Sezione aurea e 181: differenze tra le pagine

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{{Nota disambigua|descrizione=altri significati di 181|titolo=181 (disambigua)}}

{{Costante

{{Anno}}

|nomealt = Sezione aurea

{{Anno in altri calendari}}

|tipo = matematica

|simbolo = <math>\phi</math>

|valore = 1,6180339887

|nome =

|campo =

|fcont = <math>\phi= 1 + \frac{1}{1 + \cdots}</math>

|oeis =

|insieme = reali

}}

Con '''sezione aurea''' si indica , solitamente in [[arte]] e [[matematica]], il rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è [[medio proporzionale]] tra la minore e la loro somma ('''(a+b) : a = a : b'''). Tale rapporto vale approssimativamente '''1,618''' (0,618).<br/>

Il numero esatto può essere espresso con la formula:

<br><br>

<math>\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1,6180339887\,</math>

<br><br>

Si tratta ovviamente di un [[numero irrazionale]]; esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della [[successione di Fibonacci]], a cui è intrinsecamente legato.

== Eventi ==

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.

{{...|cronologia}}

== Excursus[[Nati storiconel matematico181|Nati]] ==

<!-- Per favore NON scrivere QUI i nomi delle persone, ma aggiungi il template:Bio alla loro voce: l'aggiornamento è periodico e automatico. Per chiarimenti vai al progetto:Biografie -->

===Il periodo greco===

{{:Nati nel 181}}

{{quote|La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d'oro, e definire il secondo una pietra preziosa.|[[Keplero]]}}

== Calendario ==

[[Immagine:Pentagono.gif|300px|right]]Il pensiero greco, e in special modo quello matematico, è intrinsecamente geometrico; non deve stupire quindi che fra tutte, sola e prima, fu proprio la civiltà ellenica a concepire e definire il rapporto aureo così come lo conosciamo oggi.

{{Calendario anno|181}}

Possiamo infatti far risalire la scoperta attorno al VI secolo a.C., presso la scuola pitagorica - i discepoli e seguaci di [[Pitagora]], il noto filosofo cui la storia ascrive l’omonimo [[teorema di Pitagora|teorema]] -, nell’Italia meridionale, ove, riferisce [[Giamblico]] <ref>{{cita|Livio|p. 15}}</ref>, presumibilmente [[Ippaso di Metaponto]] ne scoprì l’esistenza e con essa, forse, l’''[[incommensurabilità]]''. Vi è tuttavia da dire che questa seconda scoperta, comunque risultatagli fatale<ref> [[Giamblico]], ''[[Silloge delle dottrine pitagoriche]]'' ca. 300 d.C.:

:«''Dicono che il primo che divulgo la natura della commensurabilità e dell'incommensurabilità a chi non era degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo che non solo lo si bandi dalla vita in comune e dalle associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua tomba...''»</ref>, viene, secondo la tradizione prevalente, associata allo studio del [[quadrato]] e del rapporto fra il ''lato'' e la sua ''diagonale'', pari alla [[radice quadrata]] di 2, anziché del [[Pentagono (geometria)|pentagono]] - come invece sarebbe se fosse collegata alla sezione aurea -, il poligono a 5 lati il cui numero fu tanto caro ai pitagorici, che in esso scorsero l’unione del principio maschile e femminile (rispettivamente nella somma del 2 col 3), tanto da considerarlo perfino il numero dell’amore o del matrimonio.

La sezione aurea risulta, infatti, indissolubilmente connessa con la geometria pentagonale – dove emerge ovunque si propone –: la possiamo trovare nel rapporto fra il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche fra AB e BD (o AC’) e fra AD e AC’, e a sua volta AD e DC’, e in un’infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella o [[pentagramma (geometria)|pentagramma]], la quale produrrà a sua volta un nuovo pentagono centrale in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via.

Fu [[Euclide]], intorno al [[300 a.C.]], a lasciarne la più antica testimonianza scritta oggi disponibile sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'',<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/subjindex.html#extreme Indice analitico] su Euclid's Elements </ref> a proposito della costruzione del pentagono, egli fornisce infatti la definizione di divisione di un segmento in "'''''media e ultima ragione'''''"<ref> [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/defVI3.html Libro VI, ''Def.'' 3]</ref> (gr. {{polytonic|''ἄκρος καὶ μέσος λόγος''}}):

[[Immagine:Segmento aureo.gif|center]]

Tale divisione è basata sul semplice concetto di [[medio proporzionale]]: un segmento AB è infatti diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento AC' ha con AB lo stesso rapporto che C'B ha con esso, ossia se:

<center><math>{AB \over AC'} = {AC' \over C'B}</math></center>

[[Immagine:Pentagono con triangolo aureo.svg|300px|left]]

La divisione di un segmento AB in media e ultima ragione può essere effettuata costruendo un pentagono regolare del quale AB rappresenta una diagonale e disegnandovi all'interno un ''[[triangolo aureo]]'', ossia un [[triangolo isoscele]] la cui base corrisponde al lato del pentagono e i lati uguali alle diagonali congiungenti quest'ultimo al vertice opposto; (i triangoli adiacenti vengono detti ''[[gnomone aureo|gnomoni aurei]]'').<br/>

Ora, l’ampiezza dell'[[angolo interno]] del pentagono regolare è di 108°<ref>Poiché la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è ((n-2)180°, tale somma per un pentagono è 540°, che diviso per 5 fa 108°</ref>, ciò significa che gli angoli alla base degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano 36°, e, per differenza, quelli alla base del triangolo aureo 72°. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36°, 72°, 72°; tracciando adesso la [[bisettrice]] di un angolo alla base, si ricava un altro triangolo DCB, con l'angolo in D di 36°, ovvero 72°, come il precedente; il terzo angolo in C sarà a sua volta di 72°. DCB è dunque un altro triangolo aureo.

Per il [[Criteri_di_similitudine#Triangoli simili|primo criterio di similitudine sui triangoli]], ABD e DCB sono triangolo simili; è quindi AB/DB = DB/BC; d'altra parte anche il triangolo ACD è isoscele perché il suo angolo in D è di 36° come l'angolo in A, risulta quindi AC = DC = DB; otteniamo così la relazione voluta

<math>AB/AC=AC/CB</math>

L'aura magica che i pitagorici associavano al numero 5, e a tutto ciò che vi fosse legato, può spiegare come fin da allora il rapporto aureo potesse apparire ai loro occhi così particolarmente affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificare in parte la fortuna e l’alone di mistero che lo ha avvolto sin dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.

=== Da Fibonacci al Rinascimento ===

Dal declino del periodo ellenico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei matematici, rilevando grazie al suo alter ego algebrico inedite proprietà, prima inconoscibili per via meramente geometrica.

È il [[1202]], l'anno in cui [[Leonardo Fibonacci]] pubblica il suo ''[[Liber abaci]]'', il libro col quale si diffonderanno in Europa le [[Sistema di numerazione indiano|cifre indo-arabe]], semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane.

:Rinominando il segmento AC come ''a'', e quello minore CB come ''b'', possiamo reimpostare la proporzione di Euclide nei più familiari termini algebrici, come segue:

::<math>{a+b \over a} = {a \over b}= \phi</math>

:ponendo <math>a=b\varphi</math>, e sostituendo, si ha:

::<math> {b \phi + b \over b\phi} = {b \phi \over b} \quad \Rightarrow \quad {\not b (\phi + 1) \over \not b\phi} = {\not b\phi \over \not b} \quad \Rightarrow \quad \phi + 1 = \phi^2</math>

:si arriva alla formulazione finale: <math>\phi^2 - \phi - 1 = 0</math>; un'[[equazione di secondo grado]] la cui soluzione è:

::<math>\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618\,033 </math>

Nel medesimo libro Fibonacci introdusse pure per la prima volta, involontariamente <ref>In realtà Fibonacci pone un problema per la cui soluzione occorre calcolare i primi 12 termini della successione che oggi porta il suo nome e non fa alcuna considerazione sulla successione infinita</ref>, il concetto di ''[[successione ricorsiva]]'', con la successione: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8..., in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, la [[successione di Fibonacci]]:

: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; ... ; '''F_n-2 + F_n-1 = F_n'''

Ad insaputa dello scopritore, anche la successione che porta il suo nome è indissolubilmente legata alla sezione aurea; il rapporto tra i due argomenti fu tuttavia scoperto solo qualche secolo più tardi da un altro matematico in un periodo di fervente rinascita culturale, che ne rinverdì l'interesse non solo nella matematica ma anche nell'arte, il [[Rinascimento]].

Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il ''[[De Divina Proportione]]'' di [[Luca Pacioli]], pubblicato a Venezia nel [[1509]], nel quale, corredato di disegni di [[solidi platonici]] di [[Leonardo Da Vinci]], si divulgava a una più vasta platea di intellettuali l'esistenza del numero e delle sue innumerevoli proprietà, fino ad allora appannaggio soltanto di una ben più ristretta cerchia di specialisti. Il medesimo libro scalzava inoltre, dopo secoli di monopolio, anche la definizione euclidea, unica dicitura col quale il numero veniva chiamato, reinventandone una completamente nuova di '''''proporzione divina'''''; dove l'aggettivo «divina» è dovuto ad un ardito accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero, che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una ''ratio'' o frazione, e l'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana:

{{quote|Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale<!-- Non sono refusi: non correggere! --><ref>Erman di Rienzo. [http://www.matematicamente.it/storia/divina_proporzione.zip la divina proporzione] ([[.doc|DOC]]) p. 17</ref>}}

La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel [[1611]] da [[Keplero]], come rilevano i seguenti passi di una sua lettera:

{{quote|... questa proporzione [...] che gli odierni [...] chiamano divina [...] è congegnata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due addizionati, il termine [a loro] successivo, e così via indefinitivamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata [...] più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto. Siano 1 e 1 i termini più piccoli [...] sommandoli, il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3; aggiungiamogli 2, e otteniamo 5; aggiungiamogli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così, approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13 così, approssimativamente, 13 sta a 21.<ref>{{cita|Livio|p. 226}}</ref>}}

Keplero aveva praticamente scoperto che il rapporto fra due numeri consecutivi della serie di Fibonacci approssimava via via, sempre più precisamente, il numero aureo; difatti:

:<math> \cdots </math>

:<math> \cdots </math>

:<math>{55 / 34} = {\color{blue}1,61}7\, 647</math>

:<math>{89 / 55} = {\color{blue}1,618}\, 182</math>

:<math>{144 / 89} = {\color{blue}1,61}7\, 978</math>

:<math>{233 / 144} = {\color{blue}1,618 \,0}56</math>

:<math>{377 / 233} = {\color{blue}1,618 \,0}26</math>

:<math>{610 / 377} = {\color{blue}1,618\, 03}7</math>

:<math>{987 / 610} = {\color{blue}1,618 \,033}</math>

:<math> \cdots </math>

ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, quanto piuttosto a ricercarla nell'architettura dell'universo, che lui invece osserva, nelle sue proprietà "divine"; non a caso concettualizzò un modello [[eliocentrico]] in cui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte in solidi platonici e di conseguenza legate alla ''divina proporzione''. La dimostrazione fu fornita, invece, un secolo più tardi dal matematico [[Robert Simson]]; e se vogliamo ulteriormente sancita dalla scoperta della [[formula generatrice]] della serie di Fibonacci ad opera di [[Jacques Binet]] - anche se probabilmente già nota a [[Eulero]] -: la [[Formula di Binet]]

:<math>F(n) = {{\phi^n-(1- \phi)^n} \over {\sqrt 5}}</math>

Il particolare fascino della formula si può imputare al fatto che un numero irrazionale possa fornire per ogni valore intero di ''n'', altrettanti numeri razionali e interi.

=== Gli ultimi due secoli ===

Se per molto tempo la sezione aurea venne conosciuta con la definizione euclidea di ''proporzione media ed estrema'', per poi assumere l'aggettivo ''divina'' dopo l'uscita dell'opera di Pacioli, non è altrettanto certa l'origine della sua definizione come "''aurea''".<br/>

Nonostante la diffusa ed errata opinione che tale denominazione fosse in auge fin dall'antica Grecia, studiosi di storia della matematica la collocano più verosimilmente attorno al XV - XVI secolo.<ref>François Lasserre. ''The birth of mathematics in the age of Platone''. Londra, Hutchinson, 1964 [[Carl B. Boyer]]. ''Storia della Matematica'' Milano, Mondadori, 1990 ISBN 8804334312</ref>. La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra, però, risalire solo al [[1835]] nel libro ''Die Reine Elementar-Mathematik'', in cui il matematico tedesco [[Martin Ohm]] scrive «è chiamata "sezione aurea"», specificando così di non esserne l'ideatore ma di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuse largamente nei primi anni del 1800, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere scritte, prima in tedesco e poi in lingua inglese, facilitando così l'internazionalizzazione della formula ed entrando a pieno titolo nell'ambito culturale accademico, anche inizialmente solo come termine legato ancora alla sfera estetica, prima di essere acquisito a pieno titolo nell'ambito matematico ufficiale, come testimonia un articolo di E. Ackermann intitolato ''The Golden Section'' (La Sezione Aurea).

La sezione aurea si diffonde nell'800 anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di un imprecisato numero di artisti in cui contrariamente al passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dalla convinzione che la proporzione aurea, in particolare il [[rettangolo aureo]], costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza in natura che studi recenti avevano certificato, e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto ciò che la possedeva.

Non mancarono in tal senso neppure esperimenti psicologici volti proprio ad avvalorare tale tesi, anche se recentemente riprodotti con esiti marcatamente più ambigui ed incerti. L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, come quelle volte a rintracciarne connessione nei [[mercato azionario|mercati azionari]], con quella che divenne nota come la [[teoria delle onde]] di Elliot, o a ritrovare utilizzi pratici surreali come il ''[[Modulor]]''.

Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale, altrimenti incalcolabile con i soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M.Berg con un [[IBM 1401]] calcolandolo fino alla 4599^ cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla diecimilionesima. Di seguito φ fino al 1000° decimale:

{| aling="center"

|1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788 9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362.

|}

[[Immagine:Penrose tiles CMS UWA.jpg|thumb|300px|Pavimento decorato a mosaico alla [[University of Western Australia]] con un esempio di [[tassellatura di Penrose]], nello specifico a rombi "larghi" e "stretti" ]]Nel [[1974]] il matematico [[Roger Penrose]] scoprì, utilizzando figure legate a φ, la possibilità di una [[tassellatura]] a simmetria quintupla<ref>Tassellature diverse sono facilmente componibili con [[triangolo equilatero|triangoli equilateri]], [[quadrato (geometria)|quadrati]] e [[esagono|esagoni]], si tratta di tassellazioni ''regolari'' e ''periodiche'', con simmetrie rispettivamente triple, quadruple e sestuple, possibili principalmente perché detti poligoni regolari hanno [[angolo|angoli]] che sono multipli perfetti dell'[[angolo giro]]; motivo che fino ad ora aveva impedito di ottenere una tassellazione a geometria quintupla prerogativa del [[Pentagono (geometria)|pentagono]], che invece diventa possibili grazie a [[Roger Penrose|Penrose]] </ref>, attraverso l'uso di figure diverse, detta [[tassellatura di Penrose]]. Ciò che rende detta tassellatura legata alla sezione aurea, non è solo la particolare simmetria legata al pentagono e altrimenti inarrivabile, ma perfino il fatto che le stesse figure sono unicamente basate sul rapporto aureo, e che su grandi superfici il numero stesso delle figure impiegate come rapporto approssima sempre 1,618; per esempio, prendendo due delle possibili figure di [[rombo (geometria)|rombi]] ''larghi'' e ''stretti'', il numero di rombi larghi N_l e quello degli stretti N_s deve essere tale da N_l/N_s = φ.

Nel [[1976]] il matematico [[Robert Hamman]], che aveva già lavorato con Penrose per le sue precedenti scoperte, allargò l'indagine sulla tassellatura al campo tridimensionale, scoprendo che era possibile esaurire similmente anche un volume ricorrendo a dei [[romboedro|romboedri]] composti dalle stesse forme utilizzate per ricoprire le superfici. La particolarità di questo tassellamento tridimensionale era sempre quella di avere una simmetria simile a quella dell'[[icosaedro]] (l'omologa della quintupla bidimensionale del pentagono) se eseguita seguendo determinate regole di giustapposizione. Tale scoperta, apparentemente solo teorica, non fu poi priva di conseguenze, una sua utilizzazione reale avvenne nel [[1984]], quando Dany Schectman studiando alcuni cristalli di un composto di [[alluminio]] e [[manganese]] notò che possedevano una simmetria affine; la particolarità saliente era quella di avere rispetto alle altre formazioni cristalline, completamente amorfe oppure regolari, una ''quasiperiocità'' da cui deriva la successiva riclassificazione degli stessi in ''[[quasicristallo|quasicristalli]]''.

== Matematica ==

Matematicamente, il '''numero aureo''' corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell'[[equazione quadratica]] <math>x^2 - x - 1 = 0 </math>, le cui [[radice (matematica)|radici]] sono:

:<math> \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} = \begin{cases} 1,618 \\ -0.618 \end{cases}</math>

La dualità algebrica del risultato rende in linea di principio impossibile assegnare un valore esatto alla sezione aurea, e né si evincono d'altro canto presso campi extra-matematici segni inequivocabili di preferibilità verso l'uno o l'altro valore, se non fosse che per la sua natura di rapporto l'unico valore in grado di mantenere coerentemente un senso pure a livello geometrico sia soltanto la radice positiva, che viene quindi convenzionalmente considerata quale "vero" valore numerico della sezione aurea pari a 1,618.... <br/>In matematica questo valore veniva indicato fino al XX secolo con la [[alfabeto greco|lettera greca]] τ (''[[tau (lettera)|tau]]'')<ref>dal greco ''tomé'', 'taglio' o 'sezione'</ref>, fu il matematico [[Mark Barr]] a introdurre l'uso, oggi consolidato, della φ (''[[phi (lettera)|phi]]'')<ref>'''NB'''. la lettera greca usata per indicare il numero aureo nella forma 1,618 è φ [[minuscolo|minuscola]], quella [[maiuscolo|maiuscola]] viene usato per indicarne il reciproco, ovvero 0,618</ref>, dall'iniziale dello scultore greco [[Fidia]] (''Φειδίας''), il quale avrebbe usato il rapporto aureo nelle sue sculture del [[Partenone]]

Come già detto l'impossibilità di considerare valido un solo valore, spinge a prendere in considerazione anche la radice negativa dell'equazione, che viene presa però in [[valore assoluto]], cioè privo di segno, uguale a 0.618...; anche questo valore viene contrassegnato con una lettera greca Φ (''Phi''), in [[maiuscolo]], ed è talvolta detto, anche se non diffusamente, ''sezione argentea''<ref>''[http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatioConjugate.html Golden Ratio Conjugate]'', MathWorld</ref>.<br/>Non bisogna però cadere nell'errore di considerare la sezione argentea Φ, quale risultato della radice, se assegnato infatti all'equazione non la soddisferà; essa è più primariamente il reciproco della sezione aurea φ, legato nelle seguenti relazioni:

:<math>\Phi = {1 \over \phi} = \phi - 1</math>

=== Particolarità matematiche ===

{{nota|larghezza=300px

|titolo=Dimostrazione

|contenuto=La dimostrazione è piuttosto semplice: basta prendere l'equazione originaria e modificarla

<center><math> {1 \over \phi} = \phi - 1 \qquad \phi^2 = \phi + 1 </math></center>

così emerge che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità, mentre per il quadrato questa va aggiunta.<br/> In pratica togliendo e aggiungendo 1 a φ, si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria che rimane inalterata.

}}Le particolarità decimali del numero non finiscono qui, infatti è anche l'unico<ref>Esistono altri numeri il cui reciproco mantiene la stessa parte decimale, ma nessun altro lo fa anche elevato al quadrato</ref> numero '''non''' [[numero naturale|naturale]] il cui [[reciproco]] e [[quadrato (algebra)|quadrato]] mantengono inalterata la propria parte decimale.

*<math>\phi = 1,{\color{red}618\,033\,989}</math>

*<math>\phi^2 = 2,{\color{red}618\,033\,989}</math>

*<math>{1 \over \phi} = 0,{\color{red}618\,033\,989}</math>

Se invece prendessimo Φ avremmo similmente che:

:<math>{1 \over \Phi} = 1,618\,033\,989 = \phi</math>

ma, diversamente da φ, Φ non conserva inalterata la propria parte decimale

:<math>\Phi^2 = 0.381\,966\,011 </math>

questa volta emerge un'altra interessante coincidenza, la parte decimale di Φ² più Φ da esattamente 0.99..., ovvero 1.

Si possono sintetizzare le due particolarità come segue

:<math>\phi^2 = \phi + 1 \qquad 1 = \Phi + \Phi^2</math>

ma grazie alla relazione che lega φ a Φ si può riscrivere la seconda equazione

:<math> 1 = {1 \over \phi} + {1 \over \phi^2} \rightarrow 1 = \phi^{-1} + \phi^{-2} </math>

In pratica si ha che:

:<math>\phi^2 = \phi^1 + \phi^0 \qquad \phi^0 = \phi^{-1} + \phi^{-2}</math>

generalizzando per qualsiasi [[potenza (matematica)|potenza]] del numero aureo l'equazione diventa:

<center><math>\phi^{n+1} = \phi^{n} + \phi^{n-1} </math></center>

capace di spiegare congiuntamente tutte le precedenti proprietà del numero, ma si evince anche che φ è una delle possibile radici di ogni equazione riconducibile a :<math>x^{n} - x^{n-1} - x^{n-2} = 0 </math>.

Spostandosi invece sulle potenze elevate di Φⁿ, si ha che dà sempre numeri [[quasi interi]] cioè molto prossimi a un numero naturale, a potenze pari per difetto a potenze dispari per eccesso, esempi:

:<math> \phi^{20} = 15126,999933 </math>

:<math> \phi^{21} = 24476,000040 </math>

:<math> \phi^{22} = 39602,9999748</math>

e questa è tra l'altro una caratteristica fondamentale dei [[Numero di Pisot-Vijayaraghavan|Numeri di Pisot]], di cui la sezione aurea rappresenta un caso speciale.

=== Rappresentazioni notevoli ===

Il numero aureo è legato a due rappresentazioni, per così dire "notevoli", aventi diverse caratteristiche in comune: sono ottenute entrambe per mezzo di operazione ricorrenti, l'unico numero che compare è 1, e si dimostrano entrambe con lo stesso procedimento per l'evidente affinità:

{{multiCol}}

φ può essere ottenuto mediante una successione infinita di [[radice quadrata|radici quadrate]] sommando ogni volta 1 al risultato, e poi estraendo nuovamente la radice

<center><math> \phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}</math></center>

poniamo

<center><math> x^2 = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}</math></center>

si nota subito che essendo un processo infinito la parte sotto radice è ancora uguale a ''x''², per cui

<center><math> x^2 = 1 + \sqrt{x^2}</math></center>

e quindi

<center><math> x^2 = 1 + x</math></center>

che è l'equazione generatrice di φ.

{{ColBreak}}

φ può essere il risultato di una [[frazione continua]] illimitata avente tutti i termini uguali a 1 come [[denominatore]]

<center><math>\phi= 1 + \frac{1}{1 + \cdots}</math></center>

poniamo

<center><math>x = 1 + 1 + \frac{1}{1 + \cdots}</math></center>

Trattandosi di una frazione infinita si nota che il numeratore è uguale a ''x'', per cui

<center><math>x = 1 + \frac{1}{x}</math></center>

se si moltiplicano entrambi i membri per ''x''

si ha <center><math>x^{2} = x + 1</math></center>

che è l'equazione generatrice di φ.

{{EndMultiCol}}

==== Altre rappresentazioni ====

:<math>\phi = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {F_n \cdot F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1 \cdot 1} - \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots</math>

<math> \phi = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{(-1)^n}{F_n^2} \right) = \left(1 + \frac{1}{1^2} \right) \left(1 - \frac{1}{2^2} \right)\left(1 + \frac{1}{3^2} \right)\cdots</math>

*<math>\phi=2\cdot\cos{\frac{\pi}{5}}</math>

*<math>\phi={e}^{\rm{arcsinh}(\frac{1}{2})}</math>

=== Il numero più irrazionale ===

{{vedi anche|numero irrazionale|frazione continua}}

L<nowiki>'</nowiki>'''[[irrazionalità]]''' di ''phi'', cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione è forse una delle sue caratteristiche più importanti, che viene direttamente dimostrata dalla sua formula generatrice

:<math>\phi = {1 + \sqrt{5} \over 2} = 0,5 + \sqrt{5 \over 4}</math>

La parte decimale infatti è interamente generata da √5 un numero irrazionale, e tale non può che essere la sua somma con un numero razionale.<br/>Ma l'irrazionalità del numero aureo ha un qualcosa di particolare che porta a considerarlo come il "più irrazionale" di tutti i numeri irrazionali: riprendendo la sua formulazione per mezzo di frazione continua il fatto può essere velocemente spiegato.

Ogni numero, benché irrazionale, può infatti essere approssimato da una frazione continua

:<math> a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \cdots}}</math>

scritta più brevemente come [a₀; a₁; a₂;...].

La frazione può essere interrotta a qualsiasi livello, [a₀; ...; a_n]; rappresentando a₀ la parte intera, l'approssimazione sarà determinata di volta in volta dai a₁, ... a_n presenti di un ordine del 10^-n dell<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo numeratore preso in considerazione<ref>''Ecco perché Φ è il più irrazionale!'' in [http://www.unich.it/progettistisidiventa/archivio_lavori_studenti/Bastioni_Aurea.pdf La favola della sezione aurea]. p. 54</ref>.

Essendo i numeratori della frazione continua tutti 1, ne risulterà che ogni frazione si scelga questa presenterà la minore accuratezza di approssimazione verso l'omologa persa al medesimo numerare di qualsiasi altro numero irrazionale; ovvero il numero aureo è il numero più difficile da approssimare con un rapporto fra due interi razionali, da qui l'affermazione di numero più irrazionale fra gli irrazionali.

===Relazione con la serie di Fibonacci===

È stato già detto che facendo il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci, questo approssimava sempre meglio il numero aureo, man mano che si procedeva nella successione, provare questo equivale a provare che il [[limite di una successione|limite della successione]] fra numeri di Fibonacci consecutivi è Φ, ovvero

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{(n+1)}}{F_{(n)}}= \phi</math>

La relazione può essere dimostrata con il [[induzione|processo induttivo]], supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito '''x''. Ora la serie di Fibonacci è una serie ricorsiva i cui termini sono uguali a:

:<math>F_{(n+1)}= F_{(n)} + F_{(n-1)}</math>

possiamo quindi riscrivere il limite come

<math>

\frac{ F_{(n)} + F_{(n-1)}}{F_{(n)}} = 1 + \frac{F_{(n-1)}}{F_{(n)}}</math> cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue.

<math>x = 1 + \frac{1}{x}</math> che risolvendo darà Φ.

Le relazioni con la serie di Fibonacci non finiscono qui; com'è già stato detto la funzione generatrice della serie si basa proprio su ''phi'':

:<math>F_{(n)}= {{\phi^n-(1-\phi)^n} \over {\sqrt 5}}</math>

la relazione può agevolmente essere riscritta con

:<math>F_{(n)}= {{\phi^n-(-\Phi)^n} \over {\sqrt 5}}</math>

Essendo quindi Φ minore di 1 per ''n'' che diventa sempre più grande significa che diventa una quantità così prossima a zero da risultare ininfluente nella somma algebrica, tanto che per ''n'' grande i numeri della successione di Fibonacci possono essere agevolmente approssimati con

:<math>F_{(n)} \approx {\phi^n \over{\sqrt 5}}</math>

proprietà consimile a quella già vista precedentemente soltanto che in questo caso i numeri [[quasi interi]] sono ottenuti dopo la divisione di un altro numero irrazionale √5.

Una relazione interessante si ritrova nella seguente sommatoria infinita e ricorsiva da cui emerge ulteriormente l'intrinseco legame.

:<math>\sum_{n=1}^{\infty}|F_{(n)}\phi - F_{(n+1)}| = \phi</math>

<!-- ==== Un gioco matematico====

Esiste un gioco matematico legato alla serie di Fibonacci e tramite queste al numero aureo.

Nella versione più comune si chiede di scegliere due numeri a caso non eccessivamente elevati, che si possano facilmente computare a mente, come ad esempio:

:''456'' e ''954''

Si chiede poi di sommarli e a questa somma di aggiungere poi il maggiore, e cosi via, sommando sempre alla nuova somma, il valore della precedente

:1410; 2364 (cioè 954 + 1410) e, a seguire:

:3774; 6138, 9912; 16050; 25962; 42012; ...

Ci si può fermare dopo un certo numero di iterazioni: se questo è sufficientemente adeguato, avremo che il rapporto fra gli ultimi due numeri è pari vicino a '''1,618''', i primi numeri della serie di Fibonacci; normalmente si anticipa già il numero della prime tre cifre, conoscendolo già, oppure si fa una previsione scrivendola sua un foglietto in precedenza.

Questa proprietà, che normalmente suscita stupore in chi non ha dimestichezza con la matematica, è semplicemente dovuta all'emergere della serie di Fibonacci nella sommatoria continua.

{{cassetto2

|titolo=dimostrazione

|testo=

} -->

=== Potenze di ''Phi'' ===

Ecco qui alcuni rapporti notevoli interni a phi stesso con delle sue potenze

*<math> \phi^2 = \phi + 1 \ </math>

*<math>\phi^3 = \frac{\phi + 1}{\phi - 1}</math>

*<math>\phi^{-1} = \phi - 1 \ </math>

*<math>\phi^{-2} = 2 - \phi \ </math>

Elementi di regolarità nelle potenze di Φ si hanno anche con la serie di Fibonacci; per esempio se invece del rapporto tra due elementi successivi si prende un passo maggiore il limite di questo convergerà sicuramente verso un φ^p, per la precisione

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{(n+p)}}{F_{(n)}}= \phi^p</math>

una relazione precisa invece è quest'altra

:<math>\phi^n = F_n \phi + F_{n-1} \,</math>,

La sezione aurea ha interessanti proprietà se utilizzata come base di un [[sistema di numerazione]].

=== Metodi di approssimazione e espansione decimale ===

Nonostante la sezione aurea possa essere compiutamente riportata in termini numerici con la nota formula <math>\scriptstyle{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}</math>

la presenza della [[radice quadrata|radice]] i 5, ne decreta, attraverso l<nowiki>'</nowiki>''irrazionalità'', l'impossibilità di conoscerne tutta la parte decimale, il che determina che essa può essere soltanto approssimata con maggior grado di precisione da frazioni sempre più grandi oppure mediante [[algoritmo|algoritmi]] iterativi.

Il primo metodo più conosciuto è senz'altro quello di sfruttare il legame con i numeri di Fibonacci, attraverso quest'altra ormai nota formula <math>\scriptstyle{\frac{F_{(n+1)}}{F_{(n)}}=\phi}</math> il cui grado di approssimazione sempre migliore misurabile con la differenza dal limite effettivo calcolabile con questa formula <math>\scriptstyle{\frac{(-1)^n}{\phi^{2n}-(-1)^n}}</math>.

Rimane ovviamente sempre l'inconveniente di dover preliminarmente calcolare valori sempre maggiori della successione.

Assai meno calcoli preliminari, richiede invece il calcolo mediante il metodo più classico della frazione continua, come precedentemente visto, il cui grado di approssimazione può essere solo stimato, risalendo alla frazione corrispondente ''m''/''n'', inferiore a <math>\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt {5}}</math>; se non fosse come già spiegato che si tratta della frazione continua più lenta in assoluto.

=== Geometria ===

[[Immagine:Pentagram in pentagon.svg|70px|right]]La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a geometria pentagonale. Nel [[pentagono (geometria)|pentagono]] regolare e nel [[pentagramma (geometria)|pentagramma]] emerge naturalmente, e per questo, come abbiamo già detto, venne scoperto dai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o, nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;[[Immagine:POV-Ray-Dodecahedron.svg|70px|left]] ma la si ritrova pure nel [[decagono]] come rapporto fra la misura del [[raggio (geometria)|raggio]] della circonferenza circoscritta e del lato, o ancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel [[dodecaedro]], un poligono a dodici pentagoni, e nell'[[icosaedro]], entrambi ''solidi platonici''. <br/>

Esistono inoltre dei [[poligono (geometria)|poligoni]] definibili ''aurei'', poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto aureo; il caso più emblematico è senz'altro il '''[[rettangolo aureo]]''', seguito dal '''[[triangolo aureo]]''' :

{| align="center"

|[[Immagine:Golden spiral in rectangles.png|180px|center]]

|

|[[Immagine:Golden spiral in triangles.png|160px|center]]

|}

Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la base e i lati uguali; inoltre in entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di figure [[similitudine|simili]] sempre più piccole con fattore Φ di rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un punto di fuga che non raggiungerà mai<ref>Una [http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/pz_file/occhiodidio.htm immagine] più chiara sull<nowiki>'</nowiki>''Occhio di Dio''</ref>, denominato dal matematico [[Clifford A. Pickover]] ''l'occhio di Dio'', probabilmente rifacendosi alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli.<br/>

[[Immagine:FakeRealLogSpiral.png|right|250px]]Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusa con la '''[[spirale aurea]]''', anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in questo caso la <font color=green>spirale approssimante </font>, si avvicina a quella <font color=red>aurea</font>, a volte tangendola e altre <font color=#808000>sovrapponendosi</font><ref>Una [http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/pz_file/spiralog3.htm immagine] della ''Spirale aurea'' e della ''spirale di Fibonacci''</ref> ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso «occhio di Dio».

[[Immagine:Fractal_tree_%28Plate_b_-_2%29.jpg|left|155px|Platano frattale|]]Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruolo importante anche nella composizione di alcuni ''frattali'', ove adottandolo come coefficiente di [[omotetia]] sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione della figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei frattali che riescono a simulare forme naturali, come un albero, per esempio che rappresenta il grado di ottimalità massima per ottenere la maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a tal proposito prende proprio il nome di ''[[albero aureo]]''<ref>Laura Lotti. ''[http://www.frattali.it/alberoaureo.htm L'albero aureo]'' 3 maggio 2004 - immagini </ref>, una particolare forma di '''albero di Barnsley''' con valore pari a Φ<ref>Un fattore di omeotetia in questo caso è riduttivo, quindi deve essere minore di 1, 0.618..., cioè il reciproco di 1.618.</ref>.

==== Costruzione geometrica ====

La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con [[riga (strumento)|riga]] e [[compasso (strumento)|compasso]], su qualsiasi segmento AB, ed è possibile agire in due modi:

# dividere il segmento date le proporzioni media ed estrema

# creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema

Nel primo caso una possibile divisione del segmento ci è indicata da Euclide alla ''Prop.'' 30, libro VI,<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI30.html libro VI, ''Prop.'' 30] in Euclid's element</ref>, tuttavia esiste un modo molto più semplice:

:[[Immagine:Divisione aurea.svg|left|350px|]] {{nota|larghezza=250px

|titolo=Dimostrazione

|contenuto= Per il [[teorema delle tangenti e delle secanti]] si ha che AB è medio proporzionale rispetto a AE e AD:

:AD : AB = AB : AE

Per le proprietà delle proporzioni:

:(AD - AB) : AB = (AB - AE): AE

da cui si ha, ricordando che AE = AE':

: AE' : AB = E'B : AE'

:'''AB : AE' = AE' : E'B'''

}}

:dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2, si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo il segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.

{{-}}

Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un [[rettangolo aureo#costruzione|rettangolo aureo]].

:[[Immagine:Construction golden section sum.svg|left|350px|]] Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questo punto, quindi, si trova il ''[[punto medio]]'' C del segmento interessato e puntandovi, con apertura pari all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD', per il quale AB rappresenta il ''medio proporzionale'' rispetto alla loro somma AD'.

Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè 1;

:<math>AC = \frac{1}{2}</math>

Mentre DC similmente, per il [[teorema di Pitagora]], vale:

: <math>\sqrt{1^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2}

= \frac{\sqrt{5}}{2}</math>

sommando i due si ricava:

:<math> \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>

che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.

== Storia ==

A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo quali e se effettivamente siano esistiti prima dei greci, popoli che conoscessero la sezione aurea e che effettivamente la utilizzassero nelle loro opere, i casi più importanti sono quelli legati ai babilonesi e agli egizi.

===Babilonia===

Alcune tavolette, riportanti calcoli computazionali, testimoniano che i [[Babilonesi]] avessero conoscenze sia matematiche che geometriche tali da poter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di pi greco, mancano tuttavia prove schiaccianti circa la loro effettiva conoscenza della sezione aurea; ciononostante eminenti studiosi, fra cui [[Michael Scheneider]] <ref>Michael Scheneider, ''A Baginner's guide to Constructing the Universe'', New York, Harper Perennial, 1995. ISBN 0060926716</ref> e [[Helen Hedian]] <ref>Helen Hedian, ''The golden section and the artist'' su "[[The Fibonacci Quarterly]]" 14:406-18, 1976</ref>, affermano la sua presenza su steli e bassorilievi: alcuni esempi sarebbero una stele babilonese e una raffigurazione di una divinità alata del IX secolo a.C. (Metropolitan Museoum of Art), la "''leonessa morente''"<ref>[http://whs.eanes.k12.tx.us/art/Smaller%20Site/images/Art%20History/Chap%202/ Dying lioness] (''Leonessa morente'') bassorilievo custodito al [[British Museum]] di Londra</ref> di Ninive (600 a.C.).

=== L'antico Egitto ===

Le affermazioni sulla conoscenza del rapporto aureo in epoca pre-ellenica coinnvolgono anche gli antichi [[Egizi]], sull'ondata di una fervente e misticheggiante letteratura [[ottocento|ottocentesca]], che fra l'altro asseriva la presenza di conoscenze matematiche ben più avanzate, le cui tracce sarebbero tutt'oggi visibili nei resti di numerosi monumenti.

Per quanto riguarda il rapporto aureo, il dibattito verte su casi meno conosciuti come quelli dell'[[Osireion]] e la [[Tomba di Petosiri]] alla ben più famosa [[piramide di Cheope]].

[[Immagine:Osireion.svg|thumb|100px|Pianta del [[Osireion]] con la geometria pentagonale di Lawlor]]

Nel primo caso si tratterebbe del [[cenotafio|monumento funerario]] del re [[Seti I]] ([[XIX dinastia]]), riportato alla luce nel [[1901]] da [[Flinders Petrie]], a riguardo [[Robert Lawlor]] asserisce che l'architettura della stanza più interna sarebbe basata su una mistica geometria pentagonale contenente il rapporto aureo, ravvisabile in una serie di intrecci geometrici che si possono estrapolare. Precisamente all'interno della stanza sarebbe possibile disegnare secondo Lawlor due pentagoni contrapposti fino all'esaurimento della lunghezza, mentre la larghezza conterrebbe le [[circonferenza|circonferenze]] ad essi inscivibili; su tale disegno sarebbero poi ricavabili con altri intrecci da cui giustificare la presenza degli altri elementi architettonici.<ref name=lawlor> Robert Lawlor, ''Sacred Geometri philosophy and practice'' London, Thames and Hudson, 1982 ISBN 0500810303</ref> Si tratta comunque di una interpretazione senza seguito in ambito accademico.

La tomba di [[Petosiri]], sommo sacerdote di [[Thot]], è stata rinvenuta da [[Gustave Lefebvre]] nei primi [[anni 1920|anni '20]], e risale al [[III secolo a.C.]], quando era già attestata la conoscenza della sezione aurea da parte dei Greci. In questo caso il rapporto aureo sarebbe riscontrato, sempre dallo stesso Lawlor <ref name=lawlor />, in un bassorilievo raffigurante l'imbalsamazione del sacerdote, anche qui in un intricato intreccio di segni geometrici che richiedono un elevato grado di astrazione rispetto la figura, per essere plausibilmente nelle reali intenzione dell'autore.<ref>{{cita|Livio|p. 80}}</ref>

==== La Grande piramide ====

Il caso largamente più dibattuto riguardante l'[[Egitto]] è però la presenza della sezione aurea, e non solo<ref>Ci sono a riguardo diversi studiosi che affermano che nelle misure della ''Grande piramide'' sarebbero riscontrabili diverse costanti cosmologiche e matematiche, fra cui il [[π]], anche se nessuna di queste tesi è accettata nell'ambito accademico.</ref>, nella [[Piramide di Cheope]] nella piana di [[Giza]] e unica delle ''[[sette meraviglie]]'' ad essere giunta fino a noi intatta. Il mito [[esoterismo|esoterico]]-[[numerologia|numerologico]] che circonda la ''Grande piramide'' nasce probabilmente in seguito all'opera di John Taylor, ''The great pyramid: why was it built and who built it?'' (''La grande piramide: perché fu costruita e chi la costruì''), pubblicata nel [[1859]], e suffragata a ruota dallo studioso, astronomo e [[piramidologo]], [[Charles Piazzi Smyth]]<ref>Piazzi Smyth, '' The Great Pyramid'', New York, Gramercy book, 1978</ref>.

[[Immagine:Mathematical Pyramid.svg|250px|right]]Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'[[altezza (geometria)|altezza]] della facciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a un<nowiki>'</nowiki>''inclinazione teorica'' della facciata pari a 51° 49' ca. La piramide reale ha una altezza totale di circa 147m e lati di 230m, con una inclinazione della pareti di 51º 50' 35", estremamente simile all'inclinazione teorica, e di fatti, esplicitando i conti, tra il semilato e l'"altezza"<ref>L'altezza della parete può essere desunta dai dati precedenti applicando il [[teorema di Pitagora]]</ref> reali:

:<math>{186,64 m \over 115 m} = 1, 6229</math>

Si tratta anche questa volta di valore molto vicino a quello teorico; risulta comunque logico chiedersi se ciò può costituire una prova di una reale conoscenza da parte degli egizi della sezione aurea o se tale risultato sia stato un'inconsapevole conseguenza del modo in cui è stata costruita, così come sarebbe presumibile dagli scritti di [[Erodoto]], ''[[Storie]]'' ''Libro II'' .

{{nota|allineamento=sinistra

|titolo=Spiegazione

|contenuto= Il rapporto fra altezza ''s'' della facciata e semilato ''a'' e uguale a:

:''s''/''a'' = Φ

e questo perché l'[[area]] della [[triangolo|triangolare]] T (''s'' × ''a'') della facciata e uguale al [[quadrato (algebra)|quadrato]] dell'altezza della piramide ''h''².

:''s'' × ''a'' = ''h''² → applicando il [[teorema di Pitagora]]

:''s'' × ''a'' = ''s''² → ''a''² - riordinando e dividendo per ''a''²

:(''s''/''a'')² + (''s''/''a'') - 1 = 0 ⇒ ''x''² + ''x'' - 1 = 0

siccome questa è l'equazione della sezione aurea ne discende che essa è connaturata in una piramide che venisse fatta secondo le caratteristiche indicate da ''Erodoto''.

}}

L'astronomo Britannico John Herschel scriveva, citando [[Erodoto]], che la «Piramide [di Cheope è] caratterizzata dalla proprietà di avere ciascuna delle facce uguale al quadrato costruito dell'altezza», ora, stante le svariate perplessità circa la corretta interpretazione del passo incriminato, si tratterebbe di una spiegazione alternativa all'ipotesi che essa sia stata inserita volontariamente e coscienziosamente nella piramide di Cheope.<br/>Effettivamente le misure della piramide, 147² = 21609 e 115 × 186,64 = 21463.6, sono straordinariamente simili, e parrebbero confermare la citazione, se non fosse che da nessuna parte pure questa trova definitiva conferma.

Non si ritrova infatti nel passo di Erodoto recita

{{quote| Per la costruzione della Piramide occorsero vent’anni. Essa è quadrata.. Presenta da tutti i lati una faccia di otto plettri, un’altezza uguale. E’ di pietre levigate e perfettamente connesse, di cui nessuna misura meno di trenta piedi.| [[Erodoto]], ''[[Storie]]'', II, 124:5 <ref>[http://www.filosofico.net/erodotostorie2.htm Erodoto ''Storie''] traduzione da ''filosofico.net''; [http://thepiraz.interfree.it/favola/erodoto.htm Qui] {{gr}} il [[frammento]] originale </ref>}}

Non risulta di fatto alcun riferimento al "quadrato dell'altezza", ma soltanto misurazioni come risultante che da studi condotti da Richard Gillings<ref name=Gillings>Richard Gillings ''Mathematics in the Time of the Pharaohs''. Cambridge, Dover Publications, 1982 ISBN 048624315X</ref>, Roger Fischler e George Markowsky<ref>{{cita|Markowsky| ''Misconceptions:The Great Piramid was designed to comform to Φ'', p. 6}}</ref>, ciononostante la sostanziale equivalenza come rilevata nell'erronea interpretazione del passaggio erodoteo esiste nelle dimensioni della piramide, come sopra evidenziato, ma probabilmente pure in questo caso è da ascrivere cause non legate alla volontà del progettista e forse perfino ignare a quest'ultimo.

Spiegazioni tecniche sono state trovate legate alle modalità di costruzione: una proposta da Gillings<ref name=Gillings />, sulla base dei problemi 56 e 60 contenuti nel famoso ''[[Papiro Rhind]]'' incentrati sui ''[[seked]]'' - una unità di misura egiziana dell'inclinazione delle superfici laterali - sostiene che il rapporto aureo deriverebbe dalla necessità tecnica di tenere una certa inclinazione costante della parete durante tutta la costruzione della piramide; l'altra, considerata anche la più attendibile<ref>{{cita|Livio|p. 94}}</ref>, fornita invece da Kurt Mendelssohn<ref>Kurt Mendelssohn. ''L’enigma delle piramidi''. Milano, Mondadori, 1990. ISBN 88-04-43384-1</ref> secondo cui gli egizi utilizzavano sue diverse [[unità di misura]]: una per grandezze verticali, il ''[[cubito]]'', e una per quelle orizzontali, un rullo dal diametro di ''cubito'' la cui circonferenza è uguale a [[Π]] cubiti, dalla combinazione dei due emergerebbe naturalmente il numero aureo.<ref>Una esauriente spiegazione matematica la puoi trovare in {{cita|Bastioni|''Le piramidi contengono Π e Φ per puro caso''}}.</ref>

Sia, quindi, che la presenza della sezione aurea derivi dal tentativo di costruire una piramide con le peculiarità attribuitele da alcuni dagli scritti di Erodoto, sia che derivi da mere contingenze costruttive, appare improbabile che derivi da una precisa e voluta scelta dei progettisti; in sostanza nemmeno la più importante della presunte testimonianze della sua conoscenza da parte degli indizi, trova spiegazioni alternative in grado di spiegarne la sua presenza in via del tutto fortuita e inconscia.

== Estetica ==

===In psicologia ===

{{Vedi anche|Rettangolo aureo#Il rettangolo più bello?}}

Nell'[[ottocento]] iniziarono i primi studi [[psicologia|psicologici]] volti ad attestare su base scientifica la pretesa superiorità estetica della sezione aurea, in particolar mondo i test si concentrarono sulla preferenza estetica per il ''[[rettangolo aureo]]'', che fra tutti i derivati geometrici della divina proporzione sembra essere quello ad aver ereditato maggiormente il suo alone di "fascino".

Tutto sembra aver avuto inizio con i contestati studi di [[Gustav Fechner]], fondatore della psicologia sperimentale. Nel suo ''Manuale di estetica'' (''Vorschule der Aesthetik''), edito nel [[1879]], Fechner pubblicò i risultati dei suoi esperimenti condotti sia sulle persone, testando le loro preferenze estetiche, che sul campo, misurando migliaia di oggetti d'uso quotidiano per far emergere la testimonianza di una tendenza inconscia verso la proporzione aurea; ma benché soltanto una delle tre modalità di ricerca confermasse la sua tesi, Fechner non esitò dall'asserire che vi era una dimostrata preferenza per il rettangolo aureo, e quindi per la sezione aurea.

Subito vennero mosse una serie di critiche alla correttezza e ai metodi usati da Fechner nel condurre i suoi esperimenti, non ultimo quello di aver influenzato egli stesso, in buona o in mala fede, gli stessi soggetti; inoltre non mancarono sospetti, che nel caso fosse confermata la genuinità degli esperimenti, il risultato positivo dell'esperimento non fosse da attribuire ad altre cause, non prese da lui in considerazione, e impossibili da confutare vista la poca chiarezza riguardante le modalità dell'esperimento.

Comunque nel corso del [[XX secolo]], l'ipotesi Fechneriana è stata ripetutamente oggetto di verifica, a volte trovando risultati che parzialmente sembravano convalidarla, altre volte confutarla nel tutto; risulta interessante però come avvicinandosi ai nostri tempi la casistica favorevole si sia pian piano diradata, ma mano che venivano analizzare e prese tutte ipotesi e quelle accortezze sperimentali, per filtrare i risultati da contaminazioni di eventuali concause accidentali. Tuttavia esistano anche recenti studi condotti sulla sezione aurea nel 1997 la ''Empirical studies of the art'' è uscita con un fascicolo speciale raccogliendo ben 7 studi condotti con metodi differenti di cui nessuno, però, fa emergere una ben che minima preferenza per la sezione aurea <ref name=zocchi> {{cita|Zocchi}}</ref>, mentre addirittura Holger Höge con il suo lavoro intitolato ''The golden section hypothesis – ist last funeral''<ref>Höge, Holger, ''The Golden Section hypothesis - Its Last funeral'' in ''Empirical Studies of the Arts'', 1997 15:2, 233-255.</ref> sembra voler mettere definitivamente fine a tutte le speculazioni.

===Nell'arte===

Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della proporzione aurea, in particolar modo sotto forma di ''rettangolo aureo'', e molto spesso a sproposito; anche diversi siti internet, nonché libri, caldeggiano ferventemente questa ipotesi, a volte azzardata, col rischio di consolidare dell'esistenza di un falso mito: ovvero, la presunta superiorità estetica della sezione aurea. Occorre invece muoversi con cautela, pure in questo ambito perché la presunta presenza della sezione può in molte opere essere frutto di plurimi fattori, che possono trarre in inganno e indurre a facile considerazioni affrettate; tre paiono essere i più importanti:

# Tralasciando le ovvie possibilità di imprecisioni nelle misurazioni, delle volte viene affermata la presenza del rapporto aureo pur trovandosi di fronte a numeri quali 1.5, 1.6, 1.66 e 1.75 frettolosamente assimilati a sue "buone" approssimazioni. Nonostante l'evidente difficoltà di approssimazione di un numero irrazionale con la dovuta precisione, bisogna almeno considerare l'eventualità che l'artista abbia voluto sì usare misure non arbitrarie, ma, forse, semplicemente rifacendoli a rapporti fra [[numero aureo|numeri interi]]; così com'è possibile d'altronde che abbia volutamente usare numeri vicini al rapporto aureo proprio tentare di approssimarlo.

# Le misurazioni spesso sono state effettuate prendendo a riferimento punti arbitrari o sulla cui oggettività è tuttora aperto un dibattito; inoltre non vi è da escludere, la non poi tanto remota possibilità, che in un sistema complesso, formato da diversi elementi, rapporti prossimi al valore aureo possano formarsi per fattori ascrivibili al [[caso (circostanza)|caso]], pure in mancanza di una effettiva volontà dell'artista.

# Il convincimento della sua superiorità estetica e la riproposizione di modelli familiari, se non canonici, possono aver indotto l'artista a copiare o a ispirarsi da forme e proporzioni di opere di altri artisti dove la sezione aurea era effettivamente o approssimativamente presente, e quindi averla involontariamente riprodotta nella propria opera.

A fronte di queste considerazioni, si può capire come sia pienamente lecito affermare la presenza della sezione aurea, in un'opera o nel estetica di un artista, soltanto in presenza di forti indizi che indicano che l'artista ha volutamente e consciamente utilizzato tale sezione nelle sue opere, o per sua ammissione diretta.

====Pittura====

Ne ''La geometria segreta dei pittori''<ref>Charles Bouleau ''la geometria segreta dei pittori'', Milano Mondadori 1999. ISBN 884352643X</ref>, [[Charles Bouleau]] sostenne la tesi di una diffusissima presenza della sezione aurea nei pittori prerinascimentali, quali [[Giotto]], [[Duccio di Buoninsegna|Duccio]] e [[Cimabue]], in un' epoca ben precedente la pubblicazione del ''De divina proporzione'', e questo per sostenere, come egli afferma, la tesi del rapporto aureo quale canone estetico riconosciuto ''a priori'', anche se non vi sono evidenze, in tale direzione, da parte di nessuno dei maggiori esperti dei tre pittori.

[[Immagine:Joconde.gif|right|130px]]

Un altro pittore, che le dicerie vogliono maniacalmente affascinato dalla sezione aurea, sarebbe stato [[Leonardo da Vinci]], e le prove sarebbero all'interno di alcuni dei suoi dipinti più famosi: quali il ''[[San Gerolamo (Leonardo)|San Gerolamo]]'', ''[[La Vergine delle Rocce (Leonardo Parigi)|La Vergine delle Rocce]]'', la ''Testa di vecchio'' e la celebre ''[[Monna Lisa]]''. Sebbene, in questo caso, la presenza della sezione aurea sia più plausibile, se non altro la sua collaborazione con ''Luca Pacioli'' nella stesura del ''De Divina Porportione'', alcuni dei dipinti citati risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due umanisti, iniziato nel [[1496]] a Milano presso [[Ludovico il Moro]]; fa eccezione per la ''Gioconda'', sulla quale il dibattito accademico però risulta ancora aperto e abbastanza controverso, inoltre il rapporto aureo sarebbe da rintracciare all'interno di un rettangolo aureo i cui riferimenti non sarebbero ben definiti.

[[Immagine:Georges Seurat 066.jpg|170px|left|thumb|La parata del circo]]

In epoca più recente altro caso dubbio, cui viene ascritta una passione per la sezione aurea, sarebbe il pittore francese [[Georges Seurat]], nel cui caso, forse, la diceria è stata alimentata da una naturale propensione per un pittura spaziale dove il rilievo geometrici, si carica, nelle prospettive dell'artista, di una carica emozionale che egli intende trasmettere facendo un particolare uso di tratti verticali, orizzontali e angoli retti; ma manca a sostegno della tesi l'ammissione dell'artista di avere fatto esplicito uso della proporzione aurea, anche se a sostegno vengono spesso avocati diversi studi sulle proporzioni di dipinti come il ''[[La parade de cirque]]''. In quest'ultimo caso un massiccio aiuto alla diffusione del "mito" sarebbero stati alcuni scritti di [[Matila Ghyka]]<ref>''Esthétique des proportrions dans la nature et dans les arts'', 1927 e ''Le nombre d'or: rites et rytmes pytagoriciens dans le développemont de la civilisation occidentale'', 1931.</ref>. Stesse cose avrebbe affermato il matematico inglese [[David Bergamini]] nel suo libro ''Mathematics''<ref>David Bergamini, ''Mathematics'', New York, Time Incorporated, 1963.</ref>, curato nel [[1963]] dai redattori di ''[[Life Magazine]]''.

Esistono però anche diversi artisti che fecero effettivo uso sezione aurea nelle loro: uno dei primi fu senz'altro [[Paul Sérusier]] (1864 - 1927) per sua stessa ammissione. È probabile che Sérusier abbia appreso della sezione aurea da un altro pittore amico suo, l'olandese [[Jan Werkade]], durante una visita avvenuta nel 1896, nella quale lo andò a trovare presso un monastero di [[Benedettini]] a [[Beuron]], nella Germania meridionale; nell'occasione un gruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su una Padre Didier Lenzdi riguardanti particolari «misure sacre»<ref> Padre Didier Lenzdi riteneva ch e grandi opere dell'antichità, nonché capolavori (fra cui, a suo dire, rientravano anche l'[[arca di Noè]], erano composti su figure geometriche semplici come cerchi, triangoli equilateri ed esagoni (Alessandra Candela, ''[http://www.dm.unito.it/modelli/forme/arte.pdf Forme dell’arte e forme della matematica, una ricerca] {{PDF}}, 24 maggio 2006'').</ref> tra cui vi era ovviamente la ''sezione aurea''.<ref>La notizia è confermata da alcune note biografiche di [[Maurice Denis]], biografo di Sérusier, oltreché pittore egli stesso.</ref>

Dopo Sérusier la conoscenza della sezione aurea si diffuse a molti artisti, e non poté mancare di trovare degna posizione anche all'interno del [[cubismo]], come dimostra il nome di un mostra la "''Section d'Or''", tenuta a [[Parigi]] nel [[1912]] da alcuni dei primi esponenti del movimento pittorico, benché nessuna delle opere presentate al suo interno contenessero alcune legame con φ. Tuttavia non mancarono pittori cubisti che ne fecero realmente uso, come lo spagnolo [[Juan Gris]] e lo scultore lituano [[Jacques Lipchitz]]; i due fra l'altro lavorarono assieme alla creazione della scultura ''Arlequin'' basata su un particolare [[triangolo aureo]] ideato da [[Keplero]]. Spostandoci in Italia troviamo invece [[Gino Severini]] che lo utilizzo nei primi [[anni '20]] e più tardi [[Mario Merz]], il quel però fece in realtà più uso dei numeri di Fibonacci piuttosto che della sezione aurea.

Oltre oceano, negli Stati Uniti troviano [[Jay Hambidge]], all'inizio del '900 teorizzò due tipi di arte moderna: una a "simmetria statica", basata su forma geometriche, e una invece "dinamica" basata sulla sezione aurea e la [[spirale logaritmica]]. Oltre manica invece abbiamo, sempre agli inizi del secolo, [[Anthony Hill]] ([[1930]])che si ispiro al numero aureo in una serie di opere denominate sotto ''relief construction''; un altro artista israeliano [[Yigal Tumarkin]], addirittura inserì in una sua opere direttamente la formula ''(1 + √5)/2''.

Tra i falsi miti invece legati alla pittura contemporanea invece resta da sfatare quello dell'utilizzo della sezione aurea da parte dell'olandese [[Piet Mondrian]], su cui escono a più riprese diverse illazioni del tutto infondate. Mondrain fece prettamente uso di forme rettangolari e linee verticali e orizzontali per comporre le sue opere, e questa estrema geometrizzazione alimentò negli anni diverse speculazioni sul fatto che questi dipinti celassero più o meno velati riferimenti o proporzioni auree; ciononostante non si hanno riscontri diretti da parte dell'artista, ne dei suoi principali esperti, ad esempio il critico [[Yve-Alain Bois]] ha escluso categoricamente tali ipotesi.<ref>{{Cita|Livio|p. 261}}</ref>

==== Architettura (Modulor) ====

{{Vedi anche|Modulor}}

Nell'architettura del [[XX secolo]], una delle più interessanti applicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla nascita del ''[[Modulor]]'', letteralmente "modulo d'oro" derivato dal nome francese.

L'ideatore fu l'architetto svizzero [[Le Corbusier]] che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la [[successione di Fibonacci]] quale sistema su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi dedicati alla vita dell'uomo con l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano; l'idea sottostante era che poiché era possibile riscontrare la sezione aurea nelle proporzioni del corpo umano, nonché in altri svariati esempi naturali, questa potesse essere la base ottimale su cui strutturare tutto l'ambiente circostante, in modo che risultasse armonico e armonizzato ad esso secondo una presupposta regola naturale, identificata appunto nella proporzione aurea. L'idea di armonia implicita cela ancora un volta la concezione di un'estetica superiore legata alla sezione aurea.

Lo stesso Le Corbusier utilizzò gli schemi del ''Modulor'' in diversi suoi progetti, come nella costruzione di alcune strutture governative nella città di [[Chandigarh]] in [[India]]. Nel suo complesso, però, il Modulor non trovò grande seguito presso altri architetti, anzi fu molto spesso oggetto di critiche circa l'inconsistenza delle sue basi teoriche, che ne decretarono man mano l'insuccesso.

In [[Italia]] [[Giuseppe Terragni]] l'ha usata nella progettazione di alcuni edifici [[Razionalismo Italiano|razionalisti]].

==== Musica ====

{{vedi anche|Retorica musicale}}

{{C|Questa sezione sta diventando troppo lunga, occerre ridurre il numero di citazioni di band recenti che fanno uso del rapporto aureo ai realmente rilevanti|musica|aprile 2008|firma=[[Utente:PersOnLine|'''Pers''']]'''''On'''''[[Discussioni_utente:PersOnLine|''Line'']] <small>18:02, 22 apr 2008 (CET)</small>}}

La musica ha [[Rapporto tra musica e matematica|numerosi legami con la matematica]], e molti ritengono che centrale in essa sia il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il [[violino]] e il [[pianoforte|piano]].

Nel caso dei violini alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalla sapienti capacità dei [[liutaio|liutai]] di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto la lunghezza complessiva dello strumento,<ref>{{cita|Livio|p. 271}}</ref> inoltre anche lo stesso [[Antonio Stradivari|Stradivari]] si sa per certo che cercasse di posizionare gli ''occhielli'' del violino sempre in tale posizione; non vi sono però conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano effettivamente un suono "migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali o alla scelta degli stessi.

Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I ''tredici'' tasti delle ottave, divisi in distinti in ''otto'' bianchi e ''cinque'' neri, a loro volta divisi in gruppi da ''due'' e ''tre'' tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a uno specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento.

In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali ''[[temperamento naturale|naturali]]'' sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una ''[[sesta maggiore]]'' di [[La (nota)|La]] e [[Do (nota)|Do]] 5/3, una ''[[sesta minore]]'' di [[Do (nota)|Do]] e [[Mi (nota)|Mi]] 8/5).

Già [[Pitagora]] aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in rapporto come numeri interi ''piccoli'' risultino particolarmente gradite all'orecchio.<ref>Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi, basato sul [[temperamento]] [[temperamento equabile|equabile]], prevede che i rapporti tra due [[semitono|semitoni]] successivi della [[scala cromatica]] sia pari alla quantità ¹²√2, un [[numero irrazionale]], il che fa sì che gli unici rapporti interi fra le note corrispondano agli intervalli di ottava (il cui rapporto è pari a due).</ref> Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, che sono spiegati (almeno in parte) dall'[[acustica]], non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di Fibonacci.

Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, etc non sono comunque rari anche in questo caso facili entusiasmi dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio [[Paul Larson]] nel 1978 sostenne di aver riscontrato nelle [[Kyrie eleison|Kyrie]] contenute nel ''[[Liber Usualis]]'', il rapporto aureo a livello delle battute, ma in mancanza di una documentazione che ne attesta la volontà di inserimento rimane tutto a livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte che per le opere di [[Mozart]], anche se recentemente John Putz, matematico all'[[Alma College]], subitamente convinto anche lui tale teoria specialmente per quanto riguarda le sue [[Wolfgang Amadeus Mozart#Sonate|sonate per pianoforte]], dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la ''[[K 179|Sonata n. 1 in Do maggiore]]''.

Questo è quello che hanno fatto, per esempio, [[Béla Bartók]] ([[1881]]-[[1945]]) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la [[Musica per Archi, Percussioni e Celesta]]) e [[Claude Debussy]] ([[1862]]-[[1918]]), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come ''le divine nombre'' nella raccolta ''[[Estampes (Debussy)|Estampes]]'' ([[1903]]) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani [[La Mer]] ([[1905]]) e [[Cathédrale Engloutie]].

Quest’ultimo, in particolare, è un [[preludio]] per [[pianoforte]] di 89 battute, di cui le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21: in altre parole, alla battuta 68 il brano rallenta il tempo a metà. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa prima sezione a 34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89. Questo è uno dei tanti esempi che si possono citare per descrivere l’applicazione del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali di Debussy. Il pianista [[Roy Howat]] ha analizzato altri brani di Debussy come ''[[Reflets dans l'eau]]'', ''[[L'isle joyeuse]]'' (oltre al già citato ''[[La mer]]'') riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate.

Bartòk e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di sezione aurea, ma se ne potrebbero menzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del [[XIX secolo]] e il [[XX secolo]]. In epoche più recenti, musicisti quali [[Karlheinz Stockhausen|Stockhausen]], [[Pierre Barbaud]], [[Iannis Xenakis]], facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il [[Teoria della probabilità|calcolo delle probabilità]] e del [[computer]] per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a [[Parigi]] nel [[1972]], un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l’applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite [[sintetizzatore|sintetizzatori]].

[[Sofija Asgatovna Gubajdulina|Sofija Gubajdulina]] ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad esempio nella ''Sinfonia "Stimmen... Verstummen..."'', in ''Perception'', nel pezzo per percussioni ''All'inizio era il ritmo'', nel coro ''Omaggio a [[Marina Cvetaeva]]'', nel trio ''Quasi hoquetus'', nella sonata ''Et exspecto'' e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di Fibonacci quale regola per organizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella struttura intervallare e in quella ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura intervallare con le cifre occorre prendere il [[semitono]] come unità di misura. Nell'intervallo da Do a Mi bemolle, per esempio, abbiamo tre semitoni, dal Sol al Do ne abbiamo invece cinque, [...] e se consideriamo l'intervallo Sol-Mi bemolle abbiamo otto semitoni. Certamente i numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano, sono disposti in una sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni dubbi, perché gli intervalli in questione sono considerati all'interno del [[sistema temperato]], [...] un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applica invece al sistema ''del mondo'', in una parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il [[ritmo]] è legato alla naturalità del nostro respiro."<ref> Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da [[Enzo Restagno]]", contenuto in AA.VV. "Gudajdulina", ed. EDT </ref>

Anche la musica [[Rock]], ed in special modo il così detto [[rock progressivo]], si è confrontata con la relazione esistente fra musica e matematica, soprattutto per ciò che riguarda gli aspetti mistico-[[esoterismo|esoterici]] della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L’esempio più emblematico per quanto riguarda questo genere musicale, è la musica dei [[Genesis]] (gruppo progressive rock [[Inghilterra|inglese]]), i quali hanno usato assiduamente la serie fibonacciana per costruire l’architettura armonico-temporale dei loro brani: uno di essi, più significativo in questo senso, è [[Firth of Fifth]], tutto basato su numeri aurei, nel quale, ad esempio ci sono assolo di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, i quali più di qualsiasi altro gruppo si sono ispirati alla sezione aurea, altre band che hanno usato nelle loro composizioni i numeri aurei, anche se più sporadicamente, ad esempio i [[Deep Purple]] nel brano [[Child in Time]].

Recentemente i [[Tool]], interpreti delle atmosfere progressive in un contesto [[Alternative Metal]], hanno utilizzato spesso le sequenze di Fibonacci, un esempio è la canzone ''Lateralus'', tratta dall'[[omonimo Lateralus|album]] del [[2001]], dove le prime parole della canzone sono disposte in versi di (in ordine) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3 sillabe.

L'album ''[[Octavarium]]'' della band [[progressive metal]] statunitense [[Dream Theater]] è interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5, tra loro in sezione aurea e termini consecutivi della sequnza di Fibonacci. Il motivo melodico dell'ultimo brano Octavarium è legato da rapporti armonici in sequenza di Fibonacci; il brano è l'ottava traccia e dura 24 minuti esatti (8x3). Esso è inoltre diviso in 5 movimenti.

==== Letteratura ====

Per quanto possa sembrare stravagante c'è chi ha rintracciato il rapporto aureo pure in letteratura, più specificatamente in [[poesia]]. Ci sarebbero due modi per poterlo rintracciare: come idea ispiratrice dell'opera, oppure come principio organizzatore della struttura ritmica che dona al componimento le sue decantate doti di armonia. Unica opera, tra l'altro a sfondo umoristico, realmente appartenente al primo caso è una poesia del matematico Paul Bruckman intitolata ''Media costante'', pubblicata nel [[1977]] sulla rivista matematica ''[[The Fibonacci quarterly]]'', dove in versi vengono decantate le principali proprietà algebriche del numero, il cui nome viene tradotto per l'occasione in "media aurea".

Riguardo alla seconda possibilità circa la presenza della sezione aurea in poesia, sono state fatte alcune elucubrazioni sulla ''[[Eneide]]'' di [[Publio Virgilio Marone|Virgilio]]; un docente dell'[[università di Princeton]] George Duckworth affermò in un suo saggio<ref>George Duckworth. ''strcturar patterns and proportions in Vergil's Aeneid'', Ann arbor, university of Michigan press, 1962</ref>, edito nel [[1962]], che il poeta latino avrebbe strutturato il testo sezionandolo in parti "minori" e "maggiori" che avrebbero rispettato il rapporto aureo. Ora, Duckworth individua queste parti in modo apparentemente oggettivo, ovvero in base al carattere prevalente del loro contenuto sia questo di dialogo o di narrazione o descrizione; concludendo poi che il numero dei versi è tale da approssimare il rapporto aureo. Nel [[1981]] tali dati vennero rianalizzati da Leonard Curchin e dal matematico Roger Fishler, i quali dimostrarono che l'analisi era innanzitutto viziata da un fatto: che prendendo due numeri disuguali ''M'' (Maggiore) e ''m'' (minore), il rapporto (''M'' + ''m'')/M è più vicino a φ di quanto non lo sia ''M''/''m''; e Duckworth prese a sostegno della propria ipotesi soltanto la prima frazione, escludendo la seconda che avrebbe confutato la sua ipotesi. Inoltre notarono come i dati mostravano dei rapporti in realtà del tutto casuali e soltanto per circostanza vicino al numero aureo o alla serie di Fibonacci.

== Note ==

{{references|2}}

== Bibliografia ==

{{bibliografia|Livio|Mario Livio. ''La sezione aurea'', Milano, Rizzoli, 2003. ISBN 88-17-87201-6}}

* Rocco Panzarino. ''Dio Sezione Aurea Bellezza'', Collana di Filosofia Sapientia 10, Fasano 2005, Schena editore

* Cornelis Jacobus Snijders. ''La sezione aurea: arte, natura, matematica, architettura e musica'', 2^ ed. Padova, Muzzio, 1985. ISBN 88-7021-668-3

* Claudio Lanzi. ''Ritmi e riti: orentamenti e percorsi di derivazione pitagorica'', Simmetria, 2003. ISBN 8887615268

*[[Ugo Adriano Graziotti]]. ''Hermetica Geometria'' Roma, Simmetria 2005

== Voci correlate ==

* [[Successione di Fibonacci]]

* [[Rettangolo aureo]]

* [[Angolo aureo]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

{{Interprogetto|commons=category:Golden ratio}}

== Collegamenti esterni ==

*{{Dmoz|}}

* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html Golden Ratio] su ''[[MathWorld]]''

*[http://www.matematicamente.it/cultura/storia_della_matematica/la_divina_proportione.html La divina proportione] in ''matematicamente.it''

* ''[http://thepiraz.interfree.it/sez_aurea.htm La favola della sezione aurea]''. Sito di approfondimento sulla sezione aurea con un occhio critico rispetto il comune pensiero

{{bibliografia|Zocchi|2=Alessandro Zocchi. ''[http://www.cicap.org/enciclop/at101948.htm La Sezione aurea: Gli esperimenti psicologici per verificare la bellezza del rapporto aureo]''. [[Cicap]], 11 marzo 2005}}

{{bibliografia|Bastioni|2=Manuel Basioni. ''[http://www.unich.it/progettistisidiventa/archivio_lavori_studenti/Bastioni_Aurea.pdf La favola della sezione aurea]'' {{pdf}}, 7 settembre 2001}}

* Guido Carolla. ''[http://www.matematicamente.it/attisantacesarea/Carolla.pdf Il numero aureo ed i suoi sviluppi]'' {{pdf}} 3 aprile 2004

* Carmelo Arena. [http://math.unipa.it/~grim/convreg1_arena_PA.pdf Cinematica e sezione aurea] {{pdf}} 17 settembre 2004

* Nadia Ricchetti ''[http://www.ilparadosso.it/downloads/anno_4_numero_1/articoli/sezione_aurea.pdf La sezione aurea]'' {{pdf}} Il paradosso. 11 ottobre 2006

{{bibliografia|Markowsky|2=George Markowsky, ''[http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf Misconceptions about the Golden]'', in ''The College Mathematicals Journal'', 1992, 23-1.}}

{{Portale|matematica}}

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{{Link AdQ|lmo}}

[[Categoria:Geometria piana]]

[[Categoria:Numeri algebrici]]

[[Categoria:Matematica e arte]]

[[Categoria:Sezione aurea]]

[[Categoria:Anni del II secolo| 081]]

[[ar:الرقم الذهبي]]

[[bar:Goidner Schnitt]]

[[bg:Златно сечение]]

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[[bs:Zlatni rez]]

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[[el:Χρυσή τομή]]

[[en:Golden ratio]]

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[[fi:Kultainen leikkaus]]

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[[nl:Gulden snede]]

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[[pt:Proporção áurea]]

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[[ru:Золотое сечение]]

[[simple:Golden ratio]]

[[sk:Zlatý rez]]

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