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In [[meccanica del continuo]], la '''derivata materiale''', anche detta '''derivata convettiva''', '''derivata sostanziale''' o '''derivata lagrangiana''', descrive il tasso di variazione di una qualche quantità fisica associata ad un elemento di materia soggetto ad un [[campo vettoriale]] dipendente da spazio e tempo. Si tratta di una forma di [[derivata|derivazione]] simile alla [[derivata totale]], e talvolta ne prende il nome. Ad esempio, il campo vettoriale può essere la [[velocità]] delle particelle di un fluido (velocità di [[flusso]]), e la quantità fisica considerata la sua [[temperatura]].
=== [[:Penisola di Purerua]] ===
La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la [[Coordinate euleriane e lagrangiane|descrizioni euleriana e lagrangiana]] di una deformazione continua, e viene utilizzata spesso in [[fluidodinamica]].
<noinclude>{{Cancellazione/Disclaimer}}</noinclude>
{{Cancellazione/proposta|Penisola di Purerua}}
<noinclude>{{DEFAULTSORT:Penisola di Purerua}}</noinclude>
<small>'''La procedura semplificata scade alle 23.59 di martedì 11 giugno 2019.'''</small><br />
<noinclude>[[Categoria:Cancellazioni del 4 giugno 2019]]</noinclude>
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:L'autore non era stato avvisato; l'ho fatto io. --[[Utente:Antonio1952|Antonio1952]] ([[Discussioni utente:Antonio1952|msg]]) 23:39, 4 giu 2019 (CEST)
<noinclude>[[Categoria:Cancellazioni consensuali del 5 giugno 2019]]</noinclude>
==Definizione==
==== Discussione iniziata il [[Wikipedia:Pagine da cancellare/Log/2019 giugno 5#Penisola di Purerua|5 giugno 2019]] ====
La derivata materiale o ''derivata lagrangiana'' di un [[campo scalare]] <math>\varphi (\vec x, t)</math> è definita come:
<noinclude>{{notecancellazione}}</noinclude>
:[[File:Symbol_wait_vote.svg|25px|link=]] <span style="color:red; font-size:90%">La [[Wikipedia:Regole per la cancellazione#Discussione sulla cancellazione (modalità consensuale)|discussione]] per la cancellazione termina ordinariamente entro le 23:59 di '''mercoledì 12 giugno 2019'''. Può eccezionalmente essere prolungata al massimo fino alle 23:59 di '''mercoledì 19 giugno 2019'''.</span> '''Per tutti gli utenti''': [//it.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Pagine_da_cancellare/Penisola_di_Purerua&action=edit§ion=new&preload=Template:Cancellazione/chiusura Proponi una chiusura della procedura]! · [//it.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Pagine_da_cancellare/Penisola_di_Purerua&action=edit§ion=new&preload=Template:Proroga/subst proroga] · <small>'''Per gli [[Wikipedia:Amministratori|amministratori]]''': [//it.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Pagine_da_cancellare/Penisola_di_Purerua&action=edit§ion=new&preload=Template:Votazione avvia la votazione].</small>
* Non sono d'accordo. La voce è scarna sì, come un comune [[Aiuto:Abbozzo|abbozzo]], e l'apparenza di irrilevanza potrebbe risentire a) della trattazione e b) di un punto di vista [[WP:Localismo|italocentrico]]. Elemento geografico come molti altri enciclopedici e voce sufficiente --[[Utente:Erinaceus|Erinaceus]] ([[Discussioni utente:Erinaceus|msg]]) 22:12, 5 giu 2019 (CEST)
:<math>\frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \vec{u}\cdot\nabla \varphi</math>
dove <math>\nabla \varphi</math> è il [[gradiente]] di <math>\varphi</math>, la [[derivata parziale]] <math>\partial \varphi / \partial t</math> è detta ''derivata euleriana'' (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata). Questo tipo di derivazione descrive il trasporto semplice di una quantità scalare o vettoriale con una [[velocità di deriva]] <math>\vec u (\vec x, t)</math>.
La derivata materiale di un [[campo vettoriale]] <math>\vec \psi (\vec x, t)</math> è data da:
:<math>\frac{D\vec{\psi}}{Dt} = \frac{\partial \vec{\psi}}{\partial t} + \vec{u}\cdot\nabla \vec{\psi}</math>
dove <math>\nabla \vec{\psi}</math> è la [[derivata covariante]] di <math>\vec{\psi}</math>.
Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale <math>D\varphi/Dt</math> o <math>D\vec{\psi}/Dt</math>, sia per indicare la derivazione <math>\vec{u}\cdot\nabla \varphi</math> o <math>\vec{u}\cdot\nabla \vec{\psi}</math> delle sole componenti spaziali.
L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta [[avvezione]] per il caso scalare e [[convezione]] per il caso vettoriale. Come esempio per il caso scalare si può considerare una data una quantità scalare <math>\varphi(\vec x, t)</math> in un campo vettoriale <math>\vec v</math> (come la [[velocità]] di un fluido con temperatura <math>\varphi(\vec x, t)</math> in ogni punto <math>\vec x</math> al tempo <math>t</math>). La sua [[derivata totale]] rispetto a <math>t</math>, è espressa attraverso la [[regola della catena]] nella [[velocità]]:
:<math>\frac{d}{d t}(\varphi(\vec x, t)) = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{d \vec x}{d t} \nabla \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \vec v \nabla \varphi</math>
Il vettore:
:<math>\frac{d \vec x}{d t} = \left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}\right)^T</math>
descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino <math>\vec x (t)</math> nello spazio. Se:
:<math>\frac{d \vec x}{d t} = \vec v</math>
la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre <math>d \vec x/d t = 0</math> (cioè la posizione è costante) la derivata totale rispetto a <math>t</math> diventa la derivata parziale rispetto a <math>t</math> (la derivata ottenuta considerando le altre variabili costanti) nella posizione (stazionaria) <math>\vec x</math>.
==Coordinate ortogonali==
In un sistema di coordinate ortogonali, la componente j-esima della convezione è data da:<ref>{{Cita web
| url = http://mathworld.wolfram.com/ConvectiveOperator.html
| titolo = Convective Operator
| autore = Eric W. Weisstein
| editore = [[MathWorld]]
| accesso=22 luglio 2008
}}</ref>
:<math>[\mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u}]_j =
\sum_i \frac{v_i}{h_i} \frac{\partial u_j}{\partial q^i} + \frac{u_i}{h_i h_j}\left(v_j \frac{\partial h_j}{\partial q^i} - v_i \frac{\partial h_i}{\partial q^j}\right)
</math>
in cui:
:<math>h_i=\sqrt{g_{ii}}</math>
con <math>g_{ii}</math> il [[tensore metrico]].
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
*{{en}}{{Cita libro | nome=G.K. | cognome=Batchelor | titolo=An Introduction to Fluid Dynamics | anno=1967 | editore=Cambridge University Press | pagine=72–73| isbn=0-521-66396-2 }}
*{{en}}{{Cita libro | nome=K. E. | cognome=Trenberth | titolo=Climate System Modeling | anno=1993 | editore=Cambridge University Press | pagine=99 | isbn=0-521-43231-6 }}
*{{en}}{{Cita libro | cognome=Emanuel | nome=G. | titolo=Analytical fluid dynamics | editore=CRC Press | anno=2001 | edizione=second |pagine=6–7 | isbn=0-8493-9114-8 }}
*{{en}} {{Cita libro
|nome=G.J.|cognome=Sussman|nome2=J.|cognome2=Wisdom|nome3=M.E.|cognome3=Mayer
|titolo=Structure and Interpretation of Classical Mechanics|editore=MIT Press
|url=http://mitpress.mit.edu/SICM/book-Z-H-13.html#%_sec_Temp_122|capitolo= 1.6 How to Find Lagrangians}}
* {{en}}{{Cita libro
|nome=Ira M.|cognome=Cohen|nome2=Pijush K|cognome2=Kundu
|titolo=Fluid Mechanics|editore=Academic Press|edizione=4|isbn=978-0-12-373735-9}}
* {{en}}{{Cita libro|nome=Michael|cognome=Lai|nome2=Erhard|cognome2=Krempl|nome3=David|cognome3=Ruben
|titolo=Introduction to Continuum Mechanics|editore=Elsevier|edizione=4|isbn=978-0-7506-8560-3}}
==Voci correlate==
*[[Coordinate euleriane e lagrangiane]]
*[[Derivata]]
*[[Derivata covariante]]
*[[Derivata totale]]
*[[Gradiente]]
== Collegamenti esterni ==
*{{MathWorld|ConvectiveDerivative|Convective Derivative}}
* {{en}} http://www.sv.vt.edu/classes/ESM4714/methods/df2D.html
{{Portale|matematica|meccanica}}
[[Categoria:Calcolo a più variabili]]
[[Categoria:Operatori differenziali]]
[[Categoria:Fluidodinamica]]
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