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[[File:Lim sup example 5.png|thumb|377x377px|'''Limite superiore e limite inferiore.'''
{{F|personaggi dell'animazione|data=settembre 2010}}
La successione <math>x_n</math> è mostrata in blu; le due curve rosse si avvicinano al limite superiore e a quello inferiore (rappresentati dai due tratteggi neri).
{{personaggio
In questo caso il limite superiore è strettamente maggiore di quello inferiore. In generale, i due limiti sup e inf coincidono se e solo se la successione è convergente.]]
|medium = animazione
In [[matematica]] vengono presi in considerazione due tipi di costruzioni, chiamate rispettivamente '''limite inferiore''' (o anche '''minimo limite''') e '''limite superiore''' (o anche '''massimo limite''') che rispetto a quella di [[Limite (matematica)|limite]] sono più deboli ma di attuazione più generale e che possono essere utili per trattare varie questioni sui limiti. Le due nozioni si introducono per [[funzione di variabile reale|funzioni a valori reali]], per [[successione (matematica)|successioni]] di [[insieme|insiemi]] e, in generale, per funzioni aventi come [[codominio]] un [[insieme parzialmente ordinato]]. Nel caso più semplice di una successione di numeri reali queste due nozioni servono a "limitare" il codominio di questa funzione, cioè la regione nella quale si trovano "definitivamente" i componenti della successione.
|autore = [[Seth MacFarlane]]
|lingua originale = inglese
|nome = Glenn
|cognome = Quagmire
|editore =
|data di nascita =
|data fine =
|editore Italia =
|data inizio Italia =
|data fine Italia =
|sesso = M
|luogo di nascita =
|formazione originale =
|formazione attuale =
|professione = pilota di aereo
<!-- *prima abilità
*seconda abilità
*...-->
|parenti =
* Ida (nato Dan) (padre)
* Crystal (madre)
* Gary Quagmire (fratello)
* Brenda Quagmire (sorella)<ref name="10x03">{{Cita episodio|titolo=La storia di Brenda Q|titolooriginale=Screams of Silence: The Story of Brenda Q|stagione=10|episodio=03|serie=I Griffin}}</ref>
* Joan Quagmire (ex-moglie, deceduta)
* numerosi figli non riconosciuti
|doppiatore = [[Seth MacFarlane]]
|doppiatore italiano = [[Enrico Di Troia]]
|doppiatore italiano nota = <!-- episodi e/o edizione doppiata dal 1º doppiatore -->
|immagine = Glenn Quagmire.png
|larghezza immagine =
|didascalia = Glenn Quagmire nell'episodio ''[[Episodi de I Griffin (decima stagione)#La lotteria|La lotteria]]''
}}
{{Citazione|Giggity!|Verso emesso da Glenn Quagmire quando è iper-eccitato}}
'''Glenn Quagmire''' è un personaggio della serie animata ''[[I Griffin]]''. È uno dei vicini della famiglia, nonché un grande amico di [[Peter Griffin]], il quale lo descrive come un "segugio del sesso senza cuore" e si riferisce a lui definendolo "uno stupratore" in [[The Cleveland Show]].<ref name="s02e05">{{Cita TV|titolo=Love Thy Trophy|trasmissione=Family Guy|wktrasmissione=Family Guy|canale=Fox|data=2000-03-14|stagione=2|episodio=5}}</ref>
== Limite inferiore e superiore di una successione ==
Nel doppiaggio originale, anche la voce di Quagmire (come quelle di Peter, Stewie e Brian) è del creatore della serie [[Seth MacFarlane]]. In Italia il personaggio è doppiato da [[Enrico Di Troia]]. La sua espressione ad effetto "Giggity!" è gradualmente entrata nella cultura popolare: viene utilizzata dal debutto del programma, avvenuto nel 1999, ed è comparsa anche nell'episodio del 4 gennaio 2011 di ''Around the Horn''.
Data una [[Successione (matematica)|successione]] di [[numeri reali]] <math>({x_n})</math>, siano:
:<math>{b_k} = \sup \{x_k, x_{k+1}, \dots \} \quad k=1,2,\dots</math>
== Biografia ==
Nella serie Quagmire si mantiene come pilota di aerei di linea; tuttavia, il ruolo che lo identifica maggiormente è quello del maniaco sessuale che non pone limiti alle proprie perversioni - non casualmente, è un [[feticismo del piede femminile|feticista dei piedi femminili]]. Indossa quasi sempre una camicia hawaiana e ha una mascella particolarmente larga e scolpita. È palesemente attratto da [[Lois Griffin|Lois Pewterschmidt]] e ha tentato più volte di sedurla. Quagmire è affetto da [[ipersessualità]]<ref name = FGPhilo>{{Cita libro|cognome=Miller|nome=Shaun|curatore=Wisnewski, J. Jeremy|titolo=Family Guy and Philosophy: A Cure for the Petarded|serie=The Blackwell Philosophy and Pop Culture Series|editore=[[Blackwell Publishing]]|anno=2007|città=Malden, MA|pagine=27–35|capitolo=Quagmire: Virtue and Perversity|isbn=978-1-4051-6316-3}}</ref>: infatti, nel corso della serie dimostra di essere attratto da ogni tipo di donna, tanto che in una puntata fa delle ''avances'' anche a Meg, ma desiste quando viene a sapere che è ancora minorenne. Ritornerà alla carica nell'episodio ''[[Episodi de I Griffin (decima stagione)#Quagmire e Meg|Quagmire e Meg]]'', ossia la puntata nella quale la giovane compie 18 anni.
:<math>\beta = \inf \{b_1,b_2, \dots \} </math>
In un episodio si scopre che nella sua vita passata era [[Jack lo Squartatore]]<ref name="7x16">{{Cita episodio|titolo=Il fondatore di Quahog|titolooriginale=Peter's Progress|stagione=7|episodio=16|serie=I Griffin}}</ref>. In alcuni episodi dimostra [[necrofilia|tendenze necrofile]] e [[acrotomofilia|attrazione per le donne con disabilità]]. Oltre agli eccessi, Glenn si eccita sessualmente anche in situazioni normali, avanzando allusioni sessuali persino nei discorsi più banali. In una puntata gli viene un'erezione guardando il video di istruzioni per sintonizzare i canali satellitari. Quando Cleveland gli chiede se ci sia qualcosa che non lo ecciti lui risponde "la parola ''immondizia".''
Allora <math>\beta</math> è il limite superiore di <math>({x_n})</math>:<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 13|rudin}}</ref>
La sua abitazione è caratterizzata dall'arredamento tipico del "dongiovanni" (esemplari sono gli specchi sopra i letti o i mini-bar nascosti nelle pareti). Possiede inoltre un furgone-camper superaccessoriato e una villa sulle montagne. È uno dei migliori amici di [[Peter Griffin|Peter]] insieme a [[Cleveland Brown|Cleveland]] e [[Joe Swanson|Joe]], e insieme passano tutte le sere a ubriacarsi nel locale ''[[L'ostrica ubriaca]]''. Per ovvi motivi è anche un appassionato di film [[pornografia|pornografici]], un accanito frequentatore di strip-club, e un amante delle risse tra donne.
:<math>\beta = \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big) = \inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>
Ha tenuto un corso di seduzione a cui ha partecipato anche [[Brian Griffin]]. La sua ossessione per le donne lo porta spesso a compiere atti al limite della legalità e del buongusto: nell'episodio ''Ambizione Cieca'' della quarta stagione, viene arrestato perché sorpreso da Lois a sbirciare nei bagni femminili, ma viene rilasciato grazie all'amico Joe, che è un poliziotto. In un altro episodio trova una cheerleader legata ai polsi e alle caviglie in un bagno: a questa vista Quagmire sembra essere pronto a cogliere l'occasione. Nell'episodio ''Un padre in affitto'' della seconda stagione, mentre cercava di stuprare una postina che doveva consegnargli un pacco, si scopre che ha ormai sviluppato un'immunità allo spray al pepe, dato che gliel'hanno spruzzato addosso ben più di una volta. Nell'episodio ''Brian'' ''lo'' ''scapolo'' mette della droga nel bicchiere di Brooke e cerca di portarsela in cabina, ma scappa quando si rende conto che la ''troupe'' del programma televisivo al quale ha scelto di partecipare sta riprendendo l'intera scena. Inoltre nell'episodio ''Superincollati'' della terza stagione, un cameriere gli chiede se desideri il solito prosecco con sonnifero. Inizialmente, durante l'appuntamento con Lois, Quagmire rifiuta la bibita; tuttavia, dopo aver attaccato bottone con [[Jennifer Love Hewitt]], l'uomo accetta l'offerta del cameriere.
Si nota che:
Incontra per la prima volta Peter Griffin quand'è un pilota della Marina Militare Statunitense. In un episodio sposa la "sguattera" (vinta a ''[[La Ruota della Fortuna]]'') della famiglia Griffin, ma poi si pente e per lasciarla finge addirittura la morte, rischiando di essere sepolto vivo. Morirà invece sua moglie, toccando la mano della Morte che era venuta per prendersi Quagmire. Nell'episodio ''Brian Lo Scapolo'' della quarta stagione, Glenn e Brian si ritrovano nella finale del reality "''Bachelor''", vinto poi da Brian.
:<math>\lim_{k\to\infty} b_k = \beta </math>
In un episodio la moglie di Cleveland tradisce il marito proprio andando a letto con il suo amico Quagmire, che verrà in seguito perdonato. Nell'episodio ''Lois giornalista d'assalto'', Quagmire rivela di avere sessantuno anni e afferma inoltre che si mantiene in forma grazie alle [[carota|carote]] (anche se probabilmente si tratta di una gag, perché avendo più o meno l'età di Peter, dovrebbe avere circa quarant'anni).
ed esiste una sottosuccessione <math>{x_{n_i}}</math>di <math>{x_n}</math> tale che:
Nonostante le sue manie sessuali, è venuto a conoscenza del porno via [[internet]] solamente durante una chiacchierata all'Ostrica Ubriaca con i suoi amici (Peter se ne uscì pensando che lui ne fosse un esperto, data la sua fama di erotomane): dopo averne appreso l'esistenza, è tornato a uscire di casa soltanto dopo diversi giorni, e unicamente per ritirare la posta: in tale occasione, Quagmire è apparso in maniera decisamente trasandata - la barba molto incolta, un'espressione frastornata sul volto, e il braccio sinistro molto più muscoloso del normale.
:<math>\lim_{i\to\infty} x_{n_i} = \beta </math>
Prova un profondo odio nei confronti di [[Brian Griffin]], che lui considera un ipocrita - benché in una puntata lo ospiti a casa sua. Spesso e volentieri gli nasconde fatti e avvenimenti della sua vita privata, e quando non gli parla con sufficienza, lo insulta. In una puntata, quando sono al ristorante, gli spiega bene i motivi del suo odio: per esempio, detesta il fatto che "lui sia ateo e derida chi crede in qualcosa", o il fatto che "si mostri sempre come una persona raffinata ed elegante, ma che poi si cerca qualche sciocca sgualdrina solo per dimostrare a sé stesso di essere superiore". Spesso gli rinfaccia la sua "ipocrisia" e la sua "intolleranza e chiusura mentale", e gli rimprovera il fatto che continui a provarci con la moglie del proprio migliore amico e di non essere un buon padre<ref>Queste ultime due critiche tuttavia mostrano come anche Glenn sia ipocrita, dato che lui stesso ci prova sempre con Lois e lui stesso sia padre di moltissimi figli che però si rifiuta di riconoscere per non avere obblighi, mentre Brian non ha avuto modo di essere un buon padre solo perché ha saputo dell'esistenza del figlio anni dopo la sua nascita.</ref>. Il loro rapporto peggiora dopo che Brian è andato a letto col padre transessuale di Quagmire, e perciò viene picchiato da quest'ultimo. In un altro episodio Brian scambia (non volendo) Abby, la nipotina di Quagmire, per un maschio e peggiora ulteriormente le condizioni mentali della bambina. Quagmire poi gli spiega che Abby ha i capelli corti per colpa del cancro: Brian, allora, chiede scusa, ma invano.
e <math>\beta </math> è il più grande numero che gode di tale proprietà.
Brian, dal canto suo, non fa nulla per riappianare i rapporti, dato il suo carattere arrogante ed orgoglioso, anzi: spesso risponde e si accapiglia con Glenn. Dev'essere però specificato che, prima che i creatori della serie riscrivessero l'atteggiamento di Quagmire verso Brian, i due andavano d'accordo. È possibile che la vera ragione per la quale Quagmire odia Brian sia che lui è semplicemente un cane, mentre Glenn preferisce di gran lunga i gatti, come si vede in ''Uno scrittore... in erba'' e in ''Fratelli e sorelle''. Nonostante le sue manie e le sue perversioni, talvolta riesce a dimostrare un'alta moralità, e fornisce ottimi consigli - che però lui stesso non segue. In una puntata dona addirittura a Meg un libro che lo ha aiutato a "riorganizzare" la propria vita sociale e le dispensa alcuni consigli, i quali rivelano una mente sorprendentemente sensibile. In alcune puntate afferma di fare abitualmente del volontariato in una mensa per indigenti.
In modo analogo si definisce il limite inferiore di una successione:<ref name=conv>{{Cita|W. Rudin|Pag. 14|rudin}}</ref>
Nel terzo episodio dell'undicesima stagione, si viene a sapere che Glenn porta un parrucchino in quanto affetto da calvizie. Poiché cade in uno stato depressivo a causa della rivelazione del suo segreto, [[Peter Griffin]] e [[Joe Swanson]] lo accompagnano all'ospedale per un intervento di trapianto che gli restituirà il suo vecchio carattere.
:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big) = \sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>
In una puntata, ad Halloween i suoi amici gli giocano uno scherzo: gli iniettano dell'[[epatite C]], ma Quagmire afferma di averla già. Allora decidono di iniettargli una siringa contenente un altro morbo, ma Quagmire dice di aver già avuto anche tale malattia. Gli iniettano quindi numerose fiale, ma nessuna gli provoca una malattia, perché le sue molteplici relazioni gli hanno già procurato ogni genere di morbo. Alla fine, riescono a infettarlo soltanto quando Peter (andando in Africa e tornando) individua una malattia che - secondo le sue parole - non ha ancora un nome: Quagmire, quindi, non può aver già sviluppato delle difese contro la stessa. Libera così una zanzara, che pungendolo gli gonfia la faccia e gli causa uno svenimento.
Talvolta per indicare i limiti superiore e inferiore si usa la notazione:
== Famiglia ==
Poco precisi da parte del produttore risultano i riferimenti alla famiglia nella quale Quagmire è cresciuto. Una volta la madre viene ritratta come una donna benestante e dall'aspetto curato; in un altro episodio, invece, la casa della madre di Quagmire risulta essere una squallida [[roulotte]] nella quale il preferito dalla madre sembra essere il gatto. Nell'episodio ''Quagmire's Mom'' si conosce il nome della madre, Crystal, e si scopre che era una donna con gli stessi vizi del figlio, ossia avere rapporti sessuali con molti uomini. Nella stessa puntata Crystal rivela di aver abbandonato quel mondo lussurioso e di aver abbracciato la religione: inizialmente il figlio, infuriato perché fu sempre trascurato dalla donna, non perdona la madre e rivela addirittura che la stessa - e non lui - andò al suo ballo scolastico. Alla fine, però, riesce a riconciliarsi con la madre, che per salvare il figlio da un'accusa di sesso con una minorenne ha intrattenuto rapporti sessuali con il giudice per ben due volte.
:<math>\varliminf_{n\to\infty}x_n:=\liminf_{n\to\infty}x_n \quad \varlimsup_{n\to\infty}x_n:=\limsup_{n\to\infty}x_n</math>
Nell'episodio ''Un Padre In Affitto'' della seconda stagione, Quagmire adotta Chris, che si sentiva trascurato dal padre Peter. Nella stessa puntata afferma di essere cresciuto solo con sua madre. Nell'episodio ''Il papà di Quagmire'' si viene a conoscenza del padre di Quagmire, ex-[[comandante (grado militare)|comandante]] di [[United States Navy|Marina]] e veterano della [[guerra del Vietnam]]. A prima vista Peter e Joe lo considerano gay per i suoi comportamenti. Inizialmente decidono di non rivelare i propri sospetti a Quagmire, anche perché trovano la situazione divertente; tuttavia, Peter viene poi spinto da Lois a rivelare i propri dubbi all'amico, il quale la prende molto male e si rifiuta di credere alle parole di Peter. Durante il ricevimento dei veterani del [[Vietnam]] organizzato in onore di suo padre, Quagmire parla con i compagni dello stesso, che gli descrivono attraverso una sfilza di frasi facilmente fraintendibili le gesta del medesimo, e comincia a insospettirsi, decidendo così di chiedere spiegazioni al genitore. Il padre di Quagmire rivela di non essere gay, ma [[MtF]]: vuole intraprendere la transizione verso il sesso femminile, cambiando nome in Ida. Quagmire ne rimane deluso, ma si scopre anche protettivo nei confronti del padre: quando viene a sapere che è stato a letto con Brian, Quagmire pesta a sangue lo stesso Brian, lasciandolo dolorante e sanguinante per terra. Ciò, però, non impedisce al cane, inizialmente sconvolto per aver avuto un rapporto con un uomo, di rivolgere una battuta di pessimo gusto a Quagmire: "Hey... Mi sono sbattuto tuo padre."
Se gli elementi della successione appartengono ad un insieme parzialmente ordinato del quale esistano gli [[Estremo superiore e estremo inferiore|estremi superiore e inferiore]], i limiti superiore e inferiore esistono sempre, e si ha:
Quagmire ha anche una sorella, Brenda, e un fratello sordo, Gary, che non è mai apparso nella serie.
:<math> - \limsup_{n\rightarrow\infty}(-x_n) = \liminf_{n\to\infty}x_n</math>
Non ha figli dichiarati, ma essendo stato con molte donne dice che potrebbe avere innumerevoli figli sparsi per il globo. In un episodio si vede uno dei suoi figli, nato da una relazione con una donna spagnola. In un'altra puntata ancora, ''La nuova pupa di Quagmire'', gli viene lasciata una bambina che, secondo la lettera sopra la cesta, è figlia di Glenn: ne ha subito la conferma quando la bambina dice "Giggity", tipica espressione di Quagmire. A causa dei problemi che gli dà con le donne, l'uomo decide di dare in adozione la bimba, anche se poi se ne pente. Si reca quindi a casa della coppia che ha adottato sua figlia con l'intenzione di riprendersela di nascosto, ma quando vede quanto bene le vuole la famiglia adottiva, capisce che è meglio lasciare sua figlia a loro: si riconferma poi ossessionato dal [[Rapporto sessuale|sesso]] dicendo di voler di nuovo vedere la bambina quando sarà maggiorenne. In un'altra puntata ancora, Glenn va nella scuola elementare di Quahog e in ogni classe in cui entra c'è un bambino che gli assomiglia in modo sbalorditivo e che lo chiama papà.
Se la successione <math>{x_n}</math> converge si ha:<ref name=conv/>
La sorella [[Brenda Quagmire|Brenda]] stava con un uomo violento di nome Jeff, che la picchiava in continuazione e la sfruttava costringendola a fare tre lavori contemporaneamente per mantenerlo. Dopo aver scoperto che la sorella era incinta e stava per sposare Jeff, Glenn decise di uccidere il fidanzato della sorella per salvarla, e coinvolse i suoi amici. Peter si dimostrò subito entusiasta, mentre Joe, essendo un poliziotto, provò alcuni scrupoli che tuttavia svanirono dopo aver assistito all'ennesimo pestaggio. I tre si accordarono per uccidere Jeff nella foresta, ma l'uomo comprese le intenzioni di Glenn e dei suoi amici e, dopo aver tramortito Joe e Peter, si allontanò con Glenn per ucciderlo; tuttavia, dopo un violento corpo a corpo, Glenn riuscì a liberarsi simulando la morte per asfissia e, raggiunta la macchina, uccise Jeff schiacciandolo contro un albero.
:<math> \limsup_{n\to\infty}(x_n) = \liminf_{n\to\infty}(x_n) = \lim_{n\to\infty}x_n</math>
== Curiosità ==
{{Curiosità}}
*
* Il numero del telefono di casa di Glenn Quagmire è 555 0143 (Visibile nella puntata Stagione 4 "Amicizia Tradita")
* Nell'episodio 8 della stagione 7 ''Steve il non coraggioso'' di [[American Dad]], Francine fa un test di gravidanza via web mandando delle foto che la ritraggono in varie pose piccanti a un ginecologo chiamato "Dottor Vadgers". Alla fine dell'episodio si scopre che quest'ultimo è proprio Quagmire.
* In un episodio di [[The Cleveland Show]] Quagmire appare insieme a [[Peter Griffin]] e dice di volere anche lui una serie, ma Peter risponde dicendogli che è solo un ''maniaco sessuale''.
* Dalla stagione 10 in poi, Quagmire proverà molto meno odio nei confronti di Brian e lo tratterà meglio rispetto a quanto visto in passato.
* Quagmire, tradotto in italiano, vuol dire ''pantano'', ''terreno paludoso''.
* Quando Quagmire viene accusato di aver stuprato una minorenne, per scagionare l'amico Peter dichiara che la data di nascita di Quagmire è il 29 febbraio, di conseguenza lui avrebbe solo 12 anni e quindi non imputabile perché anche lui minorenne.
* È mancino.
* Nell'episodio 10 della stagione 7 si dice che Quagmire è nato nel 1948.
Le nozioni di limite inferiore e superiore sono collegate alla [[notazione O grande|O-grande]], in quanto tali entità forniscono delle restrizioni ai valori della successione soltanto al limite. In alternativa, avendo introdotto i concetti di valore limite e [[classe limite]], i limiti superiore e inferiore di una successione possono essere definiti semplicemente come il massimo ed il minimo della classe limite di tale successione, che si dimostra esistere sempre.
== Note ==
===Limiti inferiore e superiore di una funzione reale===
Sia <math>f:A \rightarrow \R</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita in un sottoinsieme <math>A</math> di un qualsiasi [[spazio topologico]], sia <math>x_0</math> un [[punto di accumulazione]] e <math>I(x_0)</math> la famiglia di [[intorno|intorni]] di <math>x_0</math> in <math>A</math>, con <math>U\in I(x_0)</math>. Il limite inferiore di una funzione reale per <math>x \rightarrow x_0</math> viene definito come:
: <math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=\sup_{U}\,\left[\inf_{x\in (U \cap A \setminus \{x_0\})}f(x)\right]=\sup\{\,\inf\{f(x)|\;x\in(U \cap A\setminus\{x_0\})\,\}\,\}</math>
Intuitivamente, il limite inferiore di <math>f</math> per <math>x</math> → <math>x_0</math> è il valore massimo, al variare dell'intorno di <math>x_0</math>, del più piccolo valore che la funzione assume in un singolo intorno.
Il limite superiore di una funzione reale per <math>x \rightarrow x_0</math> viene definito analogamente:
: <math>\limsup_{x\to x_0}f(x)=\inf_U\,\left[\sup_{x\in(U\cap A\setminus\{x_0\})}f(x)\right]=\inf\{\,\sup\{f(x)| x\in(U\cap A\setminus\{x_0\})\,\}\,\}</math>
Esso corrisponde dunque al valore più piccolo tra i valori massimi che la funzione assume in ogni intorno del punto.
==Caratteristiche e proprietà==
Sfruttando le definizioni degli algoritmi di estremo superiore e inferiore, valgono queste caratteristiche dei due limiti, cioè
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=m\in\R\iff\left\{\begin{matrix}
\forall\varepsilon\!>\!0 \;\exists\,U_\varepsilon(x_0)|\;\forall x \in(U_\varepsilon\!\cap\!A\!\setminus\! \{x_0\})\implies f(x)>m-\varepsilon\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\forall\varepsilon\!>\!0\;\forall \,U_\varepsilon(x_0), \exists x\in(U_\varepsilon\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x) < m + \varepsilon \end{matrix}\right.</math>
La prima riga afferma che definitivamente ogni livello più basso di <math>m</math> è invalicabile, cioè tutto un intorno di <math>x_0</math> ha immagini maggiori di <math>m - \varepsilon</math> (corrispondente alla proprietà di essere un estremo superiore); la seconda che in ogni intorno si può trovare una <math>x</math> con immagine arbitrariamente vicina a <math>m</math> (dovuta all'essere un estremo inferiore).
Nel caso infinito, valgono invece queste proprietà:
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=-\infty\iff\forall K\!>\!0\;\forall\,U(x_0),\exists x\in(U\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x) < -K</math>
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=+\infty\iff\forall K\! >\!0 \;\exists \,U(x_0),\forall x\in(U\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x)>K</math>
Le proprietà per il massimo limite si ricavano analogamente.
Inoltre, al contrario del limite, limite inferiore e superiore esistono sempre, in quanto calcolate con [[algoritmo|algoritmi]] di [[estremo superiore e estremo inferiore]] su insiemi [[numero reale|reali]]. Vale inoltre che:
:<math>\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)\leq\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)</math>
e l'uguaglianza sussiste [[se e solo se]] esiste in <math>\R\cup\{-\infty,+\infty\}</math> il limite <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)</math>, che sarà uguale al valore comune di <math>\liminf</math> e <math>\limsup</math>.
== Convergenza delle successioni di numeri reali ==
Si osserva che le definizioni precedenti hanno senso in ogni [[insieme parzialmente ordinato]] nel quale esistano gli [[estremo superiore e estremo inferiore|estremi superiori e inferiori]]. Questo induce a estendere le definizioni a successioni aventi i componenti in ambienti più "esotici" dell'insieme dei numeri reali. In ogni [[reticolo completo]] esistono i sup e gli inf di qualsiasi sottoinsieme: quindi risulta particolarmente interessante considerare i limiti inferiore e superiore delle sequenze di elementi di reticoli completi.
Si osserva anche che l'insieme dei numeri reali <math>\R</math> non costituisce un reticolo completo, ma che si ottiene la sua completezza aggiungendogli l'infinito negativo e il positivo: in effetti l'insieme <math>[-\infty,\infty]</math> costituisce un [[insieme totalmente ordinato]] completo.
In questo ambiente una successione <math>\{x_n : n\in\mathbb{N}\}</math> [[convergenza|converge]] se e solo se <math>\liminf x_n = \limsup x_n</math>, e in tale caso <math>\lim x_n</math> è uguale al loro comune valore (si osserva che quando si opera nel solo <math>\R</math>, non si prende in considerazione come convergenza la "convergenza" a <math>-\infty</math> o a <math>+\infty</math>).
Come esempio si consideri la sequenza data da <math>x_n = \sin n</math>. In virtù del fatto che [[pi greco]] è un [[numero irrazionale]], si dimostra che <math>\liminf x_n = -1</math> e <math>\limsup x_n = +1</math>.
Se <math>I \equiv \liminf x_n </math> e <math>S \equiv \limsup x_n </math>, allora l'intervallo <math>[I, S]</math> potrebbe non contenere nessuno dei numeri <math>x_n</math>, ma ogni ampliamento anche molto piccolo ma fissato <math>[I-\epsilon, S+\epsilon]</math> (dipendente da un <math>\epsilon > 0</math> "arbitrariamente piccolo") contiene gli <math>x_n</math>, al più ad eccezione di un insieme finito di indici ''n''. In effetti l'intervallo <math>[I, S]</math> è il più piccolo intervallo chiuso con questa proprietà.
Un esempio tratto dalla [[teoria dei numeri]] riguarda:
:<math>\liminf_n(p_{n+1}-p_n)</math>
dove con <math>p_n</math> si denota l'''n''-esimo [[numero primo]]. Il valore di questo limite inferiore si è congetturato essere 2 (questa è la [[congettura dei numeri primi gemelli]]), ma finora non è stato neppure provato che tale limite sia finito.
== Successioni di insiemi ==
L'[[insieme delle parti]] <math>P(X)</math> di un [[insieme]] <math>X</math> costituisce un [[reticolo completo]] e talora risulta utile prendere in considerazione i limiti superiore e inferiore di successioni in <math>P(X)</math>, cioè successioni di sottoinsiemi di <math>X</math>.
Se <math>X_n</math> è una tale successione, allora un elemento <math>a</math> di <math>X</math> appartiene a <math>\liminf X_n</math> se e solo se esiste un intero naturale <math>n_0</math> tale che <math>a</math> appartiene ad <math>X_n</math> per tutti gli <math>n > n_0</math>. L'elemento <math>a</math> appartiene a <math>\limsup X_n</math> se e solo se per ogni intero naturale <math>n_0</math> esiste un indice <math>n > n_0</math> tale che <math>a</math> appartiene a <math>X_n</math>.
In altre parole,<math>\limsup X_n</math> consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della forma <math>X_n</math> per una infinità di ''n'', mentre <math>\liminf X_n</math> consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di <math>X_n</math>.
Usando le notazioni usuali della [[teoria degli insiemi]], l'infimo di una successione di insiemi è l'intersezione numerabile degli insiemi, cioè il più esteso insieme incluso in tutti gli insiemi da intersecare:
:<math>\inf\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{n=1}^\infty}X_n</math>
La successione <math>\{I_n : n\in\mathbb{N}\}</math>, dove con <math>I_n</math> si denota l'infimo degli insiemi con indice maggiore o uguale a ''n'', è non decrescente, in quanto <math>I_n \subset I_{n+1} </math>. Quindi l'unione degli infimi relativi agli indici da 1 a n è uguale all'n-esimo infimo. Facendo andare questa successione di insiemi al limite:
:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>
Il limsup può essere definito simmetricamente. Il supremo di una successione di insiemi è il più piccolo insieme che contiene tutti gli insiemi, cioè l'unione numerabile degli insiemi.
:<math>\sup\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{n=1}^\infty}X_n</math>
Il limsup è invece la intersezione numerabile di questa successione non crescente (ogni supremo è un sottoinsieme del supremo che lo precede)
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>
Per un esempio vedi [[lemma di Borel-Cantelli]]. Quando questi due insiemi coincidono si parla di [[limite insiemistico|insieme limite]] della successione <math>(X_n)_n</math>.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
{{I Griffin}}
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin}}
{{portale|animazione|televisione}}
*{{Cita libro|cognome= Amann
|nome= H.
|coautori= Escher, Joachim
|titolo= Analysis
|editore= Basel; Boston: Birkhäuser
|anno= 2005
| isbn = 0-8176-7153-6
|lingua= en
}}
*{{Cita libro|cognome= González
|nome= Mario O
|titolo= Classical complex analysis
|editore= New York: M. Dekker
|anno= 1991
| isbn = 0-8247-8415-4
|lingua= en
}}
==Voci correlate==
* [[Classe limite]]
* [[Estremo superiore e estremo inferiore]]
* [[Funzione semicontinua]]
* [[Limite (matematica)]]
* [[Successione (matematica)]]
==Altri progetti==
{{ip|etichetta=limiti|preposizione=sui}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Personaggi de I Griffin|Quagmire, GlennSuccessioni]]
[[Categoria:Aviatori immaginari|Quagmire, GlennLimiti]]
[[Categoria:Teoria degli insiemi]]
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