Sherlock Holmes (film 1937) e Limite superiore e limite inferiore: differenze tra le pagine
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[[File:Lim sup example 5.png|thumb|377x377px|'''Limite superiore e limite inferiore.'''
La successione <math>x_n</math> è mostrata in blu; le due curve rosse si avvicinano al limite superiore e a quello inferiore (rappresentati dai due tratteggi neri).
In questo caso il limite superiore è strettamente maggiore di quello inferiore. In generale, i due limiti sup e inf coincidono se e solo se la successione è convergente.]]
In [[matematica]] vengono presi in considerazione due tipi di costruzioni, chiamate rispettivamente '''limite inferiore''' (o anche '''minimo limite''') e '''limite superiore''' (o anche '''massimo limite''') che rispetto a quella di [[Limite (matematica)|limite]] sono più deboli ma di attuazione più generale e che possono essere utili per trattare varie questioni sui limiti. Le due nozioni si introducono per [[funzione di variabile reale|funzioni a valori reali]], per [[successione (matematica)|successioni]] di [[insieme|insiemi]] e, in generale, per funzioni aventi come [[codominio]] un [[insieme parzialmente ordinato]]. Nel caso più semplice di una successione di numeri reali queste due nozioni servono a "limitare" il codominio di questa funzione, cioè la regione nella quale si trovano "definitivamente" i componenti della successione.
== Limite inferiore e superiore di una successione ==
Data una [[Successione (matematica)|successione]] di [[numeri reali]] <math>({x_n})</math>, siano:
:<math>{b_k} = \sup \{x_k, x_{k+1}, \dots \} \quad k=1,2,\dots</math>
:<math>\beta = \inf \{b_1,b_2, \dots \} </math>
Allora <math>\beta</math> è il limite superiore di <math>({x_n})</math>:<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 13|rudin}}</ref>
:<math>\beta = \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big) = \inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>
Si nota che:
:<math>\lim_{k\to\infty} b_k = \beta </math>
ed esiste una sottosuccessione <math>{x_{n_i}}</math>di <math>{x_n}</math> tale che:
:<math>\lim_{i\to\infty} x_{n_i} = \beta </math>
e <math>\beta </math> è il più grande numero che gode di tale proprietà.
In modo analogo si definisce il limite inferiore di una successione:<ref name=conv>{{Cita|W. Rudin|Pag. 14|rudin}}</ref>
:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big) = \sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>
Talvolta per indicare i limiti superiore e inferiore si usa la notazione:
:<math>\varliminf_{n\to\infty}x_n:=\liminf_{n\to\infty}x_n \quad \varlimsup_{n\to\infty}x_n:=\limsup_{n\to\infty}x_n</math>
Se gli elementi della successione appartengono ad un insieme parzialmente ordinato del quale esistano gli [[Estremo superiore e estremo inferiore|estremi superiore e inferiore]], i limiti superiore e inferiore esistono sempre, e si ha:
:<math> - \limsup_{n\rightarrow\infty}(-x_n) = \liminf_{n\to\infty}x_n</math>
Se la successione <math>{x_n}</math> converge si ha:<ref name=conv/>
:<math> \limsup_{n\to\infty}(x_n) = \liminf_{n\to\infty}(x_n) = \lim_{n\to\infty}x_n</math>
Le nozioni di limite inferiore e superiore sono collegate alla [[notazione O grande|O-grande]], in quanto tali entità forniscono delle restrizioni ai valori della successione soltanto al limite. In alternativa, avendo introdotto i concetti di valore limite e [[classe limite]], i limiti superiore e inferiore di una successione possono essere definiti semplicemente come il massimo ed il minimo della classe limite di tale successione, che si dimostra esistere sempre.
===Limiti inferiore e superiore di una funzione reale===
Sia <math>f:A \rightarrow \R</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita in un sottoinsieme <math>A</math> di un qualsiasi [[spazio topologico]], sia <math>x_0</math> un [[punto di accumulazione]] e <math>I(x_0)</math> la famiglia di [[intorno|intorni]] di <math>x_0</math> in <math>A</math>, con <math>U\in I(x_0)</math>. Il limite inferiore di una funzione reale per <math>x \rightarrow x_0</math> viene definito come:
: <math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=\sup_{U}\,\left[\inf_{x\in (U \cap A \setminus \{x_0\})}f(x)\right]=\sup\{\,\inf\{f(x)|\;x\in(U \cap A\setminus\{x_0\})\,\}\,\}</math>
Intuitivamente, il limite inferiore di <math>f</math> per <math>x</math> → <math>x_0</math> è il valore massimo, al variare dell'intorno di <math>x_0</math>, del più piccolo valore che la funzione assume in un singolo intorno.
Il limite superiore di una funzione reale per <math>x \rightarrow x_0</math> viene definito analogamente:
: <math>\limsup_{x\to x_0}f(x)=\inf_U\,\left[\sup_{x\in(U\cap A\setminus\{x_0\})}f(x)\right]=\inf\{\,\sup\{f(x)| x\in(U\cap A\setminus\{x_0\})\,\}\,\}</math>
Esso corrisponde dunque al valore più piccolo tra i valori massimi che la funzione assume in ogni intorno del punto.
==Caratteristiche e proprietà==
Sfruttando le definizioni degli algoritmi di estremo superiore e inferiore, valgono queste caratteristiche dei due limiti, cioè
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=m\in\R\iff\left\{\begin{matrix}
\forall\varepsilon\!>\!0 \;\exists\,U_\varepsilon(x_0)|\;\forall x \in(U_\varepsilon\!\cap\!A\!\setminus\! \{x_0\})\implies f(x)>m-\varepsilon\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\forall\varepsilon\!>\!0\;\forall \,U_\varepsilon(x_0), \exists x\in(U_\varepsilon\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x) < m + \varepsilon \end{matrix}\right.</math>
La prima riga afferma che definitivamente ogni livello più basso di <math>m</math> è invalicabile, cioè tutto un intorno di <math>x_0</math> ha immagini maggiori di <math>m - \varepsilon</math> (corrispondente alla proprietà di essere un estremo superiore); la seconda che in ogni intorno si può trovare una <math>x</math> con immagine arbitrariamente vicina a <math>m</math> (dovuta all'essere un estremo inferiore).
Nel caso infinito, valgono invece queste proprietà:
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=-\infty\iff\forall K\!>\!0\;\forall\,U(x_0),\exists x\in(U\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x) < -K</math>
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=+\infty\iff\forall K\! >\!0 \;\exists \,U(x_0),\forall x\in(U\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x)>K</math>
Le proprietà per il massimo limite si ricavano analogamente.
Inoltre, al contrario del limite, limite inferiore e superiore esistono sempre, in quanto calcolate con [[algoritmo|algoritmi]] di [[estremo superiore e estremo inferiore]] su insiemi [[numero reale|reali]]. Vale inoltre che:
:<math>\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)\leq\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)</math>
e l'uguaglianza sussiste [[se e solo se]] esiste in <math>\R\cup\{-\infty,+\infty\}</math> il limite <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)</math>, che sarà uguale al valore comune di <math>\liminf</math> e <math>\limsup</math>.
== Convergenza delle successioni di numeri reali ==
Si osserva che le definizioni precedenti hanno senso in ogni [[insieme parzialmente ordinato]] nel quale esistano gli [[estremo superiore e estremo inferiore|estremi superiori e inferiori]]. Questo induce a estendere le definizioni a successioni aventi i componenti in ambienti più "esotici" dell'insieme dei numeri reali. In ogni [[reticolo completo]] esistono i sup e gli inf di qualsiasi sottoinsieme: quindi risulta particolarmente interessante considerare i limiti inferiore e superiore delle sequenze di elementi di reticoli completi.
Si osserva anche che l'insieme dei numeri reali <math>\R</math> non costituisce un reticolo completo, ma che si ottiene la sua completezza aggiungendogli l'infinito negativo e il positivo: in effetti l'insieme <math>[-\infty,\infty]</math> costituisce un [[insieme totalmente ordinato]] completo.
In questo ambiente una successione <math>\{x_n : n\in\mathbb{N}\}</math> [[convergenza|converge]] se e solo se <math>\liminf x_n = \limsup x_n</math>, e in tale caso <math>\lim x_n</math> è uguale al loro comune valore (si osserva che quando si opera nel solo <math>\R</math>, non si prende in considerazione come convergenza la "convergenza" a <math>-\infty</math> o a <math>+\infty</math>).
Come esempio si consideri la sequenza data da <math>x_n = \sin n</math>. In virtù del fatto che [[pi greco]] è un [[numero irrazionale]], si dimostra che <math>\liminf x_n = -1</math> e <math>\limsup x_n = +1</math>.
Se <math>I \equiv \liminf x_n </math> e <math>S \equiv \limsup x_n </math>, allora l'intervallo <math>[I, S]</math> potrebbe non contenere nessuno dei numeri <math>x_n</math>, ma ogni ampliamento anche molto piccolo ma fissato <math>[I-\epsilon, S+\epsilon]</math> (dipendente da un <math>\epsilon > 0</math> "arbitrariamente piccolo") contiene gli <math>x_n</math>, al più ad eccezione di un insieme finito di indici ''n''. In effetti l'intervallo <math>[I, S]</math> è il più piccolo intervallo chiuso con questa proprietà.
Un esempio tratto dalla [[teoria dei numeri]] riguarda:
:<math>\liminf_n(p_{n+1}-p_n)</math>
dove con <math>p_n</math> si denota l'''n''-esimo [[numero primo]]. Il valore di questo limite inferiore si è congetturato essere 2 (questa è la [[congettura dei numeri primi gemelli]]), ma finora non è stato neppure provato che tale limite sia finito.
== Successioni di insiemi ==
L'[[insieme delle parti]] <math>P(X)</math> di un [[insieme]] <math>X</math> costituisce un [[reticolo completo]] e talora risulta utile prendere in considerazione i limiti superiore e inferiore di successioni in <math>P(X)</math>, cioè successioni di sottoinsiemi di <math>X</math>.
Se <math>X_n</math> è una tale successione, allora un elemento <math>a</math> di <math>X</math> appartiene a <math>\liminf X_n</math> se e solo se esiste un intero naturale <math>n_0</math> tale che <math>a</math> appartiene ad <math>X_n</math> per tutti gli <math>n > n_0</math>. L'elemento <math>a</math> appartiene a <math>\limsup X_n</math> se e solo se per ogni intero naturale <math>n_0</math> esiste un indice <math>n > n_0</math> tale che <math>a</math> appartiene a <math>X_n</math>.
In altre parole,<math>\limsup X_n</math> consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della forma <math>X_n</math> per una infinità di ''n'', mentre <math>\liminf X_n</math> consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di <math>X_n</math>.
Usando le notazioni usuali della [[teoria degli insiemi]], l'infimo di una successione di insiemi è l'intersezione numerabile degli insiemi, cioè il più esteso insieme incluso in tutti gli insiemi da intersecare:
:<math>\inf\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{n=1}^\infty}X_n</math>
La successione <math>\{I_n : n\in\mathbb{N}\}</math>, dove con <math>I_n</math> si denota l'infimo degli insiemi con indice maggiore o uguale a ''n'', è non decrescente, in quanto <math>I_n \subset I_{n+1} </math>. Quindi l'unione degli infimi relativi agli indici da 1 a n è uguale all'n-esimo infimo. Facendo andare questa successione di insiemi al limite:
:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>
Il limsup può essere definito simmetricamente. Il supremo di una successione di insiemi è il più piccolo insieme che contiene tutti gli insiemi, cioè l'unione numerabile degli insiemi.
:<math>\sup\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{n=1}^\infty}X_n</math>
Il limsup è invece la intersezione numerabile di questa successione non crescente (ogni supremo è un sottoinsieme del supremo che lo precede)
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>
Per un esempio vedi [[lemma di Borel-Cantelli]]. Quando questi due insiemi coincidono si parla di [[limite insiemistico|insieme limite]] della successione <math>(X_n)_n</math>.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin}}
*{{Cita libro|cognome= Amann
|nome= H.
|coautori= Escher, Joachim
|titolo= Analysis
|editore= Basel; Boston: Birkhäuser
|anno= 2005
| isbn = 0-8176-7153-6
|lingua= en
}}
*{{Cita libro|cognome= González
|nome= Mario O
|titolo= Classical complex analysis
|editore= New York: M. Dekker
|anno= 1991
| isbn = 0-8247-8415-4
|lingua= en
}}
==Voci correlate==
* [[Classe limite]]
* [[Estremo superiore e estremo inferiore]]
* [[Funzione semicontinua]]
* [[Limite (matematica)]]
* [[Successione (matematica)]]
==Altri progetti==
{{ip|etichetta=limiti|preposizione=sui}}
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[[Categoria:Teoria degli insiemi]]
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