Pi greco e Lorenzo Campani: differenze tra le pagine

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{{Artista musicale

{{nota disambigua|altri significati|[[Pi (disambigua)]]}}

|nome = Lorenzo Campani

{{Costante

|immagine = Lorenzo_Campani.jpg

|nomealt = Pi greco

|tipo artista = Cantautore

|simbolo = {{simbolo|Pi-symbol.svg|18}}

|nazione = Italia

|valore = [[File:PI (comma).svg|120px]]

|post nazione = [[Reggio nell'Emilia]]

|campo = trascendenti

|genere = Rock

|fcont = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, …]

|genere2 = Pop rock

|oeisfcont = A001203

|genere3 = Musica d'autore

|insieme = trascendenti

|genere4 = Sigla musicale

|correlate = [[Costante di Gelfond]], [[Costanti zeta]]

|categorizza per genere =

|immagine = [[File:Pi-unrolled-720.gif|300px]]

|anno inizio attività = 1996

|didascalia = Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di una ruota e il suo diametro è π

|anno fine attività = in attività

|categoria = Pi greco

|didascalia = Lorenzo live nel 2013

|url = http://www.lorenzocampani.it

|band precedenti = Frontiera, SolieriGang, New Era, Clan Destino, Lolliz

|numero totale album pubblicati = 7

|numero album studio = 5

|numero album live = 2

}}

{{Bio

Il '''Pi greco''' è una [[costante matematica]], indicata con la lettera greca <math>\pi</math> (''[[Pi (lettera greca)|pi]]''), scelta in quanto iniziale di περιφέρεια (perifereia), [[circonferenza]] in greco.

|Nome = Lorenzo

|Cognome = Campani

|Sesso = M

|LuogoNascita = Reggio nell'Emilia

|GiornoMeseNascita = 24 febbraio

|AnnoNascita = 1973

|LuogoMorte =

|GiornoMeseMorte =

|AnnoMorte =

|Attività = cantautore

|Nazionalità = italiano

}}

È la voce principale dei New Era, gruppo formato da ex allievi del CET (Centro Europeo di Toscolano) sotto la supervisione di [[Mogol]]. È inoltre la voce della SolieriGang, gruppo fondato da [[Maurizio Solieri]]. Fa parte del cast dell'opera popolare ''[[Notre-Dame de Paris (spettacolo musicale)|Notre Dame De Paris]]'', ricoprendo i ruoli di Quasimodo e Clopin. È stato anche semifinalista nel talent ''[[The Voice of Italy]]''. È stato il leader dei Frontiera, gruppo da lui fondato, con cui ha inciso due album e aperto i concerti di due tour di [[Vasco Rossi]]. Ha inciso inoltre un album da solista e uno con i [[Clan Destino]] (ex band di [[Luciano Ligabue]]).

== Biografia ==

Nella [[geometria euclidea|geometria piana]] <math>\pi</math> viene definito come il [[rapporto]] tra la lunghezza della [[circonferenza]] e quella del suo [[diametro]], o anche come l'[[area]] di un [[cerchio]] di [[Raggio (geometria)|raggio]] <math>1</math>. Molti libri moderni di [[analisi matematica]] definiscono <math>\pi</math> usando le [[Funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]: per esempio come il più piccolo [[numero]] strettamente positivo per cui <math>\sin(x)=0</math> oppure il più piccolo numero che diviso per <math>2</math> annulla <math>\cos(x)</math>. Tutte queste definizioni sono equivalenti.

Inizia la sua attività a livello professionistico intorno alla metà degli anni '90, quando con [[Dino Melotti]], incide un promo dance per la Spagna. Nel 1996 partecipa alle ultime prefinali di [[Festival di Castrocaro|Castrocaro]].

Entra a far parte della cover band dei Lolliz, con la quale porta avanti l'attività negli anni seguenti.<ref>{{Cita web |url=http://www.maestrimusic.com/lolliz.htm |titolo=Biografia Lolliz |accesso=9 marzo 2017 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20050223215526/http://www.maestrimusic.com/lolliz.htm |dataarchivio=23 febbraio 2005 |urlmorto=sì }}</ref><ref>[http://www.gazzettadiparma.it/news/band-di-provincia/168079/Lolliz.html Lolliz "Tutti per uno e uno per tutti": attorno a Lorenzo un gruppo di moschettieri per musica a 360 gradi]</ref>

Tra il 2006 ed il 2007 fa parte della tribute band dei [[Queen]]: ''Queen & The Choir''.<ref>[http://www.giorgiosantisi.com/queenweb/queen3.htm Queen & The Choir] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090610151742/http://www.giorgiosantisi.com/queenweb/queen3.htm |data=10 giugno 2009 }}</ref>

Il <math>\pi</math> è conosciuto anche come '''costante di [[Archimede]]''' (da non confondere con i [[numero di Archimede|numeri di Archimede]]) e '''costante di [[Ludolph van Ceulen|Ludolph]]''' o '''numero di Ludolph'''. Il <math>\pi</math> non è una [[costante fisica]] o [[natura]]le, ma una [[costante matematica]] definita in modo astratto, indipendente da misure di carattere fisico.

Nel 2009 canta la sigla di apertura della serie di cartoni animati ''[[Huntik]]'', prodotti dalla [[Rainbow (azienda)|Rainbow]].

Le prime 100 cifre [[Sistema numerico decimale|decimali]] di <math>\pi</math> sono<ref>{{OEIS|A000796}}</ref><ref>http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314159.html</ref>:

Nel 2012 quella del videogioco della [[Nintendo DS]] ''[[Inazuma Eleven 2]]''.

:3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…

Nel 2014 quella della serie di cartoni animati Zazì, trasmessa da [[Disney Junior (Italia)|Disney Junior]].

Nel 2015 quelle per i festeggiamenti del 40º anniversario del parco di divertimenti italiano di [[Gardaland]] e per il 20º anniversario di quello spagnolo di [[PortAventura Park]].

=== I Frontiera (2004-2008) ===

== Proprietà ==

Fonda successivamente i "Frontiera", composti da Jonathan Gasparini (chitarra), Dario Vezzani (basso), Damiano Trevisan (batteria) e Fulvio Ferrari (tastiere) con la collaborazione di Andrea Righi in veste di produttore artistico.<ref>{{collegamento interrotto|1=[http://www.playmusic.it/detail/2471/i-frontiera.html I Frontiera] |date=marzo 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref>{{collegamento interrotto|1=[http://www.cassiopeamusic.com/portfolio-it.htm?portfolio=11&sezione=biografia Biografia - I Frontiera] |date=marzo 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

{{Vedi anche|Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea}}

[[File:Squaring the circle.svg|thumb|upright=0.7|Poiché π è un [[numero trascendente]], [[Quadratura del cerchio|quadrare il cerchio]] non è possibile in un numero finito di passi usando [[Riga (strumento)|riga]] e [[Compasso (strumento)|compasso]].]]

Nell'autunno esce l'album d'esordio dei Frontiera, ''Passport'', prodotto da Roberto Casini ed edito da Cassiopea Music.

<math>\pi</math> è un [[numero irrazionale]], quindi non può essere scritto come quoziente di due [[Numero intero|interi]], come dimostrato nel [[1761]] da [[Johann Heinrich Lambert]]. Inoltre, è un [[numero trascendente]] (ovvero non è un [[numero algebrico]]): questo fatto è stato provato da [[Ferdinand von Lindemann]] nel [[1882]]. Ciò significa che non ci sono [[polinomio|polinomi]] con coefficienti [[Numero razionale|razionali]] di cui <math>\pi</math> è radice, quindi è impossibile esprimere <math>\pi</math> usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.

Nell'estate 2007 i Frontiera sono nuovamente chiamati da [[Vasco Rossi]] come [[band di supporto]] per il "[[Tour di Vasco Rossi#Vasco Live 2007 (2007)|Vasco Live 2007]]". Apriranno un totale di 26 concerti.<ref>[http://gazzettadireggio.gelocal.it/cronaca/2007/06/19/news/vasco-sceglie-i-frontiera-1.416566 Vasco sceglie i Frontiera]</ref>

Questo risultato stabilisce l'impossibilità della [[quadratura del cerchio]], cioè la costruzione con riga e compasso di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

Dopo l'uscita di un EP, nel 2008 esce il secondo album dei Frontiera dal titolo ''[[Live 08 Inedito]]'', composto da inediti registrati dal vivo.

=== Notre Dame de Paris (2011-2012, 2016-2017) ===

Nel 2012 e nel 2013 [[Riccardo Cocciante]] lo chiama per le tournée estive del suo spettacolo ''Cocciante Canta Cocciante'', durante il quale vengono riproposti i brani di maggior impatto dell'opera.<ref>[http://gazzettadireggio.gelocal.it/cronaca/2013/07/28/news/lorenzo-campani-debutto-d-oro-con-cocciante-1.7496479 Lorenzo Campani debutto d’oro con Cocciante]</ref>.

Torna a rivestire i panni di [[Clopin Trouillefou|Clopin]] anche nel 2014, durante un'esibizione all'[[Arena di Verona]] trasmessa in [[Eurovisione]] su [[Rai 1|RaiUno]], insieme ad altri attori dei vari cast internazionali del musical.

== Applicazioni ==

=== Geometria analitica ===

* La [[circonferenza]] di un [[cerchio]] o di una [[sfera]] di raggio <math>r</math>:

:<math> C = 2{\pi} r </math>

* L'[[area]] di un cerchio di raggio <math>r</math>:

:<math> A = {\pi} {r^2} </math>

* L'area di un'[[ellisse]] di semiassi <math>a</math> e <math>b</math>:

:<math> A = {\pi}ab </math>

* Il [[volume]] di una [[sfera]] di raggio <math>r</math>:

:<math> V = \frac{4}{3} {\pi} {r^3} </math>

* La [[superficie]] di una sfera di raggio <math>r</math>:

:<math> S = 4 {\pi} {r^2} </math>

* Il [[volume]] di un [[cilindro (geometria)|cilindro]] di altezza <math>h</math> e raggio <math>r</math>:

:<math> V = {\pi} {r^2} h </math>

* L'area della superficie di un cilindro di altezza <math>h</math> e raggio <math>r</math>:

:<math> S = 2{\pi}r \cdot (r+h)</math>

* [[Angolo|Angoli]]: 180 [[grado d'arco|gradi]] equivalgono a <math>\pi</math> [[radiante|radianti]].

* Il [[volume]] di un cono di altezza ''h'' e raggio ''r'':

:<math> V = {\pi} {r^2} \frac{h}{3} </math>

Nel 2016 e nel 2017 fa di nuovo parte del cast, ancora nel doppio ruolo di [[Clopin Trouillefou|Clopin]] (in alternanza con Leonardo Di Minno) e [[Quasimodo (personaggio)|Quasimodo]] (in alternanza con [[Giò Di Tonno]]).<ref>[http://www.2duerighe.com/i-due-oboli-teatro-e-spettacolo/68296-notre-dame-de-paris-2016-ecco-il-secondo-cast.html Notre Dame de Paris 2016: annunciato il secondo cast in scena]</ref><ref>[http://www.radiodanza.it/notre-dame-de-paris-debutta-milano-3-marzo/ “Notre Dame de Paris” debutta a Milano il 3 marzo]</ref>

=== Analisi ===

* [[Formula di Viète]], [[1593]]:

=== Carriera solista e The Voice of Italy (2012-presente) ===

::<math>2 \cdot

Nell'aprile del 2012 esce il suo primo album da solista intitolato ''[[La mia metà]]'' composto interamente da inediti scritti autografi ed arrangiati dall'autore insieme ad un team di musicisti composto da Renato Droghetti, Stefano Peretto, Giorgio Santisi, Luca Longhini, Marco Dirani e Cristian Bagnoli.<ref>[http://dietrolequinte.blogosfere.it/2012/05/lorenzo-campani-il-clopin-di-notre-dame-ha-fatto-un-cd.html Lorenzo Campani: il Clopin di Notre Dame ha fatto un cd]</ref>

\frac {2}{\sqrt2} \cdot

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}} \cdot

Nel 2013 partecipa alla prima edizione del programma televisivo di [[RaiDue]] ''[[The Voice of Italy]]''<ref>[http://www.thevoiceofitaly.rai.it/dl/portali/site/personaggio/ContentSet-16aedaf4-5e5a-4387-b9ab-2a2260a363a9-list.html?ContentItem-c9c53ad7-d186-4cbb-baee-052b9efbbcbc The Voice of Italy - Scheda di Lorenzo Campani]</ref>, arrivando fino alla semifinale del programma, durante [[The Voice of Italy (prima edizione)#Tabella eliminazioni|la fase dei Live Show]].

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}} \cdot \ldots = \pi </math>

Nell'estate parte in tournée col suo live "Opentour 2013" che anticipa l'uscita del singolo ''La sera dei miracoli''.

Sempre nel 2013 partecipa all'album natalizio ''Mario Christmas'' di [[Mario Biondi (cantante)|Mario Biondi]].

Il 12 maggio 2015 torna al progetto solista con l'uscita del singolo ''Dovunque tu sei'', accompagnato da un videoclip di cui cura anche la sceneggiatura. La regia è di Beppe Platania.<ref>[http://www.allmusicitalia.it/news/lorenzo-campani-dal-12-maggio-in-radio-con-dovunque-tu-sei.html LORENZO CAMPANI: DAL 12 MAGGIO IN RADIO CON “DOVUNQUE TU SEI]</ref>

* [[Formula di Leibniz per pi|Formula di Leibniz]]:

Nel dicembre del 2015 partecipa come vocalist al tour italiano di [[Will Hunt]], batterista degli [[Evanescence]] e di [[Vasco Rossi]].<ref>[http://www.bolognatoday.it/eventi/concerti/will-hunt-bologna-dicembre-bravo-caffe.html]</ref>

::<math> \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} </math>

:dalla quale si ricava che:

::<math> \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{5\cdot7} + \frac{1}{9\cdot11} + \frac{1}{13\cdot15} + \frac{1}{17\cdot19} + \cdots = \frac{\pi}{8} </math>

Il 10 marzo 2016 esce il singolo ''Scappiamo Adesso'', una collaborazione con il rapper [[Maxi B]], che ottiene un ottimo riscontro radiofonico.<ref>[http://www.meiweb.it/scappiamo-adesso-di-lorenzo-campani-feat-maxi-b/ "Scappiamo adesso" di Lorenzo Campani feat. Maxi B] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160529203932/http://www.meiweb.it/scappiamo-adesso-di-lorenzo-campani-feat-maxi-b/ |data=29 maggio 2016 }}</ref><ref>[http://www.rockol.it/news-655844/absolute-beginners-radio-airplay-chart-lorenzo-campani-numero Absolute Beginners Radio Airplay Chart: la "Scappiamo adesso" di Lorenzo Campani per la 4ª settimana in vetta]</ref>

* Formula di [[Nilakantha Somayaji|Nilakantha]]

Il 14 febbraio 2017 esce il singolo ''Basta'', una collaborazione con la cantautrice [[Claudia Megrè]].<ref>[http://www.meiweb.it/audiocoop-promuove-esce-basta-il-singolo-di-lorenzo-campani-feat-claudia-megre/ Esce “Basta”, il singolo di Lorenzo Campani feat. Claudia Megrè] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170221110113/http://www.meiweb.it/audiocoop-promuove-esce-basta-il-singolo-di-lorenzo-campani-feat-claudia-megre/ |data=21 febbraio 2017 }}</ref>

:<math>\frac{1}{1\cdot2\cdot3} - \frac{1}{2\cdot3\cdot5} + \frac{1}{3\cdot4\cdot7} - \frac{1}{4\cdot5\cdot9} + \dots = \pi - 3</math>

:Una serie molto elegante, che fornisce direttamente le cifre decimali di <math>\pi</math>.

=== Con la Solieri Gang (2013-presente) ===

* Formula di [[Madhava di Sangamagrama|Madhava]] (circa [[1400]])

Dopo essere stato per anni la voce nei concerti del chitarrista [[Maurizio Solieri]] (chitarra storica di [[Vasco Rossi]]), viene scelto come cantante per il concerto reunion della [[Steve Rogers Band]], tenutosi il 7 dicembre 2013 al Viper Theatre di Firenze.<ref>[http://portalegiovani.comune.fi.it/pogio/jsp/rubriche_publish/giovanireporter_dettaglio.jsp?ID_REC=8008 La Steve Rogers Band infiamma Firenze]</ref> La collaborazione continua, e [[Maurizio Solieri|Solieri]] lo sceglie anche come voce del nuovo progetto della [[SolieriGang]]; la band vede al basso Max Gelsi, alle tastiere [[Mimmo Camporeale]] e alla batteria Ivano Zanotti. Campani scrive i testi per il primo EP della band, “Non si muore mai”, uscito nel marzo del 2014, curandone anche le grafiche ed il video di lancio dell'omonimo singolo.<ref>[http://www.rockol.it/news-583710/maurizio-solieri-intervista-solieri-gang-non-si-muore-mai Maurizio Solieri, 'Non si muore mai' e la Solieri Gang: 'Un disco fatto in casa']</ref><ref>[http://www.rockol.it/news-579883/solieri-gang-18-marzo-ep-non-si-muore-mai Solieri Gang: esce il 18 marzo l’EP 'Non si muore mai']</ref>

=== Collaborazione con Mogol (2014-presente) ===

:<math>

Nella primavera del 2014 viene scelto da [[Mogol]] per il suo nuovo progetto di tributo a [[Lucio Battisti]], intitolato ''[[Le canzoni di Mogol Battisti in versione rock New Era]]''; è una raccolta dei loro brani di successo rivisitati in chiave rock contemporaneo con la band New Era, uscita il 18 novembre dello stesso anno.<ref>[http://gazzettadireggio.gelocal.it/cronaca/2014/05/29/news/mogol-ha-trovato-il-suo-nuovo-battisti-e-lorenzo-campani-1.9324058 Mogol ha trovato il suo “nuovo” Battisti, è Lorenzo Campani]</ref><ref>[http://ricerca.repubblica.it/repubblica/archivio/repubblica/2014/10/08/mogol-riscrive-battisti-i-nostri-pezzi-diventano-rock-in-stile-coldplay52.html Mogol riscrive Battisti "I nostri pezzi diventano rock in stile Coldplay"]</ref><ref>[http://www.adnkronos.com/intrattenimento/spettacolo/2014/11/17/mogol-miei-successi-con-battisti-rivivono-chiave-rock-nella-new-era_3vwg5wQTK89d8Kwr3XtTPP.html Mogol, i miei successi con Battisti rivivono in chiave rock nella 'New Era']</ref> Il 13 febbraio 2015, a [[Sanremo]], l'album ha ricevuto il premio REA (''Radiotelevisioni Europee Associate'') come miglior cd dell'anno 2014.<ref>{{Cita web|autore = |url = http://www.ilvelino.it/it/article/2015/02/13/mogol-ho-speso-tutti-i-miei-risparmi-per-i-giovani-ma-la-situazione-della-cultura-musicale-e-grave/d7195b19-b888-47c6-ac65-7f69e2ee98eb/|titolo = Premio REA per l'anno 2014|accesso = |editore = ilVelino/AGV NEWS|data = 13 febbraio 2015}}</ref>

\pi = \sqrt{12}\left( 1 - \frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{3^2\cdot 5} -\frac{1}{3^3\cdot 7} + \cdots\right)

</math>

== Discografia ==

* [[Prodotto di Wallis]]:

=== Solista ===

::<math>

* [[2012]] – ''[[La mia metà]]'' ([[Jaywork]]/[[Saifam]]/[[Halidon]])

\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}

* [[2013]] – ''La sera dei miracoli'' (singolo)

</math>

* [[2015]] – ''Dovunque tu sei'' (singolo) (Nadir Music srl/Edizioni Chiasso dal Fosso)

* [[2016]] – ''Scappiamo Adesso'' (singolo) feat. [[Maxi B]] (Nadir Music srl/Edizioni Chiasso dal Fosso)

* [[2017]] – ''[[Basta (Lorenzo Campani)|Basta]]'' (singolo) feat. [[Claudia Megrè]] (Nadir Music srl/Edizioni Chiasso dal Fosso)

* [[2018]] – ''Generazione Gardaland'' (singolo) (Audiofficina)

* [[2018]] – ''Come Jon Snow'' (singolo) (Smilax Publishing srl/Lion Music)

* [[2018]] – ''Dai un pugno nel muro'' (singolo) feat. [[Reyli Barba]] (Smilax Publishing srl/Lion Music)

* [[2018]] – ''Che mondo vuoi'' (Smilax Publishing srl/Lion Music)

=== Con i Frontiera ===

* Il [[problema di Basilea]]:

==== Album ====

::<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} </math>

* [[2005]] – ''Passport'' ([[Cassiopea (casa discografica)|Cassiopea]])

:risolto da [[Eulero]].

* [[2008]] – ''[[Live 08 Inedito]]'' ([[Selvaggia Edizioni]]/[[Bollicine Ed.]]/[[Warner Chappell]]/[[Cassiopea (casa discografica)|Cassiopea]])

==== EP ====

* Un'altra formula che usa la [[funzione zeta di Riemann]]:

* [[2008]] – ''[[Frontiera - EP]]'' ([[Varen Music Agency]])

::<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

=== Con i Club Destino ===

* [[2007]] – ''[[Registrazioni clandestine]]'' ([[Riservarossa Records]]/[[Warner Music Italia]])

=== Con la SolieriGang ===

* [[2014]] – ''[[Non si muore mai]]'' ([[Ala Bianca]])

=== Con i New Era ===

* Il [[Formula prodotto di Eulero|prodotto di Eulero]]

* [[2014]] – ''[[Le canzoni di Mogol Battisti in versione rock New Era]]'' ([[Avventura Records]])

=== Partecipazioni ===

::<math>\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^2}\right)} \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>

* [[2013]] – ''[[The Voice of Italy - The Best of Battles]]'' con “[[The Show Must Go On (Queen)|The Show Must Go On]]” ([[Universal Music]])

:dove il prodotto percorre tutti i numeri primi.

* [[2013]] – ''[[The Voice of Italy - The Live Shows]]'' con “Insieme a Te Sto Bene” ([[Universal Music]])

* [[2013]] - ''[[Mario Christmas]]'' con ''Have Yourself a Merry Little Christmas'' (album di [[Mario Biondi (cantante)|Mario Biondi]])

* L'[[integrale di Gauss]]:

::<math> \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} </math>

* L'[[integrale di Eulero]]

::<math>\int_{-\infin}^{+\infin}e^{\frac{-u^2}{2}}du = \sqrt{2\pi}</math>

* I seguenti [[Tavola degli integrali definiti|integrali definiti]]

::<math> \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+{x^2}}\, dx = \pi </math>

::<math>\int_0^{+\infty}{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math>

::<math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

::<math>\int_0^{r}\sqrt{r^2 - x^2}dx=\frac{\pi r^2}{4}</math>

* L'[[integrale di Fresnel]]

::<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin (x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>

* La [[Funzione Gamma|funzione gamma]]:

::<math> \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

::<math>\Gamma\left({3 \over 2}\right)=\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

</math>

* L'[[approssimazione di Stirling]]:

::<math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n </math>

* La [[Funzione φ di Eulero|funzione phi di Eulero]]:

::<math>\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>

* L'[[identità di Eulero]]:

::<math> e^{\pi i} + 1 = 0\; </math>

:definita da [[Richard Feynman]] «la più notevole formula della matematica».

* [[Prodotto infinito]] di [[Eulero]] con i [[numero primo|numeri primi]] dispari:

::<math> \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{11}{12} \times \frac{13}{12} \times \frac{17}{16} \times \frac{19}{20} \times \frac{23}{24} \times \frac{29}{28} \times \frac{31}{32} \times \cdots \! </math>

:dove al numeratore vi sono tutti i numeri primi dispari e al denominatore il multiplo di quattro più vicino al numeratore.

:Una formula notevole che dimostra, come il [[Formula prodotto di Eulero|prodotto di Eulero]], la sorprendente relazione tra pi greco e i numeri primi. È però di [[convergenza]] molto lenta e quindi inadatta al calcolo dei decimali di <math>\pi</math>.<ref>Un calcolo col programma [[Mathematica]] ha dato i seguenti risultati: 1&nbsp;000 termini 3,1458…; 10&nbsp;000 termini 3,1424…; 100&nbsp;000 termini 3,1417…</ref>

* Formula basata sulla [[serie armonica]], con "correzione" dei segni ([[Eulero]], [[1748]])

::<math> \pi = {{1}} + \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{5}} + \frac{{1}}{{6}} + \frac{{1}}{{7}} + \frac{{1}}{{8}} + \frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{10}} + \frac{{1}}{{11}} + \frac{{1}}{{12}} - \frac{{1}}{{13}} + \cdots </math>

: dove i segni si determinano come segue: il numero <math>2</math> ha segno positivo; i numeri primi della forma <math>4m-1</math> hanno segno positivo; i numeri primi della forma <math>4m+1</math> hanno segno negativo; per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori.<ref>[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]], ''[[Storia della matematica (Boyer)|Storia della matematica]]'', Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21.</ref>

:Anche questa serie, pur molto notevole ed elegante, è di convergenza estremamente lenta. Occorre infatti sommare oltre 2 milioni di termini per ottenere due decimali esatti.<ref>Alcuni risultati ottenuti col programma ''Mathematica'': 1&nbsp;000 termini 3,0603…; 5&nbsp;000 termini 3,1027…; 50&nbsp;000 termini 3,1324…; 500&nbsp;000 termini 3,1379…; 2 milioni di termini 3,1398…; 3 milioni di termini 3,1404…</ref>

* Formula ricavata da quella di [[Serie di Taylor|Taylor]], sempre di [[Eulero]]:

::<math> \pi = {{4}} \times \left( {{1}} - \frac{{1}}{{n}} + \frac{{1}}{{n+2}} - \frac{{1}}{{n+4}} + \frac{{1}}{{n+6}} - \dots \right) </math>

:dove n = 3. Più frazioni si aggiungono più il risultato è preciso.

* Il [[teorema dei residui]]:

::<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i</math>

* La frazione continua di [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]]:

::<math>\sqrt{\phi^2+1} = \phi+ \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}} </math>

:dove ''<math>\phi</math>'' è il [[Sezione aurea|rapporto aureo]] (<math>1,618\dots</math>).

* La frazione continua generalizzata (o frazione frattale) di Ramanujan

:<math> 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 + {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e}\pi}2}.</math>

* Pi greco è il risultato di una formula che lega la [[costante di Eulero-Mascheroni]] e la [[Funzione Gamma|funzione gamma]]:

:<math>\pi=\left({\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(2\gamma)\Gamma(1/2-\gamma)}+\frac{2\Gamma(1-2\gamma)}{\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1/2-\gamma)}}\right)^2 \left(\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(1/2 - \gamma/ 2)}{\Gamma(\gamma /2)}\right)^4</math>

* Data una semicirconferenza di raggio <math>r</math> centrata nell'origine del piano cartesiano, <math>\pi r</math> è definibile come [[curva piana#Lunghezza in forma cartesiana esplicita|lunghezza in forma cartesiana esplicita]] su tutto il dominio della funzione che descrive la semicirconferenza:

::<math>f\left( x\right) := \sqrt{r^2 - x^2} </math>

::<math>

\pi = \frac{1}{r}\int_{- r}^{r} \sqrt{\left(\frac{d}{dx} f\left(x\right)\right)^2 + 1}\, dx</math>

::<math>= \frac{1}{r}{\int_{- r}^{r} \sqrt{\frac{x^2}{r^2 - x^2} + 1}\, dx}</math>

::<math>= [{\arcsin\left(1\right) - \arcsin\left(-1\right)]}</math>

=== Teoria dei numeri ===

* La [[probabilità]] che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di: <math>\frac{6}{\pi^2}</math> (≈60,8%)

* Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due [[quadrato perfetto|quadrati perfetti]] è: <math>\frac{\pi}{4}</math>.

=== Sistemi dinamici, teoria ergodica ===

* <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} </math> per quasi tutti i [[Numero reale|reali]] <math>x_0</math> in <math>[0, 1]</math> dove gli <math>x_i</math> sono iterazioni della [[mappa logistica]] per <math>r=4</math>.

=== Probabilità e statistica ===

* La [[funzione di densità di probabilità]] nella [[distribuzione normale]] univariata.

::<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math>

*[[Georges-Louis Leclerc de Buffon|Buffon]] fu il primo a scoprire un [[equivalente statistico]] del calcolo di <math>\pi</math>, noto come [[ago di Buffon]], ma non lo impiegò per stimare il numero.<ref>Fu [[Augustus de Morgan|de Morgan]] che cento anni dopo con alcuni suoi studenti utilizzò stimò pi greco col metodo dell'ago: con 600 lanci ottenne 382 casi favorevoli, ricavando <math>\pi</math> di 3,14. Il metodo ha però convergenza lenta: per trovare la terza cifra decimale occorrono decine di migliaia di lanci.</ref>

=== Aerodinamica ===

* La massima pendenza ([[teoria di Glauert]]) del tratto lineare della curva <math>C_{L} / \alpha </math> (ovvero [[Portanza|coefficiente di portanza]] diviso l'[[Angolo di incidenza (fluidodinamica)|angolo di incidenza]]) per qualsiasi profilo alare bidimensionale sottile è <math>2 \pi</math>.

=== Fisica ===

* [[pendolo|Periodo delle piccole oscillazioni del pendolo]]

::<math>T = 2 \pi \sqrt \frac {l}{g}</math>

* Equazione di campo di Einstein della [[relatività generale]]

::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>

* [[Forza di Coulomb]]

::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2} </math>

* [[Principio di indeterminazione di Heisenberg]]

::<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>

La presenza, però, di <math>\pi</math> in queste due ultime formule è conseguenza della definizione adottata per le costanti fisiche <math>\epsilon_0</math> e <math>h</math>.

== Frazioni continue ==

Come ogni numero irrazionale, &pi; non può essere espresso come una frazione di due numeri interi, ma ammette una rappresentazione come [[frazione continua]]<ref name="ReferenceA">

{{OEIS|A001203}}</ref>

:<math>

\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>

Troncando la frazione continua in un qualunque punto si ottengono le [[Frazione continua#Approssimazioni razionali|approssimazioni razionali]] di &pi;, di cui le prime sono 3, 22/7, 333/106 e 355/113, le più conosciute e storicamente usate approssimazioni di &pi;. La frazione continua di &pi; non è periodica (in quanto &pi; non è un numero [[irrazionale quadratico]]) né possiede una ovvia struttura,<ref name="ReferenceA" /> tuttavia vari matematici hanno scoperto delle rappresentatazioni come [[frazione continua generalizzata|frazioni continue generalizzate]] che seguono un chiaro schema:<ref>{{cita pubblicazione|titolo=An Elegant Continued Fraction for &pi;|nome=L. J.|cognome=Lange|rivista=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|numero=5| data=May 1999 |pp=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152}}</ref>

:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}

=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}

=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}.</math>

:<math>2\pi = {6 + \frac{2^2}{12 + \cfrac{6^2}{12 + \frac{10^2}{12+ \frac{14^2}{12 + \frac{18^2}{12 + \ddots}}}}}}.</math>

== Approssimazioni numeriche ==

[[File:10,000 digits of pi - poster.svg|thumb|Prime {{formatnum:10000}} cifre decimali di ''pi greco''.]]

A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano <math>\pi</math>. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 è sufficiente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

:<math> \pi \simeq 3{,}14159\ 26535\ 8979\dots</math>

Uno scriba egizio di nome [[Ahmes]] è lo scrittore del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di <math>\pi</math>, il [[papiro di Rhind]], datato al XVII secolo a.C. e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.

[[Archimede]] elaborò un metodo con cui è possibile ottenere approssimazioni comunque buone di <math>\pi</math> e lo usò per dimostrare che è compreso tra 223/71 e 22/7 (la media dei due valori è circa 3,1419).

Il matematico cinese [[Liu Hui]] calcolò <math>\pi</math> come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 e suggerì 3,14 come buona approssimazione.

Il matematico e astronomo cinese [[Zu Chongzhi]] calcolò nel V secolo <math>\pi</math> come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di <math>\pi</math>: 355/113 e 22/7.

Il matematico e astronomo iraniano [[Al-Kashi|Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi]], 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di <math>\pi</math>, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:

:<math>2\pi = 6,2831853071795865</math>

Il matematico tedesco [[Ludolph van Ceulen]] (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.

Il matematico e gesuita polacco [[Adam Adamandy Kochański]] espose in un suo trattato del 1685 una [[Approssimazione di Kochański|costruzione geometrica]] che consente di calcolare un valore approssimato di <math>\pi</math> corretto fino alla quarta cifra decimale.

Il matematico sloveno [[Jurij Vega]] nel [[1789]] calcolò le prime 140 cifre decimali di <math>\pi</math>, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al [[1841]], quando [[William Rutherford]] calcolò 208 cifre decimali di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula proposta da [[John Machin]] nel [[1706]].

Altre possibili approssimazioni di <math>\pi</math>:

:<math>\pi\approx\frac{\sqrt{2}}{10}+3 = 3{,}14142 \dots </math>

:<math> \sqrt[2]{\frac{227}{23}} = 3{,}14158 \dots </math>

:<math> \sqrt[3]{31} = 3{,}1413 \dots </math>

:<math> \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3{,}14159\ 26525 \dots </math>

:<math> \sqrt[5]{306} = 3{,}14155 \dots </math>

:<math> \sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3{,}1415924 \dots </math>

Tuttavia, nessuna delle formule sopraelencate può fornire un efficiente metodo per l'approssimazione di <math>\pi</math>. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} </math>

Insieme con l'espansione delle [[serie di Taylor]] per la funzione <math>\arctan(x)</math>. Questa formula si può verificare facilmente usando le [[Sistema di coordinate polari|coordinate polari]] dei [[Numero complesso|numeri complessi]], partendo da:

:<math>(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244 \, i.</math>

Formule di questo genere sono note come ''formule di tipo Machin''.

Espansioni decimali molto lunghe di <math>\pi</math> sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legendre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel [[1976]].

L'elenco del primo milione di cifre di <math>\pi</math> e di <math>1/\pi</math> si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina).

Nel dicembre [[2002]] il calcolo è arrivato a {{formatnum:1241100000000}} cifre ({{Exp|1,2411|12}}), calcolate nel settembre [[2002]] da [[Yasumasa Kanada]] su un [[supercomputer]] [[Hitachi (azienda)|Hitachi]] a 64 nodi con un [[Byte|terabyte]] di memoria principale, in grado di compiere 2 miliardi di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre).

Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

:<math> \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math>

:K. Takano ([[1982]]).

: <math> \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math>

:F. C. W. Störmer ([[1896]]).

<!-- Tale record è stato superato 3 volte fino ad arrivare a … [vedere dati in "Storia" più sotto e aggiustare il tutto] -->

Approssimazioni così precise non sono in realtà utilizzate per nessuno scopo pratico, se non per provare le prestazioni di nuovi supercomputer o per analisi statistiche sulle cifre di <math>\pi</math>.

Nel [[1996]] David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare <math>\pi</math> come serie infinita:

: <math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}

\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

Questa formula permette di calcolare facilmente la <math>k</math>-esima cifra [[sistema numerico binario|binaria]] o [[sistema numerico esadecimale|esadecimale]] di <math>\pi</math> senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/pi/ sito web di Bailey] ne contiene l'implementazione in vari [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]].

Alcune altre formule usate per calcolare stime di <math>\pi</math> sono:

* <math>

\frac{\pi}{2}=

\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=

1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots

</math>

:da [[Isaac Newton|Newton]] (<math>n!!</math> indica il [[Fattoriale#Semifattoriale o doppio fattoriale|semifattoriale]]).

* <math> \frac{\pi}{2} =

\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots </math>

:nota come [[Prodotto di Wallis|prodotto infinito di Wallis]].

* <math>\frac2\pi=

\frac{\sqrt2}2

\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots</math>

:nota come [[formula di Viète]].

* <math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math>

:da [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]].

* <math> \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math>

:da [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]].

* <math>{\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79} </math>

:da [[Eulero]].

* <math> \pi = \frac {\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left (1 + \frac{1}{4n^2-1} \right )}{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}} = \frac {\displaystyle\left (1 + \frac{1}{3} \right ) \left (1 + \frac{1}{15} \right ) \left (1 + \frac{1}{35} \right ) \cdots} {\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \cdots} </math>

:nota come [[Formula simmetrica]]

* <math>\frac{\pi}{8} = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1}.</math>

:<math>\frac{\pi}{12} = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}.</math>

:da [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]]

* <math> \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}</math>

* <math> \pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n}-1}{4^n}\zeta(n+1) </math>

Altre formule d'approssimazione sono contenute nella tabella sottostante:<ref>[http://www.pi314.net/eng/ramanujan.php The world of Pi - Simon Plouffe / David Bailey<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref><ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html Collection of series for &pi;]</ref>

{| class="wikitable"

|-

| <math>\pi=\frac{1}{Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{((2n)!)^3(42n+5)} {(n!)^6{16}^{3n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{4}{Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(21460n+1123)} {(n!)^4{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{4}{Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(6n+1)\left ( \frac{1}{2} \right )^3_n} {{4^n}(n!)^3}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{32}{Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left (\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^{8n} \frac{(42n\sqrt{5} +30n + 5\sqrt{5}-1) \left ( \frac{1}{2} \right )^3_n} {{64^n}(n!)^3}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{27}{4Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left (\frac{2}{27} \right )^n \frac{(15n+2)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{3} \right )_n \left ( \frac{2}{3} \right )_n} {(n!)^3}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{15\sqrt{3}}{2Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{4}{125} \right )^n \frac{(33n+4)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{3} \right )_n \left ( \frac{2}{3} \right )_n} {(n!)^3}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{85\sqrt{85}}{18\sqrt{3}Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{4}{85} \right )^n \frac{(133n+8)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{6} \right )_n \left ( \frac{5}{6} \right )_n} {(n!)^3}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{3}Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{4}{125} \right )^n \frac{(11n+1)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{6} \right )_n \left ( \frac{5}{6} \right )_n} {(n!)^3}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{2\sqrt{3}}{Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(8n+1)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{9}^{n}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{\sqrt{3}}{9Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(40n+3)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{49}^{2n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{2\sqrt{11}}{11Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(280n+19)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{99}^{2n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{\sqrt{2}}{4Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(10n+1) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{9}^{2n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{4\sqrt{5}}{5Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(644n+41) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^35^n{72}^{2n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{4\sqrt{3}}{3Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(28n+3) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} { (n!)^3{3^n}{4}^{n+1}}</math>

|-

| <math> \pi=\frac{4}{Z}</math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(20n+3) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} { (n!)^3{2}^{2n+1}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{72}{Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(260n+23)}{(n!)^44^{4n}18^{2n}}</math>

|-

| <math>\pi=\frac{3528}{Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^44^{4n}882^{2n}}</math>

|}

== Storia ==

I popoli antichi spesso utilizzavano modi indiretti per esprimere approssimativamente il rapporto tra la [[circonferenza]] e il [[diametro]] di un [[cerchio]]. I [[Civiltà babilonese|babilonesi]] usavano per <math>\pi</math> il valore di {{frazione|25|8}}=3,125 (usato anche da [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]]<ref name=autogenerato1>''De Architectura'' X, 9, 1, [http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Vitruvius/10*.html in linea] su [[LacusCurtius]].</ref>): una tavoletta cuneiforme del XX secolo a.C., infatti, osserva che il rapporto fra la circonferenza e il perimetro di un esagono iscritto è 3600/3456, cioè 25/24. Nel [[Papiro di Rhind]], invece, si dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli [[Antico Egitto|Egizi]] assumevano il valore di ({{frazione|16|9}})²=3,160.

Nell'[[Antico Testamento]] viene apparentemente affermato in modo non esplicito che <math>\pi</math> = 3. Si trova infatti scritto:

{{Citazione|Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all'altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza|[[Secondo libro delle Cronache]], 4:2}}

Il testo, però spiega poco dopo che il bordo si apriva "come il calice di un giglio" (presentava cioè quello che un moderno ingegnere chiamerebbe un "anello di irrigidimento" del bordo superiore), perciò il diametro misurato al bordo era ovviamente maggiore di quello della circonferenza esterna della vasca cilindrica, rendendo inaccurati questi dati per desumere un valore di pi greco "biblico".<ref>Questa spiegazione era nota anche al Talmud ed è riportata insieme a molte altre in [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/ElishakoffPines.pdf] (p. 139). Cfr. anche: [http://recoveredscience.com/const100solomonpi.htm] oppure [https://faithfulphilosophy.wordpress.com/2016/10/30/is-1-kings-723-wrong-about-pi/]. [http://www.khouse.org/articles/1998/158/ Altre spiegazioni] sono meno attendibili perché i manoscritti più antichi della Bibbia ebraica risalgono circa al secolo X dopo Cristo.</ref>

Il primo ad approssimare scientificamente pi greco fu [[Archimede|Archimede di Siracusa]] che nel [[III secolo a.C.]] utilizzò [[poligono regolare|poligoni regolari]] [[poligono inscritto|inscritti]] e [[poligono circoscritto|circoscritti]] a una [[circonferenza]]. Aumentando il numero di lati il rapporto tra il perimetro e l'area limita superiormente e inferiormente <math>\pi</math> (vedi anche [[metodo di esaustione]]).

Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato siracusano scoprì che {{frazione|223|71}} < π < {{frazione|22|7}}.<ref>Boyer 1991 p. 149</ref>

Nel medioevo in [[India]] [[Brahmagupta]] utilizza il valore <math>\sqrt {10}</math><ref>Boyer 1991 p. 256</ref> mentre in [[Cina]] Zu Chongzhi utilizza {{frazione|355|113}} valore che si discosta meno di 0.3 milionesimi dal valore corretto.<ref name = "pi greco cina">

{{Cita libro | autore = Yoshio Mikami | titolo = Development of Mathematics in China and Japan | editore = B. G. Teubner | pagine = 50 | anno = 1913}} [http://books.google.com/books?id=4e9LAAAAMAAJ&q=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan 22+355&dq=intitle:Development+intitle:22China+and+Japan%22+355&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=84EbSrD1E4OYlQSwv4HlCQ&pgis=1]</ref>

Il metodo di [[Archimede]] verrà applicato fino all'epoca moderna. Nel [[1610]] [[Ludolph van Ceulen]] calcola le prime 35 cifre decimali di <math> \pi</math> utilizzando poligoni con più di 2 miliardi di lati. Ceulen, fiero di questo risultato, lo farà scrivere sulla sua tomba.

Sempre nell'[[Storia moderna|epoca moderna]] vengono trovate importanti espressioni infinite:

[[Formula di Viète]]:

<math>2

\frac {2}{\sqrt2}

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}}

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\ldots = \pi </math>

[[Formula di Leibniz per pi|Formula di Leibniz]]:

<math> \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} </math>

[[Prodotto di Wallis]]:

<math>

\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}

</math>

Nel [[XVIII secolo]] [[Eulero]], risolvendo il [[problema di Basilea]] trovò un'altra elegante serie:

<math> \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} </math>

Sempre al matematico svizzero è dovuta l'[[identità di Eulero]], talvolta considerata la formula più bella di tutta la matematica,<ref name="Identità Eulero">Definita la più bella formula della matematica da [[Richard Feynman]] ({{Cita libro |cognome= Feynman|nome= Richard|titolo= [[The Feynman Lectures on Physics]]: Volume I | mese=giugno | pagina=10 |capitolo= Chapter 22: Algebra |anno=1970}}). Nel 1988, i lettori del ''[[Mathematical Intelligencer]]'' la votarono come "La più bella formula matematica di sempre" ''{{Cita pubblicazione | cognome= Wells | nome= David | anno= 1990 | titolo = Are these the most beautiful? | rivista = Mathematical Intelligencer | volume = 12 | numero = 3 | pp= 37–41 | doi= 10.1007/BF03024015}}<br />{{Cita pubblicazione | cognome= Wells | nome= David | anno= 1988 | titolo = Which is the most beautiful? | rivista = Mathematical Intelligencer | volume = 10 | numero = 4 | pp= 30–31 | doi= 10.1007/BF03023741}}''</ref> che collega <math>\pi</math> ad altre importanti costanti matematiche tra cui [[e (costante matematica)|e]] e [[unità immaginaria|i]]:

:<math>e^{i \pi} + 1 = 0 </math>

Queste formule, pur essendo di scarsa o nulla utilità nel calcolo della costante matematica, hanno un importante valore estetico e rivelano collegamenti inaspettati tra varie branche della [[matematica]].

Eulero rese inoltre popolare il simbolo π, introdotto nel [[1706]] dal matematico inglese [[William Jones (matematico)|William Jones]] quando pubblicò ''A New Introduction to Mathematics'', benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi <math>\pi</math> è la prima lettera di ''περίμετρος'' (perimetros), che significa «misura attorno» in [[lingua greca|greco]]. Inoltre il simbolo <math>\pi</math> venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che nel [[1706]] lo usò in onore di [[Pitagora]] (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel [[1739]] Eulero usava il simbolo <math>p</math>.

Restava ancora in sospeso la questione della natura di <math> \pi</math>: [[Johann Heinrich Lambert]] dimostrò nel [[1761]] che si trattava di un [[numero irrazionale]] (si dimostrava che l'[[arcotangente]] di un qualsiasi [[numero razionale]] è irrazionale). Si veda anche [[dimostrazione della irrazionalità di π]]. [[Adrien-Marie Legendre]] dimostrò nel [[1794]] l'irrazionalità di <math>{\pi}^2</math>. Bisognerà tuttavia aspettare fino al [[1882]] perché [[Ferdinand von Lindemann]] dimostri che <math> \pi</math> è un [[numero trascendente]], ossia non è radice di nessun [[polinomio]] a coefficienti razionali.

Quest'ultimo fatto dimostrava inequivocabilmente che la [[quadratura del cerchio]] tramite riga e [[compasso (strumento)|compasso]] è impossibile.

Nel [[1897]] il matematico dilettante J. Goodwin propose nello stato dell'[[Indiana]] un incredibile disegno di legge volto a rendere possibile la quadratura del cerchio tramite il cambiamento del valore di pi greco<ref>Il testo del disegno di legge è consultabile sul sito della [[Purdue University]]: [http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm The Indiana Pi Bill]</ref>. Il disegno prevedeva l'introduzione di una ''"nuova verità matematica"'' giacché ''"la regola ora in uso ... non funziona"'' ed ''"è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche"''. La stravagante proposta di legge fu approvata all'unanimità dai 67 membri della Commissione per l'educazione. La proposta di legge fu affondata solo dopo il parere negativo del matematico Clarence Waldo, presente casualmente in [[Senato]].

Ecco una breve cronologia essenziale di ''π'':

=== Nell'antichità ===

* [[XX secolo a.C.]]: i [[Civiltà babilonese|Babilonesi]] usano {{frazione|25|8}} per <math>\pi</math>(=3,125)

* [[XVII secolo a.C.]]: gli [[Antico Egitto|Egizi]] ([[Papiro di Rhind]]) usano ''π'' = ({{frazione|16|9}})² = 3,1605

* [[XII secolo a.C.]]: i [[Han|Cinesi]] usano 3 per <math>\pi</math>

* [[434 a.C.]]: [[Anassagora]] tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso

* [[430 a.C.]]: [[Antifonte|Antifonte il sofista]] e [[Brisone di Eraclea]] esprimono il [[metodo di esaustione|principio di esaustione]]

* [[335 a.C.]]: [[Dinostrato]] usa la quadratrice per [[Quadratura del cerchio|quadrare il cerchio]]

* [[III secolo a.C.]]: [[Archimede]], utilizzando l'esaustione e il [[metodo di compressione]], calcola su [[poligono|poligoni]] di 96 lati che {{frazione|223|71}} < ''π'' < {{frazione|22|7}}<ref>[http://it.wikibooks.org/wiki/Dimostrazione_che_22/7_%C3%A8_maggiore_di_%CF%80 Dimostrazione che {{frazione|22|7}} è maggiore di π]</ref> e trova inoltre l'approssimazione ''π'' = {{frazione|211875|67441}} = 3,14163…

* [[I secolo a.C.]]: [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]] usa {{frazione|25|8}}<ref name=autogenerato1 />

* [[II secolo|II secolo d.C.]]: [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]] usa ''π'' = {{frazione|377|120}} = 3,14166…<ref>La frazione {{frazione|377|120}} approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.</ref>

* [[III secolo|III secolo d.C.]]: [[Chang Hong]] usa ''π'' = <math>\sqrt{10}</math>, [[Wang Fau]] usa ''π'' = {{frazione|142|45}} e [[Liu Hui]] usa ''π'' = {{frazione|157|50}}

=== Nel Medioevo ===

Al3x,rb2005,Imlr_

LEPUS2838

lepu

lep

le

l

le

lep

lepu

LEPUS2838

=== Nell'età moderna ===

* [[1573]]: [[Valenthus Otho]] calcola le prime 6 cifre di <math>\pi</math>

* [[1593]]: [[François Viète]] calcola 9 cifre di <math>\pi</math> e [[Adriaan van Roomen]] 16 cifre

* [[1596]]: [[Ludolph van Ceulen]] calcola 20 cifre di <math>\pi</math>

* [[1610]]: van Ceulen, 35 cifre

* [[1621]]: [[Willebrord Snel|Willebrord Snell]] perfeziona il metodo di [[Archimede]]

* [[1654]]: [[Christiaan Huygens]] dimostra la validità del perfezionamento di Snell

* [[1655]]: [[John Wallis]] trova un prodotto infinito razionale per <math>\pi</math>; [[William Brouncker]] lo converte in una frazione continua

* [[1663]]: [[Muramatsu Shigekiyo]] in [[Giappone]] trova 7 cifre decimali esatte

* [[1665]]: [[Isaac Newton]] scopre il [[calcolo infinitesimale]] e calcola il <math>\pi</math> fino alla 16ª cifra decimale

* [[1671]]: [[James Gregory (astronomo)|James Gregory]] scopre le serie delle arcotangenti

* [[1674]]: [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] scopre la serie delle arcotangenti per <math>\pi</math>

* [[1699]]: [[Abraham Sharp]], 72 cifre

* [[1700]]: [[Kōwa Seki|Seki Kowa]] in [[Giappone]] calcola 10 cifre

* [[1730]]: [[Kamata]] in [[Giappone]] calcola 25 cifre

* [[1706]]: [[John Machin]], 100 cifre

* [[1713]]: La [[Corte Cinese]] pubblica il [[Su-li Ching-yun]] e presenta le prime 19 cifre decimali di <math>\pi</math>

* [[1719]]: [[Thomas Fantet de Lagny]] calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette

* [[1723]]: [[Takebe Kenko]] in [[Giappone]] calcola 41 cifre

* [[1734]]: Adottato da [[Eulero]], l'uso del simbolo <math>\pi</math> si diffonde

* [[1739]]: [[Matsunaga]], 50 cifre

* [[1748]]: [[Eulero]] pubblica l'[[Introductio in analysis infinitorium]] contenente il cosiddetto [[Teorema di Eulero (geometria)|Teorema di Eulero]] e molte serie per <math>\pi</math> e <math>\pi^2</math>

* [[1761]]: [[Johann Heinrich Lambert]] prova che <math>\pi</math> è un [[numero irrazionale]]

* [[1775]]: [[Eulero]] deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che <math>\pi</math> possa essere [[numero trascendente|trascendente]]

=== Nell'età contemporanea ===

* [[1794]] – [[Jurij Vega]], 140 cifre, di cui 136 sono corrette

* 1794 – [[Adrien-Marie Legendre]] dimostra che <math>\pi^2</math> (e quindi <math>\pi</math>) è irrazionale e considera la possibilità che <math>\pi</math> sia trascendente

* [[1841]] – [[William Rutherford]] calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette

* [[1844]] – [[Zacharias Dase]] calcola 200 cifre

* [[1847]] – [[Thomas Clausen]], 248 cifre

* [[1853]] – [[Erich Leo Lehmann|Lehmann]], 261 cifre

* 1853 – [[William Rutherford]], 440 cifre

* [[1855]] – Richter, 500 cifre

* [[1874]] – [[William Shanks]], 707 cifre, ma solo 527 sono corrette

* 1874 – [[Tseng Chi-hung]] calcola in [[Cina]] 100 cifre

* [[1882]] – [[Ferdinand von Lindemann]] dimostra che <math>\pi</math> è trascendente

* [[1947]] - [[D. F. Ferguson]]: 620 cifre decimali, calcolate utilizzando una calcolatrice da tavolo

* gennaio [[1947]] - [[D. F. Ferguson]]: 710 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)

* settembre [[1947]] – [[D. F. Ferguson]]: 808 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)

* [[1949]] – [[George Rietwiesner]], [[John von Neumann]] e [[Nicholas Constantine Metropolis]]: 2037 cifre calcolate in 70 ore utilizzando l'[[ENIAC]]. Da questo momento in poi tutti i calcoli delle cifre di pi greco verranno effettuati utilizzando calcolatori elettronici.

* [[1954]] – La [[United States Navy|marina statunitense]] calcolò 3089 cifre in 13 minuti alla presentazione del [[IBM NORC|NORC]] (il supercomputer commissionato alla [[IBM]])

* [[1958]] – "Paris Data Processing Center": 10&nbsp;000 cifre calcolate in un'ora e 40 minuti utilizzando un [[IBM 704]]

* [[1961]] – John Wrench e Daniel Shanks (nessuna parentela con William Shanks): 100&nbsp;265 cifre in 8 ore e 43 minuti, con un IBM 7090

* [[1966]] – "Paris Data Processing Center": 250&nbsp;000 cifre di pi greco con un [[IBM 7030 Stretch]]

* [[1967]] – "Paris Data Processing Center": 500&nbsp;000 cifre con un computer [[CDC 6600]]

* [[1973]] – [[Jean Guilloud]] e [[M. Bouyer]]: 1&nbsp;000&nbsp;000 di cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti con il computer [[CDC 7600]]

* [[1976]] – [[Eugene Salamin]] e [[Richard Brent]] svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del <math>\pi</math>, algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di [[Carl Friedrich Gauss]]

* [[1982]] – [[Tamura Yoshiaki|Yoshiaki Tamura]] e [[Yasumasa Kanada]]: 8&nbsp;388&nbsp;608 cifre in meno di 30 ore con l'[[algoritmo di Gauss-Brent-Salamin]], con un Hitachi M-280H

* [[1988]] – [[Yasumasa Kanada]]: 201&nbsp;326&nbsp;000 cifre calcolate in 6 ore utilizzando un [[Hitachi S-820]]

* maggio [[1989]] – i fratelli [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: 480&nbsp;000&nbsp;000 di cifre

* giugno 1989 - [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: 535&nbsp;339&nbsp;270 di cifre

* luglio 1989 – [[Yasumasa Kanada]]: 536&nbsp;870&nbsp;898 di cifre

* agosto 1989 – [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: 1&nbsp;011&nbsp;196&nbsp;691 di cifre (oltre 1 miliardo), su un [[IBM 3090]]

* 19 novembre 1989 - [[Yasumasa Kanada]] e Yoskiaki Tamura: 1&nbsp;073&nbsp;740&nbsp;799 di cifre (1,07 miliardi), [[HITAC S-3000|HITAC S-3800/480]]

* 18 maggio [[1994]] – [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: 4&nbsp;044&nbsp;000&nbsp;000 di cifre (oltre 4 miliardi), utilizzando un computer domestico. Dettagli sconosciuti, record non verificato.

* 26 giugno [[1994]] - [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahashi: 3&nbsp;221&nbsp;220&nbsp;000 di cifre (3,22 miliardi)<ref>ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_3b</ref>

* 11 ottobre [[1995]] – [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahashi: 6&nbsp;442&nbsp;450&nbsp;000 di cifre (6,44 miliardi)<ref>ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_6b</ref>

* [[1997]] – [[Yasumasa Kanada]] e Yoshiaki Tamura: 51&nbsp;539&nbsp;607&nbsp;552 di cifre (51,5 miliardi) calcolate in poco più di 29 ore utilizzando un computer Hitachi SR2201<ref>ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_51b</ref>

* 5 aprile [[1999]] - [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahashi: 68&nbsp;719&nbsp;470&nbsp;000 di cifre (68,72 miliardi)<ref>ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_68b</ref>

* 20 settembre [[1999]] - [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahaski: {{formatnum:206158430000}} di cifre (206,16 miliardi)<ref>ftp://pi.super-computing.org/README.our_latest_record_206b</ref>

* [[2002]] – [[Yasumasa Kanada]]: 1241,1 miliardi di cifre calcolate in 600 ore (25 giorni) con un Hitachi SR8000/MPP a 128 [[nodo (informatica)|nodi]]<ref>[http://www.hitachi.co.jp/Prod/comp/hpc/eng/sr81e.html SR8000<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>.

* 29 aprile [[2009]] - [[Daisuke Takahashi]]: {{formatnum:2576980377524}} di cifre (2&nbsp;576 miliardi) in 29,09 ore con un Supercomputer [[T2K Open]] a 640 [[nodo (informatica)|nodi]] (velocità di ogni nodo: 147,2 [[FLOPS|GigaFLOPS]]), all'Università di Tsukuba a [[Tsukuba]], in [[Giappone]].<ref>{{cita web |url=http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi.html |titolo=Copia archiviata |accesso=18 agosto 2009 |urlmorto=sì |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20090823020534/http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi.html |dataarchivio=23 agosto 2009 }}</ref>

* 31 dicembre [[2009]] - [[Fabrice Bellard]]: 2&nbsp;699&nbsp;999&nbsp;990&nbsp;000<ref>http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf</ref> di cifre (quasi 3000 miliardi) in 121 giorni di calcolo totali, utilizzando un computer domestico: CPU [[Intel]] [[Core i7]] a 2,97 [[Hertz|GHz]], 6 GB di RAM e 7,5 TB di memoria fissa, utilizzando 5 [[Disco rigido|hard disk]] Seagate Barracuda da 1,5 TB l'uno. Il calcolo è stato effettuato sfruttando l'[[Fratelli Chudnovsky#L'algoritmo di Chudnovsky|algoritmo di Chudnovsky]].

* 2 agosto [[2010]] - Shigeru Kondo: 5&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000<ref>[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html Pi - 5 Trillion Digits<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref> di cifre (5&nbsp;000 miliardi) in 90 giorni di calcolo, utilizzando un computer domestico modificato, con 2 processori Intel Xeon X5680 a 3,33&nbsp;GHz (12 core fisici, 24 con [[Hyper-Threading|hyperthreading]]), 12 banchi da 8 GB di RAM, per un totale di 96 GB RAM DDR3 a 1066&nbsp;MHz; per ottenere il risultato ha sfruttato l'applicazione y-cruncher<ref>[http://www.numberworld.org/y-cruncher/ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>, sviluppata da Alexander Yee, su un [[sistema operativo|OS]] [[Microsoft]] [[Windows Server 2008]].

== Questioni in sospeso ==

La più pressante questione aperta su <math>\pi</math> riguarda il fatto che sia o meno [[numero normale|normale]], cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10.<ref>{{Cita web|url=http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html|titolo=Normal Number|nome=Eric W|cognome=Weisstein|wkautore=Eric W. Weisstein|editore=[[MathWorld]]|data=22 dicembre 2005|accesso=10 novembre 2007}}</ref> Non sappiamo molto su questo; per esempio, non sappiamo nemmeno quale delle cifre 1, …, 9 ricorre infinite volte nell'espansione decimale di <math>\pi</math>,<ref>{{Cita news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|titolo=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|nome=Paul|cognome=Preuss|linkautore=Paul Preuss|editore=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|data=23 luglio 2001|accesso=10 novembre 2007}}</ref> benché sia chiaro che almeno due cifre devono ricorrere infinite volte, poiché in caso contrario <math>\pi</math> sarebbe razionale, mentre non lo è.

Bailey e Crandall dimostrarono nel [[2000]] che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base <math>2</math> di <math>\pi</math> si deduce da una plausibile [[congettura]] della [[teoria del caos]].<ref>{{Cita news|url=http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp|titolo=Pi à la Mode: Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits|nome=Ivars|cognome=Peterson|linkautore=Ivars Peterson|pubblicazione=Science News Online|data=1º settembre 2001|accesso=10 novembre 2007|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20071021094921/http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp|dataarchivio=21 ottobre 2007|urlmorto=sì}}</ref>

Non si sa neanche se <math>\pi</math> e il [[E (costante matematica)|numero di Nepero]] <math>e</math> siano [[Indipendenza algebrica|algebricamente indipendenti]], sebbene Yuri Valentinovich Nesterenko abbia dimostrato l'indipendenza algebrica di {π, [[Costante di Gelfond|''e''^π]], [[Funzione Gamma|Γ]](1/4)} nel 1996.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Nesterenko, Yuri V|linkautore=Yuri Valentinovich Nesterenko|titolo=Modular Functions and Transcendence Problems|rivista=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences]] Série 1|volume=322|numero=10|pp=909–914|anno=1996}}</ref>

== La natura di Pi greco ==

Mentre, nella [[geometria euclidea]], la somma degli angoli interni di un [[triangolo]] misurata in [[radiante|radianti]] è uguale a <math>\pi</math>, nelle [[Geometria non euclidea|geometrie non-euclidee]] la stessa somma può essere maggiore ([[geometria ellittica]]) o minore ([[geometria iperbolica]]) e il rapporto fra una circonferenza e il suo diametro può non essere <math>\pi</math>. Questo non cambia la definizione di <math>\pi</math>, piuttosto cambia la costante che appare nelle formule (che diventa un numero diverso da <math>\pi</math>). Quindi, in particolare, <math>\pi</math> non è legato alla [[forma dell'universo]]; è una costante matematica, non fisica.

== La legge dell'Indiana su Pi greco ==

{{vedi anche|Progetto di legge dell'Indiana sul pi greco}}

Un divertente aneddoto riguardante <math>\pi</math> secondo il quale uno stato degli [[Stati Uniti d'America|USA]] avrebbe cercato di fissarne per legge il valore al numero 3,2, ha in effetti radici storiche.<ref>Vedi anche: ''[http://www.straightdope.com/classics/a3_341.html questo]'' e ''[http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/Indiana_Pi_Story.htm questo] resoconto.</ref> Lo stato in questione era l'[[Indiana]], dove nel 1897 il deputato T.I. Record, della contea di Posey, presentò alla Camera dei deputati un disegno di legge redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin.

Nel testo del disegno di legge<ref>Consultabile sul sito della [[Purdue University]]: [http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm]</ref>, Goodwin si presentava come il solutore dei problemi della [[trisezione dell'angolo]], della [[duplicazione del cubo]] e della [[quadratura del cerchio]] (problemi la cui impossibilità di una soluzione era già all'epoca ampiamente dimostrata). Il suo disegno di legge riguardava l'introduzione di una ''"nuova verità matematica"'' consistente nel suo metodo per la quadratura del cerchio. Il testo in effetti non menziona specificamente <math>\pi</math>, benché l'effetto pratico sia quello di fissarne il valore. Il disegno di legge è confuso e contiene affermazioni sorprendenti, introdotte da frasi del tipo: ''"Poiché la regola ora in uso […] non funziona […], è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche."''. Bisogna notare che, anche come quadratura del cerchio, quella di Goodwin era una procedura molto scadente, che dà per le aree coinvolte un errore relativo di <math>1-\pi/4</math>, circa il 21% (un cerchio di area pari a 80 avrebbe, usando la regola di Goodwin, un'area di circa 64).

Oltre a fissare scorrettamente il valore di

:<math>\sqrt{2}=10/7\approx 1{,}429</math>

e a seconda della lettura che ne viene data, la procedura di Goodwin fissa da tre a nove nuovi valori per <math>\pi</math> discendenti da diverse affermazioni presenti nel testo e in scritti di Goodwin sulla questione. Alcune presenti nel testo sono:

* la circonferenza di un cerchio sta al diametro come 5/4 a 4, da cui <math>\pi</math> varrebbe 16/5 o 3,2;

* l'area di un cerchio è uguale all'area di un quadrato il cui lato è uguale a 1/4 della circonferenza del cerchio, da cui <math>\pi</math> varrebbe 4;

* il rapporto tra un arco di 90 gradi alla sua corda è 8/7: questo renderebbe <math>\pi</math> uguale a

:<math>\sqrt{2 \times 16/7} \approx 3{,}23</math>.

Al progetto di legge fu assegnato il numero 246 e venne assegnato all'esame della Commissione per le aree palustri, che si dichiarò incompetente e lo inviò alla Commissione per l'educazione. Questa, con parere favorevole, lo rinviò all'aula, dove fu approvato all'unanimità con un voto di 67 a 0. Uno dei motivi del voto fu che il ''"professor"'' Goodwin, pur avendo brevettato il proprio metodo, lo offriva in usufrutto gratuito alle scuole dell'Indiana.

Per il passaggio al Senato, il Bill 246 fu inviato alla Commissione per la Temperanza, che lo approvò in prima lettura. Stando al ''Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'' il disegno di legge fu poi affondato quando un membro della commissione lo mostrò a [[Clarence Abiathar Waldo]], un professore di matematica alla [[Università Purdue|Purdue University]] che si trovava nell'edificio del Senato per altre faccende, chiedendogli se gli sarebbe piaciuto conoscerne il geniale autore. Waldo rispose che conosceva già abbastanza matti e passò il resto della giornata e parte della notte a parlare con altri Senatori della Commissione. Il Bill 246 non andò mai in seconda lettura.

Come si vede, la proposta non era di porre <math>\pi</math> a 3.

== Influenze culturali ==

Il 14 marzo si celebra il "[[Giorno del Pi greco|giorno del pi greco]]", in quanto, nella sua scrittura anglosassone (3/14), esso ricorda l'approssimazione più comune di <math>\pi</math>.<ref>[http://www.corriere.it/scienze_e_tecnologie/10_marzo_14/pi-greco-compleanno_593a9a2c-2f90-11df-a29d-00144f02aabe.shtml www.corriere.it]</ref> Pi greco si celebra anche il 22 luglio, in quanto 22/7 è una famosa frazione, nota fin dai tempi di [[Archimede]], che approssima <math>\pi</math>.

La popstar [[Kate Bush]] ha interamente dedicato al numero <math>\pi</math> il secondo brano (intitolato per l'appunto <math>\pi</math>) del suo ottavo album ''[[Aerial]]'', del [[2005]], nel quale reciterebbe le sue prime 140 cifre. ''[[π 3,14]]'' è inoltre il titolo del quinto album dei [[Rockets]], del [[1981]]. Anche altri musicisti e artisti in genere hanno dedicato alcune loro opere alla costante.

''[[π - Il teorema del delirio]]'' è il titolo di un thriller del [[1998]] diretto dal regista [[Darren Aronofsky]].

== Tecniche mnemoniche ==

È possibile utilizzare la seguente frase per [[mnemotecnica|ricordare]] le prime 19 cifre del numero pi greco, associando a ognuna delle parole il corrispondente numero di lettere che la compongono: "Ave, o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza".

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro| Giovanni | Gentili Belloni | Pi greco - 4000 anni di storia dalle Piramidi al computer | 2007 | Edizioni Lulu |url= http://www.lulu.com/content/747295}}

* [[Jean-Paul Delahaye]], ''L'affascinante numero π'', Ghisetti e Corvi Editori, [[Milano]], 2003, ISBN 88-8013-905-3

* [[David Blatner]], ''Le gioie del π'', Garzanti, [[Milano]], 1999

* [[Petr Beckmann]], ''[[A History of π]]''. St. Martin's Press; 1971.

*[[Philip Davis|Philip J. Davis]], ''[[Il mondo dei grandi numeri]]'' . Zanichelli Bologna

;Sulla legge dell'Indiana{{dp}}

* "Indiana's squared circle" di Arthur E. Hallerberg (Mathematics Magazine, vol. 50 (1977), pp.&nbsp;136–140).

* David Singmaster, "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp.&nbsp;69&nbsp;– 72)

== Voci correlate ==

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* [[Costante]]

* [[Costante matematica]]

* [[Calcolo di pi greco]]

* [[Cerchio]]

* [[Circonferenza]]

* [[Identità di Eulero]]

* [[Ago di Buffon]]

* [[Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π]]

* [[Papiro di Rhind]]

* [[Quadratura del cerchio]]

* [[Giorno del Pi greco]]

* [[Pi greco (prime 100.000 cifre)]]

* [[Punto di Feynman]]

* [[Dimostrazione della irrazionalità di π]]

* [[Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea]]

{{div col end}}

== Altri progetti ==

{{interprogetto|commons=Category:Pi|s=Matematica allegra/5|preposizione=sul|s_preposizione=dedicata al}}

== Collegamenti esterni ==

* {{cita web|http://www.lorenzocampani.it/|Sito ufficiale}}

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|biografie}}

=== Siti sulla storia di π ===

* {{cita web|http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html|J J O'Connor e E F Robertson: ''A history of Pi''. Mac Tutor project}}

* {{cita web|http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html|Alla ricerca del valore di Pi}}

* [[PlanetMath]]: [http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html Pi]

* {{cita web|http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_03/APPUNTI.HTM|Storia del calcolo di Pi ''di Alessandra Del Piccolo - Progetto Polymath''}}

* {{cita web|url=http://www.newyorker.com/archive/1992/03/02/1992_03_02_036_TNY_CARDS_000362534?currentPage=all|titolo=The Mountains of Pi|editore=New Yorker|data=2 marzo 1992|autore=Richard Preston|lingua=en|accesso=27 luglio 2009}}

* [http://www.corriere.it/cronache/12_marzo_17/pi-copyright-dipasqua_6d066c74-704e-11e1-a5a4-3511fb610746.shtml Il pi greco? Non è soggetto a copyright] dal [[Corriere della Sera]]

=== Siti con formule per calcolare π ===

* [http://www.advancesindifferenceequations.com/content/pdf/1687-1847-2013-100.pdf Birth, growth and computation of pi] &nbsp;(articolo molto dettagliato)

* [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Pi Formulas] su ''Wolfram Math World''

* {{cita web|http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html|Collection of Series for pi}}

=== Siti con le cifre di π ===

* {{cita web|http://nullrefer.com/?3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314159.html|Il primo milione di cifre di pi greco}}

* {{cita web|http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html|Statistiche sui primi 1200 miliardi di cifre di pi}}

* {{cita web|http://www.gutenberg.net/etext/50|Un testo del Progetto Gutenberg contenente un milione di cifre di pi}}

* {{cita web|http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html|Pi-memory}}

[[Categoria:Cantanti da musical]]

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