Risposta libera: differenze tra le versioni

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{{F|ingegneria|agosto 2015}}

La '''risposta libera nello [[variabili di stato|stato]]''' a partire dallo stato iniziale <math>x_0</math> rappresenta l'evoluzione dello stato di un [[sistema dinamico]] nell'ipotesi che nell'intervallo di osservazione <math>[t_0,t[</math> sia nullo l'ingresso ''u(t)'', cioè il [[Vettore (matematica)|vettore]] delle variabili su cui si agisce, a seconda delle caratteristiche di [[controllabilità]] del sistema, per modificare l'andamento o [[traiettoria dello stato]] (in [[Funzione (matematica)|funzione]] del tempo ''t'').

Nella [[Analisi dei sistemi dinamici|teoria dei sistemi dinamici]], la '''risposta libera''' o '''risposta ad ingresso nullo''' di un [[sistema dinamico]], anche detta "risposta libera nello stato" in quanto interessa le [[variabili di stato]] del sistema, è la sua risposta quando l'ingresso è nullo, in modo che il comportamento del sistema dipende soltanto dalle condizioni iniziali. Nei [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] il [[principio di sovrapposizione]] stabilisce in particolare che è possibile scomporre l'uscita come la somma della risposta libera più la risposta forzata.

Nel caso dei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nell'ipotesi che la [[matrice]] A sia [[diagonalizzabile]] con [[autovalori]] [[reali]] si è dimostrato

che la risposta libera nello stato risulta:

==Sistemi LTI==

<math>x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>

Si consideri un [[sistema dinamico lineare stazionario]]:

:<math>\left\{\begin{matrix} \frac{d\vec{x}(t)}{dt}=A\vec{x}(t)+B\vec{u}(t)\\\vec{y}(t)=C\vec{x}(t)+D\vec{u}(t)\end{matrix} \right.\,</math>

in cui <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> sono [[matrici]] costanti caratteristiche del [[modello matematico]] del sistema studiato, <math>\vec{x}(t) \in \R^n</math> rappresenta il [[vettore (matematica)|vettore]] delle [[variabili di stato]], <math>\vec{u}(t) \in \R^q</math> il vettore degli ingressi e <math>\vec{y}(t) \in \R^p</math> il vettore delle uscite. La matrice <math>A</math> ha dimensione <math>n \times n</math>, <math>B</math> ha dimensione <math>n \times q</math>, <math>C</math> ha dimensione <math>p \times n</math> e <math>D</math> ha dimensione <math>p \times q</math>.

Grazie al [[principio di sovrapposizione]] è possibile scomporre la risposta di un [[sistema dinamico lineare]] come la somma della risposta libera <math>\vec{y}_L</math> più la risposta forzata <math>\vec{y}_F</math>:

:<math>\vec{y}(t) = \vec{y}_L(t) + \vec{y}_F(t)</math>

Nel [[dominio della frequenza|dominio]] della [[trasformata di Laplace]]:

:<math>L[\vec{y}(t)](s) = Y(s) = Y_L(s) + Y_F(s) = F(s) \vec{x}(0) + G(s)U(s) </math>

dove <math>U</math> è la trasformata di <math>u</math> e le matrici <math>F</math> e <math>G</math> sono date da:

:<math>F(s) = C(sI - A)^{-1} \qquad G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D</math>

Il termine <math>Y_L</math> è lineare rispetto a <math>\vec{x}(0)</math> e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale <math>\vec{x}(0)</math>. Il termine <math>Y_F</math> è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso <math>u</math>. <math>I</math> denota la [[matrice identità]] e <math>(sI - A)^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di <math>(sI - A)</math>.

Nell'ipotesi che la [[matrice]] <math>A</math> sia [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]] con [[autovalori]] reali la risposta libera nello stato risulta:

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}\vec{x}(t_{0})</math>

dove le colonne della matrice <math>P</math> sono gli autovettori <math>v_1\vec{v}_1,v_2\vec{v}_2,...,v_n\vec{v}_n</math> di <math>A</math> relativi agli autovalori distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n</math>; <math>P^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di <math>P</math> e <math>e^{\Lambda(t-t_{0})}</math> l'[[esponenziale di matrice|esponenziale]] della [[matrice diagonale]] degli autovettoriautovalori.

Posto <math>t_0=0</math> si può scrivere:

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=\left(\begin{array} {cccc}

v_{11} & v_{21} & \cdots & v_{n1} \\

v_{12} & v_{22} & \cdots & v_{n2} \\

Riga 30 ⟶ 53:

dove <math>\alpha_i(0)</math> è il prodotto della riga i-esima della matrice <math>P^{-1}</math> per lo stato iniziale x(0).

Sviluppando i [[prodotto matriciale|prodotti matriciali]] si ottiene:

<math>x_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i</math>

:<math>x_l\vec{x}_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i\vec{v}_i</math>

La funzione <math>\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i</math> viene detta '''modo aperiodico''' i-esimo. Un modo si dice '''eccitato''' se compare nella risposta libera nello stato.

La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi.

In particolare si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i</math> allora si ha:

La funzione <math>\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i\vec{v}_i</math> viene detta '''modo aperiodico''' i-esimo. Un modo si dice '''eccitato''' se compare nella risposta libera nello stato.

<math>P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha_i(0)v_i=\left(\begin{array} {c}

La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi. In particolare, si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale <math>\vec{x}(0)</math> coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i\vec{v}_i</math> allora si ha:

:<math>P^{-1}\vec{x}(0)=P^{-1}{\alpha_ialpha}_i(0)v_i\vec{v}_i=\left(\begin{array} {c}

0 \\

\vdots \\

0 \\

{\alpha_ialpha}_i(0)\\

0 \\

\vdots \\

Riga 48 ⟶ 72:

e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato. Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore <math>v_i</math>

<!--DA CHIARIRE

Nel caso di A matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei [[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]]

sempreNel nell'ipotesicaso di <math>A</math> matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha, ponendo che <math>t_0=0</math> e che <math>T</math> sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

:<math>x_l(t)=Te^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

\cos \omega t & \sin \omega t \\

-\sin \omega t & \cos \omega t

\end{array}\right)T^{-1}x(0)</math>

Posto :

:<math>x(0)=T\left(\begin{array} {c}

M\sin\beta \\

M\cos\beta\\

Riga 62 ⟶ 88:

si ha:

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=\left(\begin{array} {cc}

v_{11} & v_{21} \\

v_{12} & v_{22} \\

Riga 74 ⟶ 100:

\end{array}\right)</math>

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=

e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

v_1\cos\omega t - v_2\sin\omega t & v_1\sin\omega t + v_2\cos\omega t \\

Riga 82 ⟶ 108:

\end{array}\right)</math>

:<math>\emph x_\vec{x}_{l}(t)=

Me^{\alpha t}\sin(\omega t+ \beta)v_1+Me^{\alpha t}\cos(\omega t+ \beta)v_2 </math>

Tale termine viene detto '''modo pseudoperiodico''' di ampiezza <math>Me^{\alpha t}</math> e fase <math>\beta</math>.

In tal caso quindi la traiettoria ha la forma di una spirale esponenziale sul piano individuato dagli autovettori <math>v_1,v_2</math>.

Questa traiettoria partendo da <math>x(0)</math> converge verso l'origine per <math>\alpha<0</math>, diverge per <math>\alpha>0</math> o degenera in curva chiusa per <math>\alpha=0</math>

-->

==Voci correlate==

* [[Analisi dei sistemi dinamici]]

* [[Diagonalizzabilità]]

* [[Funzione di trasferimento]]

* [[Principio di sovrapposizione]]

* [[Risposta impulsiva]]

* [[Risposta in frequenza]]

* [[Sistema dinamico lineare]]

* [[Sistema dinamico lineare stazionario]]

* [[Spazio di stato]]

==Collegamenti esterni==

* {{cita web | 1 = http://www.dsi.unifi.it/users/chisci/fda/Materialedidatticodalweb/analisi-LTI-DT.pdf | 2 = Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi - Fondamenti di Automatica | accesso = 29 agosto 2015 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20150923220705/http://www.dsi.unifi.it/users/chisci/fda/Materialedidatticodalweb/analisi-LTI-DT.pdf | dataarchivio = 23 settembre 2015 | urlmorto = sì }}

{{Portale|Ingegneriaingegneria}}

[[Categoria:Teoria dei sistemi dinamici]]