Risposta libera: differenze tra le versioni

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Si consideri un [[sistema dinamico lineare stazionario]]:

:<math>\left\{\begin{matrix} \frac{dxd\vec{x}(t)}{dt}=AxA\vec{x}(t)+BuB\vec{u}(t)\\\vec{y}(t)=CxC\vec{x}(t)+DuD\vec{u}(t)\end{matrix} \right.\,</math>

in cui <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> sono [[matrici]] costanti caratteristiche del [[modello matematico]] del sistema studiato, <math>\vec{x}(t) \in \R^n</math> rappresenta il [[vettore (matematica)|vettore]] delle [[variabili di stato]], <math>\vec{u}(t) \in \R^q</math> il vettore degli ingressi e <math>\vec{y}(t) \in \R^p</math> il vettore delle uscite. La matrice <math>A</math> ha dimensione <math>n \times n</math>, <math>B</math> ha dimensione <math>n \times q</math>, <math>C</math> ha dimensione <math>p \times n</math> e <math>D</math> ha dimensione <math>p \times q</math>.

Grazie al [[principio di sovrapposizione]] è possibile scomporre la risposta di un [[sistema dinamico lineare]] come la somma della risposta libera <math>y_L\vec{y}_L</math> più la risposta forzata <math>y_F\vec{y}_F</math>:

:<math>\vec{y}(t) = y_L\vec{y}_L(t) + y_F\vec{y}_F(t)</math>

Nel [[dominio della frequenza|dominio]] della [[trasformata di Laplace]]:

:<math>L[\vec{y}(t)](s) = Y(s) = Y_L(s) + Y_F(s) = F(s) \vec{x}(0) + G(s)U(s) </math>

dove <math>U</math> è la trasformata di <math>u</math> e le matrici <math>F</math> e <math>G</math> sono date da:

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:<math>F(s) = C(sI - A)^{-1} \qquad G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D</math>

Il termine <math>Y_L</math> è lineare rispetto a <math>\vec{x}(0)</math> e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale <math>\vec{x}(0)</math>. Il termine <math>Y_F</math> è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso <math>u</math>. <math>I</math> denota la [[matrice identità]] e <math>(sI - A)^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di <math>(sI - A)</math>.

Nell'ipotesi che la [[matrice]] <math>A</math> sia [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]] con [[autovalori]] reali la risposta libera nello stato risulta:

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}\vec{x}(t_{0})</math>

dove le colonne della matrice <math>P</math> sono gli autovettori <math>v_1\vec{v}_1,v_2\vec{v}_2,...,v_n\vec{v}_n</math> di <math>A</math> relativi agli autovalori distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n</math>; <math>P^{-1}</math> indica l'[[matrice inversa|inversa]] di <math>P</math> e <math>e^{\Lambda(t-t_{0})}</math> l'[[esponenziale di matrice|esponenziale]] della [[matrice diagonale]] degli autovettoriautovalori.

Posto <math>t_0=0</math> si può scrivere:

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=\left(\begin{array} {cccc}

v_{11} & v_{21} & \cdots & v_{n1} \\

v_{12} & v_{22} & \cdots & v_{n2} \\

Riga 54:

Sviluppando i [[prodotto matriciale|prodotti matriciali]] si ottiene:

:<math>x_l\vec{x}_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i\vec{v}_i</math>

La funzione <math>\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i\vec{v}_i</math> viene detta ''modo aperiodico'' i-esimo. Un modo si dice ''eccitato'' se compare nella risposta libera nello stato.

La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi. In particolare, si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale <math>\vec{x}(0)</math> coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i\vec{v}_i</math> allora si ha:

:<math>P^{-1}\vec{x}(0)=P^{-1}{\alpha_ialpha}_i(0)v_i\vec{v}_i=\left(\begin{array} {c}

0 \\

\vdots \\

0 \\

{\alpha_ialpha}_i(0)\\

0 \\

\vdots \\

Riga 88:

si ha:

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=\left(\begin{array} {cc}

v_{11} & v_{21} \\

v_{12} & v_{22} \\

Riga 100:

\end{array}\right)</math>

:<math>x_\vec{x}_{l}(t)=

e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}

v_1\cos\omega t - v_2\sin\omega t & v_1\sin\omega t + v_2\cos\omega t \\

Riga 108:

\end{array}\right)</math>

:<math>\emph x_\vec{x}_{l}(t)=

Me^{\alpha t}\sin(\omega t+ \beta)v_1+Me^{\alpha t}\cos(\omega t+ \beta)v_2 </math>

Riga 115:

Questa traiettoria partendo da <math>x(0)</math> converge verso l'origine per <math>\alpha<0</math>, diverge per <math>\alpha>0</math> o degenera in curva chiusa per <math>\alpha=0</math>

-->

==Voci correlate==

* [[Analisi dei sistemi dinamici]]

Riga 127 ⟶ 128:

==Collegamenti esterni==

* [{{cita web | 1 = http://www.dsi.unifi.it/users/chisci/fda/Materialedidatticodalweb/analisi-LTI-DT.pdf | 2 = Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi - Fondamenti di Automatica] | accesso = 29 agosto 2015 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20150923220705/http://www.dsi.unifi.it/users/chisci/fda/Materialedidatticodalweb/analisi-LTI-DT.pdf | dataarchivio = 23 settembre 2015 | urlmorto = sì }}

{{Portale|Ingegneriaingegneria}}

[[Categoria:Teoria dei sistemi dinamici]]