaglia”; ma poiché la massa è una forma di energia, si può ora precisare che questa “medaglia” sia, in ogni caso, quella dell'energia.
Prima del 1905 esistevano due leggi (o princìpi) di conservazione ben distinte e separate: la [[legge della conservazione della massa (fisica)|legge di conservazione della massa]], scoperta da [[Lavoisier]], e la [[legge di conservazione dell'energia]] ([[primo principio della termodinamica]]), alla cui scoperta hanno contribuito, nella seconda metà del 1800, diversi scienziati (Joule, Carnot, Thomson, Clausius e Faraday): “nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma”. [[Einstein]] ha unificato le due leggi in un unico [[principio di conservazione]], che coinvolge unitariamente tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, dato che l'una può trasformarsi nell'altra secondo una esattissima relazione matematica. Ciò che resta sempre costante nell'universo è la somma di massa ed energia. Con Einstein è nato, quindi, il '''principio di conservazione della massa-energia'''.
La nuova concezione di Einstein, che dalla massa-energia si estende allo spazio-tempo, si contrappone nettamente a quella di [[Isaac Newton|Newton]], il quale riteneva che il tempo fosse assoluto e perciò completamente separato dallo spazio.
Un esempio dell'enorme quantità di energia contenuta nella materia si ha nel decollo dello [[Space Shuttle]]: di tutto il propellente usato, solo un grammo diventa energia, mentre tutto il resto si converte in fumo e prodotti della combustione. Utilizzando l'[[energia nucleare]] la resa aumenta, ma in una ordinaria [[bomba atomica]], per esempio, viene convertito in energia solo lo 0,5% della massa totale del materiale fissile.
Se fosse possibile convertire per intero la massa in energia, i problemi energetici sarebbero senza alcun dubbio risolti. Basti pensare che un solo [[grammo]] di materia equivale a 90 000 miliardi di [[joule]] (9 × 10<sup>13</sup> J = 90 000 000 MJ = 90 000 GJ = 90 TJ). Poiché 1 [[kWh]] = 3,6 × 10<sup>6</sup> [[joule|J]] = 3 600 000 J, un grammo di materia equivale a 25 000 000 kWh (= 25 000 MWh = 25 GWh).
La conversione di un chilogrammo di massa (equivalente a 90 000 TJ, ossia a 25 miliardi di kWh = 25 milioni MWh = {{formatnum:25000}} GWh = 25 TWh) coprirebbe, in pratica, il consumo mensile di energia elettrica in Italia, che nel 2004 è stato in media di {{formatnum:24490}} GWh.
L'equivalenza massa–energia ha dimostrato la sua straordinaria potenza anche con le bombe atomiche. La [[Bombardamento atomico di Hiroshima e Nagasaki|bomba di Hiroshima]] era di 13 [[kilotone|kilotoni]], che equivalgono a 54,6 TJ (13 × 4,2 × 10<sup>12</sup> J); ma questa energia rappresenta soltanto il 60% di quella che sarebbe sprigionata dalla conversione di un solo grammo di materia (90 TJ).
Un fenomeno di completa e immediata conversione della massa in energia potrebbe verificarsi soltanto nel caso in cui la materia entrasse in contatto con l'[[antimateria]]; qui bisogna precisare un punto che divulgativamente si trascura spesso: non è che la materia si [[annichilazione|annichila]] quando urta l'antimateria, perché nell'urto sono coinvolte solo le particelle, per esempio nel caso di un atomo di idrogeno e di un antiatomo di idrogeno abbiamo: idrogeno, protone ed elettrone; antiidrogeno, antiprotone e positrone; solo l'urto della particella con l'antiparticella porta all'[[annichilazione]], positrone che urta elettrone, protone che urta antiprotone. Per questo è difficile che a livello macroscopico si aggreghi abbastanza antimateria. Fortunatamente l'antimateria non è presente nella natura che ci circonda, altrimenti tutto quello che entrerebbe in contatto con essa ne verrebbe annichilato. La conversione della massa in energia, salvo questo caso, non è mai immediata, mentre è in molti casi completa: in una centrale nucleare, la differenza della quantità di uranio rilevabile dopo la reazione a catena, rispetto a quella iniziale, è esattamente equivalente all'energia prodotta. Successivamente intervengono dispersioni in [[calore]], ma la [[reazione a catena]] è una trasformazione a [[rendimento elettrico|rendimento]] unitario.
Va sottolineato che l'equazione di Einstein è stata verificata sia nei fenomeni fisici macroscopici, come ad esempio per l'[[energia solare]], sia a livello subatomico nelle collisioni tra particelle-materia (elettroni, protoni e [[neutroni]]) che generano nuove particelle aventi complessivamente la stessa energia (massa) delle particelle originarie. Lo stesso vale per le particelle-forza: dalla collisione di due fotoni scaturisce una coppia elettrone-[[positrone]] che, in tempi infinitesimali, si annichila formando una nuova coppia di fotoni.
==
[[File:E=mc2 COVRA Borssele (1).jpg|thumb|Edificio del COVRA (centro di processamento e stoccaggio di scori nucleari) presso [[Borssele]] ([[Paesi Bassi]]), con un omaggio alla formula di Einstein.]]
L'equazione illustra come l'energia massima ottenibile da un oggetto è equivalente alla massa dell'oggetto moltiplicata per il quadrato della [[velocità della luce]] nel vuoto.<br />
Per comprendere l'importanza di questa relazione si può comparare la [[forza elettromagnetica]] con la [[forza gravitazionale]]. Nel caso dell'elettromagnetismo, l'energia è contenuta in un campo (elettrico e magnetico) associato con la forza e non contenuto nelle cariche. Nel caso gravitazionale, invece, l'energia è contenuta nella massa stessa. Fu un'altra grande scoperta di Einstein, fatta nel 1915, che la massa curvi lo [[spaziotempo]], mentre così non fanno le cariche sedi delle altre tre forze fondamentali.
Questa formula fu cruciale nello sviluppo della [[bomba atomica]]. Misurando la massa di diversi [[Nucleo atomico|nuclei atomici]] e ricavando da essa la massa dei singoli [[Protone|protoni]] e [[Neutrone|neutroni]], si può ottenere una stima dell'[[energia di legame]] disponibile all'interno di un nucleo atomico. Questo fatto non mostra solo che è possibile rilasciare quest'energia di legame attraverso la [[Fusione nucleare|fusione]] di nuclei leggeri o [[fissione nucleare|fissione]] di nuclei pesanti, ma anche che si può stimare la quantità di energia di legame che può essere rilasciata. È importante notare che i protoni e i neutroni non vengono consumati nel procedimento e che anch'essi rappresentano una certa quantità di energia.
Un [[chilogrammo]] massa si converte completamente in:
* {{formatnum:89875517873681764}} [[joule]] (circa {{formatnum:90000}} TJ);
* {{formatnum:24965421632}} [[wattora|kilowattora]] (circa 25 TWh, che corrispondono al consumo mensile di energia elettrica in Italia);
* 21,48076431 [[megaton]]i;
* approssimativamente 0,0851900643 [[Quad (unità di misura)|quads]] ([[British thermal unit|Unità termiche britanniche]]).
Da notare che la conversione pratica della massa in energia, in virtù del secondo principio della termodinamica, non è quasi mai [[efficienza energetica|efficiente]] al 100%, anzi. Una conversione teoricamente perfetta risulterebbe dalla collisione di [[materia (fisica)|materia]] e [[antimateria]]; in molti casi reali si formano dei sottoprodotti al posto di energia, e perciò solo una piccola parte di massa viene effettivamente convertita. Nell'equazione la massa viene convertita in energia, per cui per chiarezza è più corretto parlare di conversione.
=== L'energia solare ===
Anche il processo di [[fusione nucleare]], come tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, avviene nell'assoluto rispetto del ''principio di conservazione della massa–energia''. Nel [[Sole]], che ha una temperatura interna di 15 milioni di [[kelvin]], mediante le reazioni di fusione termonucleare (fusione [[protone]]-protone dei nuclei di idrogeno), ogni secondo {{formatnum:600000000}} tonnellate di [[idrogeno]] si trasformano in {{formatnum:595500000}} tonnellate di [[elio]]. Quindi, dopo questa trasformazione, mancano all'appello {{formatnum:4500000}} tonnellate di idrogeno (pari allo 0,75%) che sembrano svanite nel nulla; in realtà questa massa mancante si è trasformata direttamente in energia, ossia in [[radiazione elettromagnetica]], secondo l'equazione di Albert Einstein ''E'' = ''mc''<sup>2</sup>''.
Inserendo questo valore della massa nell'equazione di Einstein (dove l'energia è espressa in [[joule]] = Ws, la massa in kg e 'c' in m/s), si calcola che a esso corrisponde una potenza pari a: W = {{formatnum:4500000000}} × (9 × 10<sup>16</sup>) = 405 × 10<sup>24</sup> [[watt]], ossia a {{formatnum:405000}} miliardi di [[terawatt]] (TW), una quantità impensabile a livello terrestre.
Tutta la potenza della nostra stella è dovuta alla conversione in energia di questa infinitesima, per il Sole, quantità di massa, paragonabile approssimativamente alla massa di un piccolo gruppo di montagne sulla terra.
Per capire l'enormità di questa energia, che espressa in [[wattora]] equivale a {{formatnum:112500000000}} TWh, il solo dato che può fungere da termine di paragone è la produzione mondiale di [[energia elettrica]], che nel 2005 è stata di {{formatnum:17907}} [[TWh]] (equivalenti a 716,28 kg di massa). Detto in altri termini, per eguagliare l'energia prodotta dal Sole in un solo secondo, tutti gli impianti di produzione di energia elettrica del nostro pianeta dovrebbero funzionare a pieno regime per i prossimi {{formatnum:6282459}} anni.
== Implicazioni dell'equazione ==
=== Massa relativistica e massa a riposo===
L'articolo di Einstein del 1905 "''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?''" <ref name="einstein"/> introduce la [[massa relativistica]] <math>m</math>. Questa si relaziona alla [[massa a riposo]] <math>m_0</math> (cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete) tramite il [[Fattore di Lorentz]] <math>\gamma</math>:
::<math>m = \gamma \, m_0 = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \; m_0 = \frac{1}{\sqrt{1-{\beta}^2}} \; m_0</math>
con <math>\beta = v/c</math> detto ''parametro di velocità'', che vale <math>0 \leq \beta \leq 1</math>.
Per ottenere dall'equazione dell'energia relativistica
::<math>E = m c^2 = \gamma \, m_0 c^2</math>,
applicabile a oggetti in quiete o in moto, l'equazione che esprime solamente l'[[energia a riposo]] <math>E_0</math>, poniamo <math>v=0</math> nella prima equazione, ottenendo <math>\gamma = 1</math>.
A riposo, cioè a velocità nulla, la massa relativistica coincide con la [[massa a riposo]] e l'equazione <math>E = m c^2</math> può essere riscritta per l'[[energia a riposo]] come <math>E_0 = m_0c^2</math>.
{| class="wikitable"
! Massa relativistica
|align="center"|<math>m</math>
|-
! Massa a riposo
|align="center"|<math>m_0</math>
|-
! Energia totale
|align="center"|<math>E = m c^2 = \gamma \, m_0 c^2</math>
|-
! Energia a riposo
|align="center"|<math>E_0 = m_0 c^2</math>
|}
La massa relativistica è oggi poco usata dai fisici, che indicano invece con ''m'' la massa invariante a ogni velocità e conseguentemente scrivono <math>E = \gamma \, mc^2</math> e <math>E_0 = mc^2</math> rispettivamente per un oggetto in moto o in quiete rispetto a un dato sistema di riferimento, generando a volte qualche confusione.
{| class="wikitable"
! Massa invariante
|align="center"|<math>m</math>
|-
! Energia totale
|align="center"|<math>E = \gamma \, m c^2</math>
|-
! Energia a riposo
|align="center"|<math>E_0 = m c^2</math>
|}
===Velocità della luce come limite===
La velocità della luce non può essere raggiunta o superata da un punto materiale per la natura del termine <math>\gamma</math>:
::<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}</math>
Infatti se
::<math>v \to c \;\;\Longrightarrow\;\; (v/c)^2 \to 1 \;\;\Longrightarrow\;\; \sqrt{1-(v/c)^2} \to 0 </math>
e di conseguenza
::<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \to \infty</math>.
Siccome
::<math>\lim_{v \to c} \, \gamma(v) = \infty</math>,
la massa relativistica e l'energia totale diverrebbero infinite:
::<math>\lim_{v \to c} \, m(v) = \lim_{v \to c} \, \gamma(v) \, m_0 = \infty</math>
::<math>\lim_{v \to c} \, E(v) = \lim_{v \to c} \, m(v) \, c^2 = \lim_{v \to c} \, \gamma(v) \, m_0 c^2= \infty</math>
In altre parole, per accelerare un corpo alla velocità della luce serve una quantità infinita di energia. Tale fatto viene spiegato dal punto di vista dinamico con l'aumento dell'[[inerzia]] al crescere della velocità.
=== Approssimazione per basse velocità ===
L'[[energia cinetica relativistica]] <math>K</math> è data dalla differenza tra l'energia totale <math>E = m c^2</math> e l'[[energia a riposo]] <math>E_0 = m_0 c^2</math>:
::<math> K = E - E_0 = m c^2 - m_0 c^2 = \gamma \, m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) \, m_0 c^2</math>
che per piccole velocità (''v'' << ''c'') è approssimabile all'espressione classica dell'[[energia cinetica]],
::<math> K = \frac{1}{2} \, m v^2 </math>.
Si può mostrare che le due forme concordano espandendo <math>\gamma</math> in [[serie di Taylor]]:
::<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \simeq 1 \,+\, \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 </math>.
Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:
::<math> K \simeq \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 \simeq \frac{1}{2} \, m_0 v^2</math>.
L'[[energia totale relativistica]] comprende anche l'[[energia a riposo]] del corpo (che dipende solo dalla [[massa a riposo]]), che non compare invece nella definizione classica dell'[[energia]]. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità ''v'' rispetto a ''c''. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.
== Aspetti storici ==
Einstein non fu il solo ad aver messo in relazione l'energia con la massa, ma fu il primo a presentare questa relazione come parte di una teoria generale e ad aver dedotto tale formula nel quadro della [[relatività ristretta]]. Va tuttavia osservato che diverse derivazioni precedenti e successive a quella di Einstein non richiedono alcun concetto relativistico, essendo l'equazione <math>E = m c^2</math> ottenibile anche combinando risultati della meccanica classica e dell'elettromagnetismo.
=== Luce e materia da Newton a Soldner (1704-1804) ===
L'idea di un'equivalenza, convertibilità o effetto della materia sulla radiazione risale già a [[Isaac Newton]]. Nel quesito 30 dell<nowiki>'</nowiki>''[[Opticks]]'' <ref>{{cita libro |nome= I. | cognome= Newton | titolo= Opticks: or, a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light | annooriginale= 1704| città = London | volume = 3 volumi | lingua= inglese}}</ref> scrisse: ''«I corpi pesanti e la luce sono convertibili gli uni negli altri.»'' (''«Gross bodies and light are convertible into one another.»''). Sempre nell<nowiki>'</nowiki>''[[Opticks]]'' disse di credere che la gravità possa deflettere la luce. Queste affermazioni non risultano stupefacenti se si considera che Newton riteneva la luce formata da corpuscoli materiali ([[teoria corpuscolare della luce]]).
Nel [[1783]] [[John Michell]], docente a [[Università di Cambridge|Cambridge]], suggerì in una lettera a [[Henry Cavendish]] (successivamente pubblicata nei rendiconti della [[Royal Society]]
<ref>{{cita pubblicazione|nome= J.|cognome= Michell |titolo= On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars |rivista= Philosophical Transactions of the Royal Society |anno= 1784|lingua=en}}</ref>) che stelle sufficientemente massive e compatte avrebbero trattenuto la luce a causa del loro intenso campo gravitazionale. La [[velocità di fuga]] dal corpo celeste sarebbe potuta risultare superiore alla velocità della luce, dando luogo a quella che egli chiamò una "stella oscura" (''dark star''), oggi nota come [[buco nero]]. Nel [[1798]] [[Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon de Laplace]] riportò quest'idea nella prima edizione del suo ''Traité de mécanique céleste''.<ref>{{cita libro |nome= P.-S. | cognome= Laplace | titolo= Traité de mécanique céleste | annooriginale = 1798–1825| città = Paris| volume = 5 volumi | lingua= francese}}</ref>
[[Johann von Soldner]] fu tra i primi ad avanzare l'ipotesi che la [[luce]], in base alla [[teoria corpuscolare della luce|teoria corpuscolare]] di [[Isaac Newton|Newton]], possa subire una deviazione quando passa in prossimità di un corpo celeste. In un articolo del 1801, pubblicato nel 1804,<ref>{{cita pubblicazione|nome= J.|cognome= von Soldner |titolo= Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung [Sulla deflessione di un raggio di luce dal suo movimento rettilineo] |rivista= Berliner Astronomisches Jahrbuch |anno= 1804|pagine= 161-172|lingua=de}}</ref> calcolò il valore della deviazione di un raggio luminoso proveniente da una [[stella]] quando passa in prossimità del [[Sole]].
=== Derivazione da Maxwell (1862)===
Nel 1950 Einstein attribuì <ref>{{cita libro |nome= A. | cognome= Einstein | titolo= Out of My Later Years | anno = 1950| città = New York| editore= Philosophical Library| lingua= inglese}}</ref> l'origine della formula <math>E = mc^2</math> alle equazioni di campo di [[James Clerk Maxwell]] del 1861-1862.<ref>{{cita pubblicazione|nome= J. C.|cognome= Maxwell |titolo= On Physical Lines of Force |rivista= Philosophical Magazine |anno= 1861-1862|lingua=en}}</ref> L'equazione
::<math>F = \frac{1}{c} \, \frac{dE}{dt} </math>
equipara la forza <math>F</math> esercitata su un corpo assorbente della radiazione al tasso d'energia <math>dE/dt</math> ricevuta dal corpo. D'altra parte, per la quantità di moto <math>p</math> assorbita dal corpo, vale
::<math> F = \frac{dp}{dt} </math>.
Dal confronto tra le due equazioni si ricava
::<math> \frac{dp}{dt} = \frac{1}{c} \, \frac{dE}{dt} \;\;\Longrightarrow\;\; p = \frac{E}{c} </math>
Se la quantità di moto <math>p</math> viene scritta come prodotto della massa <math>m</math> acquisita dal corpo assorbendo la radiazione per la velocità <math>c</math> della radiazione incidente, si ottiene
::<math> p = mc = \frac{E}{c} \;\;\Longrightarrow\;\; m = \frac{E}{c^2}</math>
===L'etere come causa dell'equivalenza massa-energia: Mayer (1867) e Preston (1885)===
{{S sezione|fisica}}
=== La massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1900) ===
{{S sezione|fisica}}
=== La massa della radiazione di corpo nero: Hasenöhrl (1904-1905) ===
{{S sezione|fisica}}
=== Il presunto contributo di Olinto De Pretto (1904) ===
Secondo [[Umberto Bartocci]],<ref>{{cita libro | nome= U. | cognome= Bartocci | titolo= Albert Einstein e Olinto De Pretto - La vera storia della formula più famosa del mondo | anno= 1999 | editore= Andromeda | città= Bologna}} </ref><ref>[https://
www.corriere.it/Primo_Piano/Scienze_e_Tecnologie/2007/04_Aprile/12/einstein_olinto_emc2.shtml E=mc2: "Tutto merito dell'italiano Olinto"]</ref> che ha ripreso ed ampliato precedenti ricerche degli studiosi veronesi Zorzi e Speri, un'equivalenza tra massa ed energia sarebbe stata pubblicata<ref name=DePretto>{{cita pubblicazione|nome= O.|cognome= De Pretto|titolo= Ipotesi dell'Etere nella Vita dell'Universo|rivista= Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti|anno= 1903-1904|volume= LXIII|pagine= 439-500|}}</ref><ref name=Bartocci>Il testo della memoria è reperibile al sito [http://www.cartesio-episteme.net sito web di Umberto Bartocci]: [http://www.cartesio-episteme.net/st/mem-depr-vf.htm ''Ipotesi dell'Etere nella Vita dell'Universo''] </ref> un anno prima di Einstein da [[Olinto De Pretto]], un agronomo e industriale di [[Schio]], in [[provincia di Vicenza]]. Bartocci ritiene probabile che il lavoro di De Pretto sull'argomento fosse noto a [[Michele Besso]], amico e corrispondente di Einstein. Da cui l'ipotesi che Einstein sia stato ispirato dalle idee di De Pretto.<ref name=risposta>[http://www.cartesio-episteme.net/st/DEPR-003.htm Risposta di Umberto Bartocci all'intervista a Ignazio Marchioro]</ref>
Viceversa lo studioso [[Schio|scledense]] Ignazio Marchioro, pur riconoscendo il valore scientifico di De Pretto, nega ogni legame con Einstein e sostiene che le due formule hanno una somiglianza solo casuale.<ref>[https://web.archive.org/web/20120414205243/http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/020804a.htm Intervista ad Ignazio Marchioro]</ref>
De Pretto, nel corso dei suoi studi amatoriali di fisica e geologia, analizzò il [[Radioattività|decadimento radioattivo]] dell'[[uranio]] e del [[torio]] e fu il primo a concludere che questo decadimento non era altro che una trasformazione della massa in energia. Ipotizzò inoltre che l'intenso calore presente al centro della [[Terra]] fosse causato da un massiccio nucleo radioattivo, al cui interno avvengono scambi tra massa ed energia.
Il 23 novembre del [[1903]] Olinto De Pretto presentò al [[Istituto veneto di scienze, lettere ed arti|Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti]] un saggio dal titolo ''Ipotesi dell'Etere nella Vita dell'Universo'', pubblicato il 27 febbraio 1904 con prefazione dell'astronomo sen. [[Giovanni Schiaparelli]].<ref name=DePretto/><ref name=Bartocci/>
Nella memoria si tentava, con diverse argomentazioni, di dare una spiegazione teorica alla natura dell'[[etere (fisica)|etere]] e alla [[forza gravitazionale]] sostenendo che ''«la materia di un corpo contiene una quantità di energia rappresentata dall'intera massa del corpo...»''.<ref name=DePretto/><ref name=Bartocci/> Ma il lavoro di De Pretto s'inquadra in un insieme di nozioni erronee o superate, riguardanti l'interazione tra etere e materia. Usando le parole di Schiapparelli, ''«le particelle dell'etere comunicano impulsi alla molecola della materia per mezzo di moti vibratori»''.<ref name=DePretto/><ref name=Bartocci/> Da tale ipotesi deriva l'intuizione di De Pretto secondo cui l'immensa ''vis viva'' (energia cinetica) dell'etere, racchiusa allo stato latente in un chilogrammo di materia sia ''«equivalente a quella ricavabile da milioni e milioni di chilogrammi di carbone.»''<ref name=DePretto/><ref name=Bartocci/>
Le speculazioni di De Pretto sono quantificabili<ref name=risposta/> con la formula
::<math>E_0 = \frac{1}{2} \, m_0 c^2</math>
dove <math>c</math> è la velocità di vibrazione dell'etere, pari alla velocità della luce.
Anche ammettendo che De Pretto abbia introdotto una formula d'equivalenza massa-energia prima di Einstein sulla base d'ipotesi azzardate, sarebbe comunque merito di Einstein l'averla stabilita su basi scientifiche rigorose. Ad oggi non vi è alcuna prova documentale a sostegno dell'ipotesi di Bartocci secondo cui Einstein sarebbe stato a conoscenza della pubblicazione o delle idee di Olinto De Pretto.
=== L'articolo di Einstein sull'equivalenza massa-energia (1905) ===
Einstein non utilizzò i simboli con cui oggi conosciamo la sua equazione nel suo articolo del [[1905]] "''L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?''" <ref name="einstein"/> (uno degli articoli entrato a far parte della raccolta chiamata [[Annus Mirabilis Papers]]), ma lo fece successivamente. In quel suo primo articolo esaminò dapprima il caso della diminuzione di energia di un corpo sotto forma di radiazione in un sistema di riferimento in cui il corpo è in movimento e della conseguente perdita di massa, giungendo all'equazione nella forma:
::<math>\Delta m = \frac{L}{c^2}</math>
dove <math>L</math> (invece di <math>E</math>) rappresentava l'energia irraggiata dal corpo di cui una parte <math>\Delta m</math> della massa veniva convertita in luce, mentre <math>E</math> era usato nella dimostrazione per rappresentare l'energia totale.
Successivamente fece un enorme passo teorico, generalizzando il concetto e affermando:
"''Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c². Il fatto che l'energia sottratta al corpo diventi energia di radiazione non fa alcuna differenza, perciò siamo portati alla più generale conclusione che la massa di qualunque corpo è la misura del suo contenuto di energia; se l'energia varia di L, la massa varia nello stesso senso di L / <math>(9 \times 10^{20})</math>, misurando l'energia in erg e la massa in grammi. Non è impossibile che nei corpi nei quali il contenuto in energia sia variabile in sommo grado (per esempio nei [[Cloruro di radio|sali di radio]]) la teoria possa essere sperimentata con successo''"
In queste parole c'è la chiara consapevolezza di Einstein sulla validità universale della sua scoperta. Con il suggerimento di indagare il [[Radio (elemento chimico)|radio]], uno degli elementi radioattivi, c'è un anticipo di oltre 40 anni sui tempi e sui suoi contemporanei, i quali per molto tempo non si avvidero di tale indicazione.
=== Derivazione di Born (1925) ===
Nel suo libro del 1925 ''Vorlesungen über Atommechanik'' (''Lezioni sulla meccanica atomica''), tradotto in italiano col titolo ''Fisica atomica'',<ref>{{cita libro | nome= M. | cognome= Born | titolo= Fisica atomica | anno= 1968 | editore= Boringhieri | città= Torino}}</ref> Max Born fornisce una derivazione meccanica ed elettromagnetica della formula <math>E = m c^2</math>.<ref>{{cita libro | nome= M. | cognome= Born | titolo= Fisica atomica | pagine = 76-77 e 250-251|anno= 1968 | editore= Boringhieri | città= Torino}} </ref>Tale dimostrazione viene riportata in una versione modificata da Gianluca Introzzi (intermittenza dell'emettitore <math>S</math>), in modo da introdurre il [[moto perpetuo]] come esito paradossale che richiede l'equivalenza massa-energia <math>m = E/c^2</math> per essere eliminato.
Si abbia una scatola a forma di parallelepipedo. All'interno sono fissati, sulle due pareti minori, un emettitore di luce intermittente <math>S</math> a sinistra ed un assorbitore <math>A</math> a destra, di ugual massa e distanti <math>l</math> tra loro. La massa complessiva del sistema scatola, emettitore e assorbitore sia <math>M</math>. Se <math>E</math> è l'energia di un segnale luminoso, il momento associato risulta essere <math>p = E/c</math> (vedi ''Derivazione da Maxwell (1862)''). L'emissione verso destra del segnale luminoso da parte della sorgente <math>S</math> produce un rinculo della scatola verso sinistra, a causa del momento della scatola <math>q = Mv</math>, dove <math>v</math> è la velocità di spostamento della scatola verso sinistra. La scatola continuerà a muoversi verso sinistra, fino a che il segnale luminoso non sarà assorbito dall'assorbitore <math>A</math>. Il momento <math>p</math> trasferito dalla luce all'assorbitore compenserà esattamente quello <math>q</math> della scatola, arrestando il movimento del sistema. Il risultato netto sarà uno spostamento della scatola verso sinistra di una distanza <math>x = v \, t</math>. Dalla conservazione della quantità di moto (<math>q - p = 0</math>) scritta esplicitamente:
::<math> Mv - \frac{E}{c} = 0</math>
si ricava la velocità:
::<math>v = \frac{1}{c} \,\frac{E}{M} </math>.
Il tempo <math>t</math> è quello di volo del segnale luminoso dalla sorgente <math>S</math> all'assorbitore <math>A</math>. A meno di termini correttivi dell'ordine di <math>v/c</math>, il suo valore è
::<math>t = \frac{l}{c} </math>.
Quindi
::<math>x = v \, t = \frac{l}{c^2} \, \frac{E}{M} </math>.
L'emissione di un secondo segnale luminoso sposterà ulteriormente la scatola a sinistra di una lunghezza <math>x</math>. Continuando l'emissione e l'assorbimento di segnali luminosi nella scatola, sembrerebbe possibile ottenerne lo spostamento per distanze arbitrariamente grandi, senza che nessun altro cambiamento avvenga dentro la scatola o nelle sue vicinanze. Sarebbe la realizzazione del [[moto perpetuo]], ovviamente impossibile. L'apparente paradosso scompare se si tien conto dell'equivalenza massa-energia di Einstein. Con l'emissione del segnale luminoso, l'emettitore <math>S</math> perde l'energia <math>E</math>, e quindi una massa <math>m</math> (per ora incognita). Similmente, l'energia e quindi la massa dell'assorbitore <math>A</math> aumentano delle stesse quantità. Il momento totale dovuto allo spostamento della masse durante il tempo di volo <math>t</math> della luce è
::<math>M v - m c = 0</math>
per la conservazione della quantità di moto. Ma allora deve valere
::<math>m = \frac{M}{c} \, v</math>.
Sostituendo in questa relazione il valore trovato per <math>v</math> si ottiene infine
::<math>m = \frac{E}{c^2}</math>.
=== Derivazione di Rohrlich (1990) ===
Il fisico austriaco Fritz Rohrlich è riuscito a dimostrare nel 1990 la formula <math>E = mc^2</math> in modo semplice ed elegante senza servirsi di relazioni di tipo relativistico, basandosi esclusivamente sulle leggi della fisica classica, quali il principio di [[conservazione della quantità di moto]] e l'[[effetto Doppler]].<ref>{{cita pubblicazione|nome=F.|cognome=Rohrlich|titolo=An elementary derivation of E{{=}}mc²|rivista=American Journal of Physics|anno=1990|mese=aprile|volume=58|numero=4|p=348|lingua=en}}</ref>
Si consideri un corpo materiale <math>C</math> di massa <math>m_1</math> che si muova rispetto a un osservatore <math>O</math> con la velocità costante <math>v_1</math> molto bassa rispetto a quella della luce. Inoltre si prenda in considerazione un secondo osservatore <math>O_c</math> in quiete rispetto a <math>C</math>.
Si supponga che a un certo istante <math>t</math> il corpo <math>C</math> emetta due fotoni con la stessa energia <math>E = h\nu</math>, dove <math>h</math> è la costante di Planck e <math>\nu</math> la frequenza dei fotoni osservata da <math>O_c</math>, in quiete rispetto a <math>C</math>. I due fotoni sono emessi uno nella direzione del moto, l'altro in direzione opposta. Tenendo conto dell'effetto Doppler, l'osservatore <math>O</math> misurerà invece una frequenza pari a
::<math>\nu' = \nu \left(1 + \frac{v_1}{c}\right)</math>
per il fotone emesso in direzione del moto e pari a
::<math>\nu'' = \nu \left(1 - \frac{v_1}{c}\right)</math>
per quello emesso in direzione opposta.
L'energia radiante <math>E</math> emessa all'istante <math>t</math> che è osservata da <math>O</math> sarà dunque
::<math>E = h\nu\left(1 + \frac{v_1}{c}\right) + h\nu\left(1 - \frac{v_1}{c}\right) = 2h\nu</math>
Inoltre, per il principio di conservazione, la quantità di moto del corpo <math>C</math> osservata da <math>O</math> prima dell'emissione deve essere pari alla somma delle quantità di moto di <math>C</math> e dei due fotoni dopo l'emissione (si noti che la quantità di moto del secondo fotone, poiché emesso in direzione contraria al moto, va presa col segno negativo), quindi:
::<math>m_1 v_1 = m_2 v_2 + q' - q'' = m_2 v_2 + \frac{h\nu}{c} \left(1 + \frac{v_1}{c}\right) - \frac{h\nu}{c} \left(1 - \frac{v_1}{c}\right) = m_2 v_2 + v_1 \, \frac{2h\nu}{c^2}</math>
dove:
* <math>m_1</math> = massa del corpo C prima dell'emissione
* <math>v_1</math> = velocità del corpo C prima dell'emissione
* <math>m_2</math> = massa del corpo C dopo l'emissione
* <math>v_2</math> = velocità del corpo C dopo l'emissione
* <math>q'</math> = quantità di moto del fotone emesso in direzione del moto
* <math>q''</math> = quantità di moto del fotone emesso in direzione contraria a quella del moto
Data la natura simmetrica dell'effetto, l'osservatore <math>O_c</math> non rileverà dopo l'emissione dei due fotoni alcun cambiamento di moto del corpo <math>C</math>, che continuerà quindi a trovarsi in quiete rispetto a lui. Quindi per l'osservatore <math>O</math> dopo l'emissione sia l'osservatore <math>O_c</math>, sia il corpo <math>C</math> continueranno a muoversi con velocità <math>v_1</math> invariata. Perciò si conclude che <math>v_1 = v_2</math>.
Sostituendo <math>v_2</math> con <math>v_1</math> nell'equazione sulla quantità di moto ed introducendo la riduzione di massa <math>m</math> del corpo <math>C</math> dopo l'emissione pari a <math>m = m_1 - m_2</math>, dopo facili passaggi algebrici dalla si ottiene:
::<math>m = m_1 - m_2 = \frac{1}{v_1} \, v_1 \, \frac{2h\nu}{c^2} = \frac{2h\nu}{c^2}</math>
da cui, tenendo presente che <math> E = 2h\nu</math>, si ottiene:
::<math>E = mc^2</math>
ovvero che l'energia <math>E</math> irradiata dal corpo <math>C</math> è pari alla perdita di massa subita da <math>C</math> in seguito all'emissione, moltiplicata per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.
== Note ==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[
* [[Relatività ristretta]]
* [[Relatività generale]]
* [[Principio di relatività]]
* [[Principio di conservazione]]
* [[Galileo Galilei]]
* [[Isaac Newton]]
* [[Albert Einstein]]
* [[Energia totale relativistica]]
* [[Massa (fisica)]]
* [[Energia]]
== Altri progetti ==
{{
== Collegamenti esterni ==
* {{
* {{en}} [http://news.bbc.co.uk/2/hi/entertainment/4145797.stm Einstein's E=mc² inspires ballet] BBC
* {{cita web|1=http://www.rambert.org.uk/index.html|titolo=Rampart Dance Company: Constant Speed E=mc²|lingua=en|accesso=11 gennaio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20060104025546/http://www.rambert.org.uk/index.html|dataarchivio=4 gennaio 2006|urlmorto=sì}}
* {{cita web|1=http://www.edwardmuller.com/right17.htm|2=Edward Muller's Homepage > Antimatter Calculator|lingua=en|accesso=11 gennaio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20051225230710/http://www.edwardmuller.com/right17.htm|dataarchivio=25 dicembre 2005|urlmorto=sì}}
* {{cita web|http://hypertextbook.com/facts/2000/MuhammadKaleem.shtml|Energy of a Nuclear Explosion|lingua=en}}
* {{cita web|https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/|Albert Einstein’s Sep. 27, 1905 paper|lingua=en}}
* {{cita web|url=http://www.symmetrymag.org/cms/?pid=1000067|titolo=Einstein's 1912 manuscript page displaying E=mc²|lingua=en}}
* {{en}} [http://www.pbs.org/wgbh/nova/einstein/ NOVA - Einstein's Big Idea] (PBS Television)
* {{cita web|http://www.cartesio-episteme.net/libro2.htm|Presentazione del libro di Umberto Bartocci}}
{{portale|energia|relatività}}
[[Categoria:
[[Categoria:Equazioni nella fisica]]
[[Categoria:Energia]]
[[Categoria:Albert Einstein]]
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