|
[[File:Lim sup example 5.png|thumb|377x377px|'''Limite superiore e limite inferiore.'''
{{torna a|Curling ai XXIII Giochi olimpici invernali}}
La successione <math>x_n</math> è mostrata in blu; le due curve rosse si avvicinano al limite superiore e a quello inferiore (rappresentati dai due tratteggi neri).
{{Evento olimpico
In questo caso il limite superiore è strettamente maggiore di quello inferiore. In generale, i due limiti sup e inf coincidono se e solo se la successione è convergente.]]
| estinv = I
In [[matematica]] vengono presi in considerazione due tipi di costruzioni, chiamate rispettivamente '''limite inferiore''' (o anche '''minimo limite''') e '''limite superiore''' (o anche '''massimo limite''') che rispetto a quella di [[Limite (matematica)|limite]] sono più deboli ma di attuazione più generale e che possono essere utili per trattare varie questioni sui limiti. Le due nozioni si introducono per [[funzione di variabile reale|funzioni a valori reali]], per [[successione (matematica)|successioni]] di [[insieme|insiemi]] e, in generale, per funzioni aventi come [[codominio]] un [[insieme parzialmente ordinato]]. Nel caso più semplice di una successione di numeri reali queste due nozioni servono a "limitare" il codominio di questa funzione, cioè la regione nella quale si trovano "definitivamente" i componenti della successione.
|disciplina = Curling
|specialità = Doppio misto
| anno = 2018
| immagine = Curling_pictogram.svg
| dim_img =
| luoghi = [[Gangneung Curling Centre]], [[Gangneung]], [[South Korea]]
| date = 8–13 Febbraio 2018
| partecipanti = 16
| nazioni = 8
|olimpiade precedente = assente
}}
Il torneo di Curling doppio misto delle olimpiadi invernali 2018, sarà svolto al [[Centro curling di Gangneung|Gangneung Curling Centre]]. 8 nazioni svolgeranno un round preliminare in un girone all'italiana, le migliori 4 nazionali al termine del girone si qualificano al round finale valido per la conquista delle medaglie.
== Limite inferiore e superiore di una successione ==
== Squadre partecipanti ==
Data una [[Successione (matematica)|successione]] di [[numeri reali]] <math>({x_n})</math>, siano:
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 53px;"
! width="200" style="" |{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}
! width="200" |{{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
! width="200" |{{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
! width="200" |{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}
|-
|Donna: [[Kaitlyn Lawes]]<br>
Uomo: [[John Morris (giocatore di curling)|John Morris]]
|Donna: [[Wang Rui]]<br>
Uomo: [[Ba Dexin]]
|Donna: [[Oona Kauste]]<br>
Uomo: Tomi Rantamäki
|Donna: Kristin Skaslien<br>
Uomo: Magnus Nedregotten
|-
! width="225" |{{OAR}}
! width="200" |{{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
! width="200" |{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}
! width="200" |{{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
|-
|Donna: Anastasija Bryzgalova<br>
Uomo: Aleksandr Krušel'nickij
|Donna: Jang Hye-ji<br>
Uomo: Lee Ki-jeong
|Donna: [[Jenny Perret]]<br>
Uomo: [[Martin Rios]]
|Donna: Rebecca Hamilton<br>
Uomo: Matt Hamilton
|}
:<math>{b_k} = \sup \{x_k, x_{k+1}, \dots \} \quad k=1,2,\dots</math>
== Girone ==
===Classifica ===
Le prime tre squadre si qualificano direttamente alle semifinali, mentre la 4ª e la 5ª si sfideranno per l'ultimo posto disponibile.
{| class="wikitable" style="text-align: center;" width=180
!colspan=2|Legenda
|-
|style="background:#ffffcc; width:20px;"|
| style="text-align:left;" |Fase finale
|-
| style="background:#ccffcc; width:20px;"|
| style="text-align:left;" |Spareggio
|}
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="font-size:95%;text-align: center"
! width="200" |{{tnavbar-header|Nazione|round preliminare di curling doppio misto ai giochi della XXIII olimpiade invernale}}
! width="200" |Atleti
! width="20" |{{abbr|V|Vinte}}
! width="20" |{{abbr|P|Perse}}
! width="20" |{{abbr|PF|Punti fatti}}
! width="20" |{{abbr|PS|Punti subiti}}
! width="20" |Mani<br />vinte
! width="20" |Mani<br />perse
! width="20" |Mani<br />nulle
! width="20" |Mani<br />rubate
! width="20" |% tiro
|-style="background:#ffffcc"
| style="text-align:left;" |'''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
| style="text-align:left;" |[[Kaitlyn Lawes]] / [[John Morris (giocatore di curling)|John Morris]]
|6||1||52||26||29||20||0||9||80%
|-style="background:#ffffcc"
| style="text-align:left;" |'''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}'''
| style="text-align:left;" |[[Jenny Perret]] / [[Martin Rios]]
|5||2||45||33||29||26||0||10||71%
|-style="background:#ffffcc"
| style="text-align:left;" |'''{{Nowrap|{{OAR}}}}'''
| style="text-align:left;" |{{Nowrap|[[Anastasija Bryzgalova]] / [[Alexander Krushelnitskiy]]}}
|4||3||36||44||26||27||1||7||67%
|-style="background:#ccffcc;
| style="text-align:left;" |{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}
| style="text-align:left;" |[[Kristin Skaslien]] / [[Magnus Nedregotten]]
|4||3||39||43||26||25||1||8||74%
|-style="background:#ccffcc;
| style="text-align:left;" |{{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
| style="text-align:left;" |[[Wang Rui]] / [[Ba Dexin]]
|4||3||47||42||27||27||1||6||72%
|-
| style="text-align:left;" |{{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
| style="text-align:left;" |[[Jang Hye-ji]] / [[Lee Ki-jeong]]
|2||5||42||47||26||26||1||7||67%
|-
| style="text-align:left;" |{{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
| style="text-align:left;" |[[Rebecca Hamilton]] / [[Matt Hamilton (curler)|Matt Hamilton]]
|2||5||37||43||26||25||0||9||74%
|-
| style="text-align:left;" |{{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
| style="text-align:left;" |[[Oona Kauste]] / [[Tomi Rantamäki]]
|1||6||35||53||23||29||0||6||67%
|}
:<math>\beta = \inf \{b_1,b_2, \dots \} </math>
=== Risultati ===
Gli orari di gara sono quelli sud coreani ([[UTC+9]]).<ref>{{Cita web|url=http://www.worldcurling.org/owg2018/schedule|titolo=2018 Olympic Winter Games – Schedule of Play|editore=[[World Curling Federation]]|accesso=24 dicembre 2017}}</ref>
{| border="2" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #ffffff; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size:85%;"
|----
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | TEAM
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|CAN}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|CHN}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|FIN}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|NOR}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|OAR}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|KOR}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|SUI}}
! style="WRITING-MODE: tb-rl;background:#f5f5f5;" | {{Bandiera|USA}}
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}
| style="background:#98A1B2" |
||10-4||8-2||6-9|| 8-2
| 7-3
| 7-2
| 6-4
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
|4-10|| style="background:#98A1B2" | || 10-5
| 9-3
|5-6|| 8-7
| 5-7
| 6-4
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
|2-8|| 5-10
| style="background:#98A1B2" | || 6-7
|5-7||4-9|| 6-7
|7-5
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}
|9-6|| 3-9
| 7-6
| style="background:#98A1B2" | || 3-4
|8-3||6-3||3-10
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{OAR}}
| 2-8
|6-5||7-5|| 4-3
| style="background:#98A1B2" | || 6-5
| 8-9
|3-9
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
| 3-7
| 7-8
| 9-4||3-8|| 5-6
| style="background:#98A1B2" | || 4-6
| 9-1
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}
| 2-7
| 7-5|| 7-6
| 3-6|| 9-8
| 6-4
| style="background:#98A1B2" | ||9-4
|---- style="text-align:center;"
| align="left" style="font-weight:bold;background:#f5f5f5;" | {{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
| 4-6
| 4-6
| 5-7
| 10-3
| 9-3
|1-9||4-9|| style="background:#98A1B2" |
|}
Allora <math>\beta</math> è il limite superiore di <math>({x_n})</math>:<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 13|rudin}}</ref>
===Sessione 1===
''Giovedì, 8 Febbraio, 9:05''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}'''
||3||0||1||1||2||0||2||x||'''9'''
|-
| align=left| {{OAR}}
||0||2||0||0||0||1||0||x||3
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}
||1||0||3||0||2||0||0||0||6
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}'''
||0||3||0||1||0||2||1||2||'''9'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}'''
||3||1||1||0||0||0||4||x||'''9'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
||0||0||0||1||2||1||0||x||4
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| 9
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
||1||0||0||2||0||1||0||1||0||5
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}'''
||0||1||1||0||1||0||2||0||2||'''7'''
|}
:<math>\beta = \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big) = \inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>
===Sessione 2===
''Giovedì, 8 Febbraio, 20:05''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
|0
|0
|2
|0
|0
|2
|2
|0
||6
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}'''
|2
|1
|0
|2
|1
|0
|0
|1
||'''7'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| 9
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
|0
|1
|0
|0
|4
|0
|2
|0
|0
||7
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}'''
|2
|0
|3
|1
|0
|1
|0
|0
|1
||'''8'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:215px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{OAR}}'''
|0
|1
|0
|1
|1
|0
|0
|1
||'''4'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}
|0
|0
|1
|0
|0
|1
|1
|0
||3
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
|1
|0
|1
|0
|0
|1
|1
|0
||4
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
|0
|1
|0
|1
|3
|0
|0
|1
||'''6'''
|}
Si nota che:
===Sessione 3===
''Venerdì, Febbraio 9, 8:35''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
|0
|0
|0
|1
|0
|2
|0
|x|||3
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}'''
|1
|3
|1
|0
|1
|0
|2
|x|||'''8'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
|1
|1
|0
|1
|0
|0
|1
|0|||4
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}'''
|0
|0
|1
|0
|1
|1
|0
|6|||'''9'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
|0
|2
|0
|1
|0
|1
|0
|x|||4
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
|3
|0
|4
|0
|1
|0
|2
|x|||'''10'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:215px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{OAR}}'''
|0
|0
|4
|0
|1
|2
|0
|x|||'''7'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
|2
|1
|0
|1
|0
|0
|1
|x|||5
|}
:<math>\lim_{k\to\infty} b_k = \beta </math>
===Sessione 4===
''Venerdi, 9 Febbraio, 13:35''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
|1
|0
|1
|1
|0
|5
|x
|x|||'''8'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
|0
|1
|0
|0
|1
|0
|x
|x|||2
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:215px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| 9
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
|0
|0
|0
|3
|0
|0
|1
|1
|0|||5
|-
| align=left| '''{{OAR}}'''
|1
|1
|1
|0
|1
|1
|0
|0
|1|||'''6'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
|0
|1
|0
|0
|0
|0
|x
|x|||1
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}'''
|2
|0
|2
|3
|1
|1
|x
|x|||'''9'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}
|1
|0
|0
|2
|1
|0
|1
|0|||5
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}'''
|0
|3
|1
|0
|0
|1
|0
|1|||'''6'''
|}
ed esiste una sottosuccessione <math>{x_{n_i}}</math>di <math>{x_n}</math> tale che:
===Sessione 5===
''Sabato, 10 Febbraio, 9:05''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}'''
|0
|1
|0
|1
|1
|1
|0
|2|||'''6'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
|2
|0
|1
|0
|0
|0
|1
|0|||4
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| 9
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}'''
|1
|0
|1
|0
|3
|0
|1
|0
|1|||'''7'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
|0
|2
|0
|1
|0
|2
|0
|1
|0|||6
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
|0
|4
|0
|1
|1
|1
|x
|x|||'''7'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}
|1
|0
|1
|0
|0
|0
|x
|x|||2
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:215px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| 9
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
|1
|0
|1
|0
|0
|1
|0
|2
|0|||5
|-
| align=left| '''{{OAR}}'''
|0
|1
|0
|2
|1
|0
|1
|0
|1|||'''6'''
|}
:<math>\lim_{i\to\infty} x_{n_i} = \beta </math>
===Sessione 6===
''Sabato, 10 Febbraio, 20:05''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{OAR}}
|0
|0
|1
|0
|1
|0
|x
|x|||2
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
|3
|1
|0
|2
|0
|2
|x
|x|||'''8'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}'''
|2
|1
|0
|1
|1
|0
|1
|0|||'''6'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
|0
|0
|1
|0
|0
|1
|0
|2|||4
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}
|0
|3
|0
|0
|0
|0
|x
|x|||3
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}'''
|1
|0
|1
|4
|1
|3
|x
|x|||'''10'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}
|0
|3
|0
|1
|0
|1
|0
|x|||5
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}'''
|3
|0
|1
|0
|4
|0
|2
|x|||'''10'''
|}
e <math>\beta </math> è il più grande numero che gode di tale proprietà.
===Sessione 7===
''Domenica, 11 Febbraio, 9:05''
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}
|0
|1
|1
|0
|1
|0
|x
|x|||3
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}'''
|1
|0
|0
|3
|0
|5
|x
|x|||'''9'''
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|FIN|2018|I|b=si}}'''
|1
|0
|0
|1
|1
|0
|4
|0|||'''7'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|USA|2018|I|b=si}}
|0
|1
|1
|0
|0
|1
|0
|2|||5
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=si}}'''
|0
|2
|0
|0
|2
|2
|0
|3|||'''9'''
|-
| align=left| {{OAR}}
|2
|0
|4
|1
|0
|0
|1
|0|||8
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=si}}'''
|1
|1
|0
|2
|1
|0
|2
|x|||'''7'''
|-
| align=left| {{NazOlimp|KOR|2018|I|b=si}}
|0
|0
|2
|0
|0
|1
|0
|x|||3
|}
In modo analogo si definisce il limite inferiore di una successione:<ref name=conv>{{Cita|W. Rudin|Pag. 14|rudin}}</ref>
===Spareggio===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
| align=left| {{NazOlimp|CHN|2018|I|b=si}}
|2
|0
|1
|0
|2
|0
|2
|0|||7
|-
| align=left| '''{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=si}}'''
|0
|3
|0
|1
|0
|4
|0
|1|||'''9'''
|}
:<math>\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big) = \sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>
==Fase finale==
{{Torneo semifinali finalina|RD1=Semifinali|RD2=Finale|Consol=Finale 3º posto
<!--Data| Squadra 1|Punteggio 1|Squadra 2|Punteggio 2 -->
<!--Semifinali -->
|12 febbraio [[2018]]|'''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=sì}}'''|'''8'''|{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=sì}}|4
|12 febbraio [[2018]]|'''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=sì}}'''|'''7'''|{{nowrap|{{NazOlimp|OAR|2018|I|b=sì}}}}|5
|13 febbraio [[2018]]|'''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=sì}}'''|'''10'''|{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=sì}}|3
<!--Finale terzo posto -->
|13 febbraio [[2018]]|{{NazOlimp|NOR|2018|I|b=sì}}|4|'''{{nowrap|{{NazOlimp|OAR|2018|I|b=sì}}}}'''|'''8'''
}}
Talvolta per indicare i limiti superiore e inferiore si usa la notazione:
=== Semifinali ===
Lunedì, 12 febbraio; 9:05
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
|align=left| '''{{NazOlimp|CAN|2018|I|b=sì}}'''
|2
|0
|0
|1
|2
|0
|3
|x
||'''8'''
|-
|align=left| {{NazOlimp|NOR|2018|I|b=sì}}
|0
|1
|1
|0
|0
|2
|0
|x
||4
|}
Lunedì, 12 febbraio; 20:05
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
|align=left| '''{{NazOlimp|SUI|2018|I|b=sì}}'''
|2
|0
|1
|1
|0
|0
|2
|1
||'''7'''
|-
|align=left| {{NazOlimp|OAR|2018|I|b=sì}}
|0
|2
|0
|0
|2
|1
|0
|0
||5
|}
:<math>\varliminf_{n\to\infty}x_n:=\liminf_{n\to\infty}x_n \quad \varlimsup_{n\to\infty}x_n:=\limsup_{n\to\infty}x_n</math>
===Finale 3º posto===
Martedì, 13 febbraio; 9:05
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:200px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
|align=left| {{NazOlimp|NOR|2018|I|b=sì}}
|0
|0
|2
|0
|2
|0
|x
|x
||4
|-
|align=left| {{NazOlimp|OAR|2018|I|b=sì}}
|2
|1
|0
|2
|0
|3
|x
|x|||8
|}
Se gli elementi della successione appartengono ad un insieme parzialmente ordinato del quale esistano gli [[Estremo superiore e estremo inferiore|estremi superiore e inferiore]], i limiti superiore e inferiore esistono sempre, e si ha:
===Finale===
Martedì, 13 febbraio; 20:05
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! style="width:150px"| Squadra
! style="width:15px"| 1
! style="width:15px"| 2
! style="width:15px"| 3
! style="width:15px"| 4
! style="width:15px"| 5
! style="width:15px"| 6
! style="width:15px"| 7
! style="width:15px"| 8
! style="width:15px"| TOT
|-
|align=left| {{NazOlimp|CAN|2018|I|b=sì}}
|2
|0
|4
|0
|2
|2
|x
|x
||10
|-
|align=left| {{NazOlimp|SUI|2018|I|b=sì}}
|0
|2
|0
|1
|0
|0
|x
|x
||3
|}
:<math> - \limsup_{n\rightarrow\infty}(-x_n) = \liminf_{n\to\infty}x_n</math>
== Note ==
<references />
Se la successione <math>{x_n}</math> converge si ha:<ref name=conv/>
{{Curling ai XXIII Giochi olimpici invernali}}
:<math> \limsup_{n\to\infty}(x_n) = \liminf_{n\to\infty}(x_n) = \lim_{n\to\infty}x_n</math>
[[Categoria:Curling ai XXIII Giochi olimpici invernali]]
Le nozioni di limite inferiore e superiore sono collegate alla [[notazione O grande|O-grande]], in quanto tali entità forniscono delle restrizioni ai valori della successione soltanto al limite. In alternativa, avendo introdotto i concetti di valore limite e [[classe limite]], i limiti superiore e inferiore di una successione possono essere definiti semplicemente come il massimo ed il minimo della classe limite di tale successione, che si dimostra esistere sempre.
===Limiti inferiore e superiore di una funzione reale===
Sia <math>f:A \rightarrow \R</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] definita in un sottoinsieme <math>A</math> di un qualsiasi [[spazio topologico]], sia <math>x_0</math> un [[punto di accumulazione]] e <math>I(x_0)</math> la famiglia di [[intorno|intorni]] di <math>x_0</math> in <math>A</math>, con <math>U\in I(x_0)</math>. Il limite inferiore di una funzione reale per <math>x \rightarrow x_0</math> viene definito come:
: <math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=\sup_{U}\,\left[\inf_{x\in (U \cap A \setminus \{x_0\})}f(x)\right]=\sup\{\,\inf\{f(x)|\;x\in(U \cap A\setminus\{x_0\})\,\}\,\}</math>
Intuitivamente, il limite inferiore di <math>f</math> per <math>x</math> → <math>x_0</math> è il valore massimo, al variare dell'intorno di <math>x_0</math>, del più piccolo valore che la funzione assume in un singolo intorno.
Il limite superiore di una funzione reale per <math>x \rightarrow x_0</math> viene definito analogamente:
: <math>\limsup_{x\to x_0}f(x)=\inf_U\,\left[\sup_{x\in(U\cap A\setminus\{x_0\})}f(x)\right]=\inf\{\,\sup\{f(x)| x\in(U\cap A\setminus\{x_0\})\,\}\,\}</math>
Esso corrisponde dunque al valore più piccolo tra i valori massimi che la funzione assume in ogni intorno del punto.
==Caratteristiche e proprietà==
Sfruttando le definizioni degli algoritmi di estremo superiore e inferiore, valgono queste caratteristiche dei due limiti, cioè
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=m\in\R\iff\left\{\begin{matrix}
\forall\varepsilon\!>\!0 \;\exists\,U_\varepsilon(x_0)|\;\forall x \in(U_\varepsilon\!\cap\!A\!\setminus\! \{x_0\})\implies f(x)>m-\varepsilon\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\forall\varepsilon\!>\!0\;\forall \,U_\varepsilon(x_0), \exists x\in(U_\varepsilon\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x) < m + \varepsilon \end{matrix}\right.</math>
La prima riga afferma che definitivamente ogni livello più basso di <math>m</math> è invalicabile, cioè tutto un intorno di <math>x_0</math> ha immagini maggiori di <math>m - \varepsilon</math> (corrispondente alla proprietà di essere un estremo superiore); la seconda che in ogni intorno si può trovare una <math>x</math> con immagine arbitrariamente vicina a <math>m</math> (dovuta all'essere un estremo inferiore).
Nel caso infinito, valgono invece queste proprietà:
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=-\infty\iff\forall K\!>\!0\;\forall\,U(x_0),\exists x\in(U\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x) < -K</math>
:<math>\liminf_{x\to x_0}f(x)=+\infty\iff\forall K\! >\!0 \;\exists \,U(x_0),\forall x\in(U\!\cap\!A\!\setminus\!\{x_0\})|\;f(x)>K</math>
Le proprietà per il massimo limite si ricavano analogamente.
Inoltre, al contrario del limite, limite inferiore e superiore esistono sempre, in quanto calcolate con [[algoritmo|algoritmi]] di [[estremo superiore e estremo inferiore]] su insiemi [[numero reale|reali]]. Vale inoltre che:
:<math>\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)\leq\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)</math>
e l'uguaglianza sussiste [[se e solo se]] esiste in <math>\R\cup\{-\infty,+\infty\}</math> il limite <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)</math>, che sarà uguale al valore comune di <math>\liminf</math> e <math>\limsup</math>.
== Convergenza delle successioni di numeri reali ==
Si osserva che le definizioni precedenti hanno senso in ogni [[insieme parzialmente ordinato]] nel quale esistano gli [[estremo superiore e estremo inferiore|estremi superiori e inferiori]]. Questo induce a estendere le definizioni a successioni aventi i componenti in ambienti più "esotici" dell'insieme dei numeri reali. In ogni [[reticolo completo]] esistono i sup e gli inf di qualsiasi sottoinsieme: quindi risulta particolarmente interessante considerare i limiti inferiore e superiore delle sequenze di elementi di reticoli completi.
Si osserva anche che l'insieme dei numeri reali <math>\R</math> non costituisce un reticolo completo, ma che si ottiene la sua completezza aggiungendogli l'infinito negativo e il positivo: in effetti l'insieme <math>[-\infty,\infty]</math> costituisce un [[insieme totalmente ordinato]] completo.
In questo ambiente una successione <math>\{x_n : n\in\mathbb{N}\}</math> [[convergenza|converge]] se e solo se <math>\liminf x_n = \limsup x_n</math>, e in tale caso <math>\lim x_n</math> è uguale al loro comune valore (si osserva che quando si opera nel solo <math>\R</math>, non si prende in considerazione come convergenza la "convergenza" a <math>-\infty</math> o a <math>+\infty</math>).
Come esempio si consideri la sequenza data da <math>x_n = \sin n</math>. In virtù del fatto che [[pi greco]] è un [[numero irrazionale]], si dimostra che <math>\liminf x_n = -1</math> e <math>\limsup x_n = +1</math>.
Se <math>I \equiv \liminf x_n </math> e <math>S \equiv \limsup x_n </math>, allora l'intervallo <math>[I, S]</math> potrebbe non contenere nessuno dei numeri <math>x_n</math>, ma ogni ampliamento anche molto piccolo ma fissato <math>[I-\epsilon, S+\epsilon]</math> (dipendente da un <math>\epsilon > 0</math> "arbitrariamente piccolo") contiene gli <math>x_n</math>, al più ad eccezione di un insieme finito di indici ''n''. In effetti l'intervallo <math>[I, S]</math> è il più piccolo intervallo chiuso con questa proprietà.
Un esempio tratto dalla [[teoria dei numeri]] riguarda:
:<math>\liminf_n(p_{n+1}-p_n)</math>
dove con <math>p_n</math> si denota l'''n''-esimo [[numero primo]]. Il valore di questo limite inferiore si è congetturato essere 2 (questa è la [[congettura dei numeri primi gemelli]]), ma finora non è stato neppure provato che tale limite sia finito.
== Successioni di insiemi ==
L'[[insieme delle parti]] <math>P(X)</math> di un [[insieme]] <math>X</math> costituisce un [[reticolo completo]] e talora risulta utile prendere in considerazione i limiti superiore e inferiore di successioni in <math>P(X)</math>, cioè successioni di sottoinsiemi di <math>X</math>.
Se <math>X_n</math> è una tale successione, allora un elemento <math>a</math> di <math>X</math> appartiene a <math>\liminf X_n</math> se e solo se esiste un intero naturale <math>n_0</math> tale che <math>a</math> appartiene ad <math>X_n</math> per tutti gli <math>n > n_0</math>. L'elemento <math>a</math> appartiene a <math>\limsup X_n</math> se e solo se per ogni intero naturale <math>n_0</math> esiste un indice <math>n > n_0</math> tale che <math>a</math> appartiene a <math>X_n</math>.
In altre parole,<math>\limsup X_n</math> consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della forma <math>X_n</math> per una infinità di ''n'', mentre <math>\liminf X_n</math> consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di <math>X_n</math>.
Usando le notazioni usuali della [[teoria degli insiemi]], l'infimo di una successione di insiemi è l'intersezione numerabile degli insiemi, cioè il più esteso insieme incluso in tutti gli insiemi da intersecare:
:<math>\inf\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{n=1}^\infty}X_n</math>
La successione <math>\{I_n : n\in\mathbb{N}\}</math>, dove con <math>I_n</math> si denota l'infimo degli insiemi con indice maggiore o uguale a ''n'', è non decrescente, in quanto <math>I_n \subset I_{n+1} </math>. Quindi l'unione degli infimi relativi agli indici da 1 a n è uguale all'n-esimo infimo. Facendo andare questa successione di insiemi al limite:
:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>
Il limsup può essere definito simmetricamente. Il supremo di una successione di insiemi è il più piccolo insieme che contiene tutti gli insiemi, cioè l'unione numerabile degli insiemi.
:<math>\sup\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{n=1}^\infty}X_n</math>
Il limsup è invece la intersezione numerabile di questa successione non crescente (ogni supremo è un sottoinsieme del supremo che lo precede)
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>
Per un esempio vedi [[lemma di Borel-Cantelli]]. Quando questi due insiemi coincidono si parla di [[limite insiemistico|insieme limite]] della successione <math>(X_n)_n</math>.
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin}}
*{{Cita libro|cognome= Amann
|nome= H.
|coautori= Escher, Joachim
|titolo= Analysis
|editore= Basel; Boston: Birkhäuser
|anno= 2005
| isbn = 0-8176-7153-6
|lingua= en
}}
*{{Cita libro|cognome= González
|nome= Mario O
|titolo= Classical complex analysis
|editore= New York: M. Dekker
|anno= 1991
| isbn = 0-8247-8415-4
|lingua= en
}}
==Voci correlate==
* [[Classe limite]]
* [[Estremo superiore e estremo inferiore]]
* [[Funzione semicontinua]]
* [[Limite (matematica)]]
* [[Successione (matematica)]]
==Altri progetti==
{{ip|etichetta=limiti|preposizione=sui}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Successioni]]
[[Categoria:Limiti]]
[[Categoria:Teoria degli insiemi]]
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