Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen e Ostenoselache stenosoma: differenze tra le pagine

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{{NN|fisica|maggio 2012}}

|nome=''Ostenoselache''

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|immagine=Ostenoselache stenosoma.JPG

|didascalia=Fossile di ''Ostenoselache stenosoma''

<!-- CLASSIFICAZIONE: -->

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L''''ostenoselache''' ('''''Ostenoselache stenosoma''''') è uno [[squalo]] estinto, appartenente ai [[Euselachii|neoselaci]]. Visse nel [[Giurassico inferiore]] (circa 200 – 195 milioni di anni fa) e i suoi resti fossili sono stati ritrovati in [[Italia]]. Era caratterizzato da un rostro insolitamente allungato.

==Descrizione==

Questo squalo possedeva una forma corporea del tutto particolare, molto diversa da quella di qualsiasi squalo attuale o estinto. Il [[corpo (anatomia)|corpo]] era molto snello (da qui il nomignolo ''skinny shark'', ''squalo magro'', attribuitogli informalmente dagli studiosi), e in totale l'animale poteva raggiungere una lunghezza massima di circa 30 centimetri. La [[colonna vertebrale]] era formata da circa 150 vertebre a forma di rocchetto.

Il [[cranio]], benché mal conservato nella maggior parte degli esemplari, era molto particolare: le orbite erano grandi, mentre la mandibola era lunga e sottile e dotata di circa 30 denti semplici, con una singola cuspide. Il cranio si prolungava in un [[rostro]] allungato e appiattito, che si proiettava ben oltre la bocca; il rostro era completamente diverso dalla struttura presente in animali come i pesci sega, gli squali goblin o le razze, ed era formato da uno scheletro cartilagineo dalla struttura complessa, con una serie di diramazioni proiettate in avanti.

Il '''paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen''' ('''paradosso EPR''') è un [[esperimento mentale]] che dimostrò la previsione dell'[[entanglement quantistico]].

Le pinne sono poco note, ma molti esemplari conservano la cartilagine addizionale che forma l'appendice pelvica dei maschi. L'ano era situato molto in avanti, e la coda era lunghissima. ''Ostenoselache'' è l'unico squalo a possedere una sola pinna mediana, l'anale, estesa dall'ano alla punta della coda e sostenuta da numerose cartilagini radiali.

[[Albert Einstein]], [[Boris Podolsky]] e [[Nathan Rosen]] dimostrarono che dall'[[interpretazione di Copenaghen]] della [[meccanica quantistica]] deriva teoricamente il fenomeno dell'entanglement, considerato [[paradosso|paradossale]] perché ritenuto incompatibile con la [[relatività ristretta]] (che considera la [[velocità della luce]] la massima alla quale può viaggiare qualunque tipo d'[[informazione]]) e, più in generale, con il [[principio di località]]. Da ciò scaturì la loro convinzione che la teoria quantistica fosse incompleta, ovvero comprendesse [[Teorie delle variabili nascoste|variabili nascoste]].

===Uno squalo elettrico?===

== Considerazioni generali ==

Secondo Christopher Duffin, che nel [[1998]] studiò ''Ostenoselache'', gli unici pesci vagamente simili a questo animale sono i rappresentanti attuali della famiglia dei [[Gimnotiformi|gimnotidi]], che comprendono anche l'anguilla elettrica (''[[Electrophorus electricus]]''). Come quest'ultima, anche ''Ostenoselache'' possedeva una lunga coda e l'unica pinna presente era una lunghissima pinna anale; l'elettroforo attuale possiede organi elettrici (ovvero muscoli modificati che generano un campo elettrico) che possono ricoprire l'80 % della lunghezza del suo corpo, e organi di senso che possono interpretare le distorsioni di questo campo. Secondo Duffin, anche ''Ostenoselache'' possedeva organi simili lungo il corpo; la strana struttura sulla testa, invece, doveva essere un organo elettrorecettore.

I tre autori proposero il loro esperimento mentale nell'articolo del [[1935]] "''La descrizione quantistica della realtà fisica può ritenersi completa?''", per dimostrare che per conservare il [[principio di località]], ritenuto requisito imprescindibile, la meccanica quantistica, pur raggiungendo una serie di risultati, deve necessariamente essere incompleta.<ref name='Einstein1935'>{{Cita pubblicazione | titolo = Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? | rivista = Physical Review | data=15 maggio 1935 | nome = A | cognome = Einstein | coautori = B Podolsky, N Rosen | volume = 47 | numero = 10 | pp = 777–80 | doi = 10.1103/PhysRev.47.777 | url = http://prola.aps.org/pdf/PR/v47/i10/p777_1 | accesso=19 agosto 2010}}</ref> Cinque mesi dopo, [[Niels Bohr]] rispose all'argomento di EPR con un articolo intitolato allo stesso modo.<ref>N. Bohr, ''Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?'', Physical Review, 48 (1935), pag. 700.</ref> La posizione di Bohr fu a lungo considerata come ulteriore vittoria del suo scontro con Einstein, benché oggi si riconosca che essa fosse oscura e non soddisfacente. Sempre nello stesso anno, [[Erwin Schrödinger]] pubblicò l'articolo in cui descrive il famoso [[Paradosso del gatto di Schrödinger|paradosso del gatto]], cercando di chiarire l'idea della [[Principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)|sovrapposizione]] di stati nella meccanica quantistica. Si deve a [[David Bohm]], nel [[1951]], una riformulazione del paradosso in termini più facilmente verificabili<ref>Bohm David. (1951). [http://books.google.com.au/books?id=9DWim3RhymsC&printsec=frontcover&dq=david+bohm+quantum+theory&source=bl&ots=6G-2u1wtav&sig=Q1GcoVDLFRmKOmDYFAJte6LzrZU&hl=en&ei=Pv45TNSnLYffcfnS6foO&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEEQ6AEwBg#v=onepage&q&f=false ''Quantum Theory''], Prentice-Hall, Englewood Cliffs, page 29, and Chapter 5 section 3, and Chapter 22 Section 19.</ref>.

==Paleobiologia==

Il paradosso EPR descrive un effetto fisico che ha aspetti paradossali: se in un sistema quantistico ipotizziamo alcune deboli e generali condizioni, come [[realismo (filosofia)|realismo]], [[principio di località|località]] e [[completezza (logica matematica)|completezza]], ritenute ragionevolmente vere per qualunque teoria che descriva la realtà fisica senza contraddire la [[Relatività ristretta|relatività]], giungiamo a una contraddizione. Da notare che, di per sé, la meccanica quantistica non è intrinsecamente contraddittoria, né in contrasto con la relatività.

Lo spostamento in avanti dell'intestino e degli altri organi di ''Ostenoselache'' e la notevole espansione della coda suggerisce che i muscoli caudali potessero essere modificati a formare organi elettrici, grazie ai quali ''Ostenoselache'' produceva campi per orientarsi nelle acque scure del mare in cui viveva, torbide a causa del decadimento algale.

Si suppone che ''Ostenoselache'' rilevasse i campi elettrici grazie alla struttura cranica allungata, e che fosse in grado di generare anche vere e proprie scariche elettriche. Il suo analogo attuale, l'anguilla elettrica, è in grado di produrre scariche di 600 volts, sia per predare che per difendersi. In ogni caso, le piccole dimensioni di ''Ostenoselache'' non dovevano renderlo così efficiente: molti suoi resti fossili sono stati ritrovati all'interno di altri fossili di un grosso [[crostaceo]] [[tilacocefalo]], ''[[Ostenocaris]]'', che evidentemente si cibava di ''Ostenoselache''.

Benché proposto originariamente per mettere in luce l'incompletezza della meccanica quantistica, ulteriori sviluppi teorici e sperimentali seguiti all'articolo originale (come il [[teorema di Bell]] e l'[[esperimento sulla correlazione quantistica di Aspect]]<ref>[http://prola.aps.org/abstract/PRD/v14/i8/p1944_1 ''Proposed experiment to test the non-separability of quantum mechanics''], A. Aspect, Phys. Rev. D 14, 1944–1951 (1976)</ref>) hanno portato gran parte dei fisici a considerare il paradosso EPR solo un illustre esempio di come la meccanica quantistica contrasti con le esperienze del mondo macroscopico, benché la questione non sia ancora del tutto chiusa.

==Classificazione==

== Descrizione del paradosso ==

Nonostante questo animale sia conosciuto grazie a una cinquantina di esemplari ben conservati provenienti dal giacimento di [[Osteno]] (Italia), la classificazione di ''Ostenoselache'' non è chiara, a causa della morfologia altamente peculiare. Duffin (1998) descrisse questo animale come un rappresentante dei neoselaci; tuttavia lo studioso preferì classificarlo in una famiglia a sé stante, '''Ostenoselachidae''', ben distinta dai contemporanei paleospinacidi ([[Palaeospinacidae]]).

=== Misure su uno stato correlato o ''entangled'' ===

Considereremo la versione semplificata dell'esperimento ideale di EPR formulata da [[David Bohm]].<br />

Si supponga di avere una sorgente che emette coppie di [[elettrone|elettroni]], uno dei quali viene inviato alla destinazione ''A'', dove c'è un'osservatrice di nome Alice, e l'altro viene inviato alla destinazione ''B'', dove c'è un osservatore di nome Bob.

Secondo la meccanica quantistica, possiamo sistemare la sorgente in modo che ciascuna coppia di elettroni emessi occupi uno [[stato quantistico]] detto [[singoletto|singoletto di spin]]. Questo si può descrivere come [[sovrapposizione]] quantistica di due stati, indicati con I e II.

Nello stato I, l'elettrone ''A'' ha [[spin]] parallelo all'asse ''z'' (''+z'') e l'elettrone ''B'' ha spin antiparallelo all'asse ''z'' (''-z''). Nello stato II, l'elettrone ''A'' ha spin ''-z'' e l'elettrone ''B'' ha spin ''+z''. È quindi impossibile associare a uno dei due elettroni nel singoletto di spin uno stato di spin definito: gli elettroni sono quindi detti ''[[entanglement quantistico|entangled]]'', cioè intrecciati.

Ostenoselache non è certo l'unico pesce cartilagineo elettrico: le attuali [[torpediniformes|torpedini]], ad esempio, possiedono un apparato elettrico piuttosto potente, ma apparvero solo nel [[Miocene]] (185 milioni di anni più tardi rispetto a ''Ostenoselache''). ''Ostenoselache'' è quindi il più antico pesce cartilagineo elettrico noto, e anche l'unico ad avere sviluppato una [[morfologia (biologia)|morfologia]] serpentiforme.

[[File:Paradosso EPR.jpg|thumb|upright=3.2|centro|Riproposizione dell'esperimento suggerito da Einstein, Podolsky e Rosen, eseguito con elettroni. Una sorgente invia elettroni verso due osservatori, Alice (a sinistra) e Bob (a destra), i quali sono in grado di eseguire misure della proiezione dello spin degli elettroni lungo un asse.]]

==Bibliografia==

Alice misura lo spin lungo l'asse ottenendo uno dei due possibili risultati: ''+z'' o ''-z''. Supponiamo che ottenga ''+z''; secondo la meccanica quantistica la [[funzione d'onda]] che descrive lo stato di singoletto dei due elettroni collassa nello stato I (le diverse interpretazioni della meccanica quantistica dicono questo in diversi modi, ma il risultato alla fine è lo stesso) e tale stato quantistico determina le probabilità dei risultati di qualunque altra misura fatta sul sistema. In questo caso, se Bob successivamente misurasse lo spin lungo l'asse ''z'', otterrebbe ''-z'' con una probabilità del 100%. Analogamente, se Alice misurasse ''-z'', Bob otterrebbe ''+z'', sempre con una probabilità del 100%.

*Duffin, C.J. 1998. Ostenoselache stenosoma n. g. n. sp., a new neoselachian shark from the Sinemurian (Early Jurassic) of Osteno (Lombardy, Italy). - Paleontologia Lombarda 9, 1-27.

*Underwood, C. J. (2006) Diversification of the Neoselachii (Chondrichthyes) during the Jurassic and Cretaceous. Paleobiology, 32 (2). pp.&nbsp;215–235.

== Collegamenti esterni ==

Naturalmente non c'è niente di speciale nella scelta dell'asse ''z''. Se supponiamo che Alice e Bob decidano di misurare lo spin lungo l'asse ''x'', secondo la meccanica quantistica lo stato di singoletto di spin può essere espresso adeguatamente come sovrapposizione di stati di spin lungo la direzione ''x'', stati che chiameremo Ia e IIa. Nello stato Ia l'elettrone di Alice ha spin ''+x'', quello di Bob ha spin ''-x'', invece nello stato IIa l'elettrone di Alice ha spin ''-x'', quello di Bob ha spin ''+x''. Quindi, se Alice misura ''+x'', il sistema collassa in Ia, e Bob misurerà ''-x'', con probabilità del 100%; se Alice misura ''-x'', il sistema collassa in IIa e Bob misurerà ''+x'', con probabilità del 100%.

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|paleontologia|pesci}}

In meccanica quantistica, la proiezione dello spin lungo ''x'' e quella lungo ''z'' sono quantità osservabili tra loro incompatibili, per cui gli operatori associati non commutano, cioè uno stato quantistico non può possedere valori definiti per entrambe le variabili ([[principio di indeterminazione]]). Supponiamo che Alice misuri lo spin lungo ''z'' e ottenga ''+z'', in modo che il sistema collassi nello stato I. Ora, invece di misurare lo spin lungo ''z'', Bob misura lo spin lungo ''x'' : secondo la meccanica quantistica, c'è il 50% di probabilità che egli ottenga ''+x'' e il 50% di probabilità che ottenga ''-x''. Inoltre, è impossibile predire quale sarà il risultato fino a quando Bob non esegue la misura.

Si è usato lo spin come esempio ma si possono considerare molte altre quantità fisiche (osservabili), tra loro entangled. L'articolo originale di EPR, per esempio, usava l'[[impulso (fisica)|impulso]] come quantità osservabile. Gli esperimenti odierni usano spesso la [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] dei [[fotone|fotoni]], perché più facile da preparare e quindi misurare.

=== Realismo e completezza ===

Introdurremo ora due concetti usati da Einstein, Podolsky e Rosen, fondamentali per il loro attacco alla meccanica quantistica: il realismo o [[oggettivismo]] realistico e la completezza di una teoria fisica.

Gli autori non si sono riferiti direttamente al significato [[filosofia|filosofico]] di un "elemento fisico di realtà", ma stabilirono che ''se'' il valore di ogni quantità fisica di un sistema può essere predetto con assoluta certezza prima di fare una misura o prima di intervenire in qualche modo su quel sistema, ''allora'' tale quantità esprime un elemento fisico di realtà. Notare che l'opposto, cioè la negazione dell'affermazione precedente, non porta necessariamente ad un assunto vero; possono esserci altre espressioni di elementi fisici di realtà, ma questo fatto non ha influenza sul resto dell'argomentazione.

In aggiunta, EPR definirono ''teoria fisica completa'' quella teoria in cui sia preso in considerazione ogni elemento fisico di realtà. Lo scopo del loro articolo era mostrare, usando queste due definizioni, come la meccanica quantistica non fosse una teoria fisica completa.

Vediamo come questi concetti si applicano all'esperimento pensato. Supponiamo che Alice decida di misurare lo spin lungo ''z'' (lo chiameremo ''z''-spin''). Dopo che Alice esegue la misura, lo ''z''-spin dell'elettrone di Bob è noto, quindi è un elemento fisico di realtà.

Analogamente, se Alice decidesse di misurare lo spin lungo ''x'', l'''x''-spin di Bob sarebbe un elemento fisico di realtà dopo la sua misura.

Uno stato quantistico non può possedere contemporaneamente un valore definito per lo ''x''-spin e lo ''z''-spin. Se la meccanica quantistica è una teoria fisica completa nel senso dato sopra, l'''x''-spin e lo ''z''-spin non possono essere elementi fisici di realtà allo stesso tempo. Questo significa che la decisione di Alice di eseguire la misura lungo l'asse ''x'' o lungo l'asse ''z'' ha un effetto istantaneo sugli elementi fisici di realtà nel luogo in cui si trova Bob ad operare con le sue misure, e questa è una violazione del principio di località o principio di separazione.

=== Località nel paradosso EPR ===

Il principio di località "forte" afferma che i processi fisici non possono avere effetto immediato su elementi fisici di realtà (osservabili) di un evento separato da quello in cui avvengono da un intervallo di tipo spazio. A prima vista questa appare un'assunzione ragionevole (infatti a livello macroscopico lo è), in quanto conseguenza della [[relatività speciale]], la quale afferma che le [[informazione|informazioni]] non si possono mai trasmettere a una velocità maggiore di quella della [[velocità della luce|luce]] senza violare la [[principio di causalità|causalità]]. Generalmente si crede che ogni teoria che violi la causalità sia anche internamente inconsistente, e quindi del tutto insoddisfacente.

Si trova che la meccanica quantistica viola il principio di località "forte" senza violare la causalità, quindi senza violare il teorema di "no-signaling".

La causalità è preservata perché non c'è alcun modo per Alice di trasmettere un messaggio (cioè informazioni) a Bob variando l'asse lungo cui fa la misura. Qualunque asse lei scelga, ha sempre il 50% di probabilità di ottenere "''+''" e il 50% di ottenere "''-''", cioè è del tutto impossibile per lei influire sul risultato che otterrà.

Inoltre Bob può fare la sua misura ''una sola volta'', in quanto il [[collasso della funzione d'onda]] provocato dalla misura perturba in maniera irreversibile lo stato misurato: una proprietà basilare della meccanica quantistica, nota come "[[Teorema di no-cloning quantistico|no cloning theorem]]", rende impossibile per l'osservatore fare, diciamo, un milione di copie dell'elettrone che riceve, eseguire misure sullo spin di ciascuno e poi analizzare la distribuzione statistica dei risultati.

Quindi, nell'unica misura che gli è permessa, c'è il 50% di probabilità di ottenere "''+''" e il 50% di ottenere "''-''", indipendentemente dal fatto che il suo asse sia allineato o no con quello di Alice.

Tuttavia il [[principio di località]] si richiama fortemente all'intuizione fisica di livello macroscopico, ed Einstein, Podolsky e Rosen non volevano abbandonarlo. Einstein derise le predizioni della meccanica quantistica come "spaventosa [[azione a distanza (fisica)|azione a distanza]]". La conclusione che trassero fu che la meccanica quantistica non è una teoria completa.

Si noti che la parola "località" in fisica ha diversi significati. Per esempio, in [[teoria quantistica dei campi]] "località" significa che campi in punti diversi dello spazio non commutano l'uno con l'altro. Tuttavia, le teorie di campo quantistiche che sono "locali" in questo senso "debole", violano il principio di località come definito da EPR.

== Risoluzione del paradosso ==

=== Variabili nascoste ===

Esistono parecchi possibili modi per risolvere il paradosso. Quello ipotizzato da EPR è che la meccanica quantistica, nonostante il successo in un'ampia varietà di scenari sperimentali, sia in realtà una teoria incompleta. In altre parole esisterebbe qualche teoria della natura ancora non scoperta, rispetto alla quale la meccanica quantistica gioca il ruolo di approssimazione statistica. Questa teoria più completa conterrebbe variabili che tengono conto di tutti gli "elementi fisici di realtà" (anche quelli "nascosti" all'osservatore, chiamati "beable", generalmente a causa dei limiti imposti dal principio di indeterminazione e dal principio di complementarità) e che danno origine agli effetti che la meccanica quantistica è in grado di predire solo a livello probabilistico. Una teoria con tali caratteristiche prende il nome di [[teoria delle variabili nascoste]].

=== Disuguaglianze di Bell ===

Nel [[1964]] [[John Stewart Bell|John Bell]] ha dimostrato con il suo teorema come le predizioni della meccanica quantistica nell'esperimento mentale EPR siano in realtà leggermente differenti dalle predizioni di una classe molto vasta di teorie delle variabili nascoste locali: grosso modo, la meccanica quantistica predice correlazioni statistiche molto più forti tra i risultati di misure eseguite su differenti assi. Queste differenze, espresse adoperando [[disuguaglianza|relazioni di disuguaglianza]] note come [[Disuguaglianze di Bell]], sono in linea di principio verificabili sperimentalmente, per cui è stata approntata allo scopo una [[Esperimenti sulle disuguaglianze di Bell|serie di esperimenti]], che in generale trattano misure di [[polarizzazione]] di [[fotoni]]. Tutti i risultati hanno indicato un comportamento in linea con le predizioni della meccanica quantistica standard.

Tuttavia questi fatti non chiudono il discorso in modo definitivo. Anzitutto il teorema di Bell non si applica a tutte le possibili teorie "realiste": è possibile infatti costruire teorie che eludono le sue implicazioni diventando indistinguibili dalla meccanica quantistica, per quanto risultino più marcatamente [[Principio di località|non-locali]]. Si reputa in proposito che sia violata l'invarianza di Lorentz. Alcuni ricercatori hanno inoltre tentato di formulare teorie di variabili nascoste che sfruttino "scappatoie" in esperimenti concreti, come per esempio le assunzioni fatte nell'interpretare i dati sperimentali, ma nessuno è stato finora in grado di formulare una teoria realista locale capace di riprodurre tutti i risultati della meccanica quantistica.

=== Implicazioni per la meccanica quantistica ===

La gran parte dei fisici ritiene che la meccanica quantistica sia corretta e che il paradosso EPR sia un paradosso apparente, determinato dal fatto che le intuizioni classiche di livello macroscopico non corrispondono alla realtà del mondo microscopico. Si possono trarre dal fenomeno dell'entanglement diverse conclusioni, che dipendono da quale [[interpretazione della meccanica quantistica]] si consideri. Nella [[interpretazione di Copenaghen]], prodotta principalmente da [[Niels Bohr]] e [[Werner Heisenberg]], si conclude che il principio di località (o di separazione) non debba valere e che avvenga realmente il [[collasso della funzione d'onda]] istantaneo all'atto della [[misura]]. Nell'[[Interpretazione a molti mondi della meccanica quantistica|interpretazione a molti-universi]] di [[Hugh Everett III]] la località è mantenuta e gli effetti delle misure sorgono dal suddividersi e ramificarsi delle "storie" o ''linee d'universo'' degli osservatori.

Il paradosso EPR ha reso più profonda la comprensione della meccanica quantistica, mettendo in evidenza le caratteristiche fondamentalmente non classiche del processo di [[misura]]. Prima della pubblicazione dell'articolo di Einstein-Podolsky-Rosen, una misura era abitualmente vista come un processo fisico implicante una perturbazione del sistema. In altri termini, misurando la posizione di un elettrone illuminandolo con la luce, cioè con fascio di fotoni, l'urto di quest'ultimi con la particella avrebbe disturbato il suo stato quantomeccanico, per esempio modificandone la velocità e producendo così un'incertezza su tale grandezza. Questo concetto, al fine di esemplificare l'indeterminazione di grandezze coniugate come posizione e velocità, necessarie a determinare l'evoluzione dello stato della particella, ancora s'incontra in esposizioni scolastiche o divulgative, ma è stato reso non fondamentale dall'analisi di Einstein-Podolsky-Rosen, che mostra chiaramente come possa effettuarsi una "misura" su una particella senza disturbarla direttamente attraverso il suo legame di entanglement con un'altra. L'[[Principio di indeterminazione di Heisenberg|indeterminatezza]] della meccanica quantistica, unitamente al suo aspetto probabilistico, emerge invece a un livello fondamentale direttamente dalla struttura intrinsecamente "quantistica" della realtà fisica.

Sono state sviluppate e stanno progredendo tecnologie che si basano sull'entanglement quantistico. Nella [[crittografia quantistica]], si usano particelle entangled per trasmettere segnali che non possono essere [[Intercettazione|intercettati]] senza lasciare traccia dell'intercettazione avvenuta. Nella [[computazione quantistica]], si usano stati quantistici intrecciati (''entangled'') per eseguire calcoli in [[computazione parallela|parallelo]] che permettono velocità di elaborazione non possibili con i computer classici.

=== Teorema del multi verso ===

Esiste una spiegazione che riguarda gli universi multipli molto più complicata. Essa stabilisce che ogni volta che qualcosa è incerto, l'"Albero dell'Universo" (come talvolta è chiamato il fenomeno di tutte le ramificazioni possibili di eventi) produce un altro ramo, cioè si ramifica. Ciascuna ramificazione, appena prodotta, è un diverso universo simile al precedente, perché l'incertezza generalmente è piccola, all'inizio. Ogni possibilità è un accadimento che capita da qualche parte. Si tratta di una visualizzazione intuitiva. La teoria è molto più ampia, ma a causa della grande astrattezza di questi concetti non può essere affrontata in questa sede con maggior dettaglio.

== Formulazione matematica ==

Si può esprimere matematicamente la discussione di cui sopra adoperando [[spin|il formalismo quantomeccanico di spin]]. Il grado di libertà di spin di un elettrone è associabile con uno [[spazio di Hilbert]] bidimensionale ''H'', in cui ogni vettore dello spazio corrisponde ad uno stato quantico di spin. Gli operatori quantistici che corrispondono allo spin lungo le direzioni ''x'', ''y'' e ''z'', designati rispettivamente ''S_x'', ''S_y'' e ''S_z'', possono essere associati a loro volta alle [[matrici di Pauli]]:

<math> S_x = \frac{\hbar}{2}

\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad

S_y = \frac{\hbar}{2}

\begin{bmatrix} 0&-i\\i&0\end{bmatrix}, \quad

S_z = \frac{\hbar}{2}

\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix} </math>

dove <math>\hbar</math> rappresenta la [[Costante di Planck|costante d'azione di Planck]] divisa per ''2π''.

Gli [[Autostato|autostati]] di ''S_z'' sono espressi da

:<math>

\left|+z\right\rang \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad

\left|-z\right\rang \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} </math>

mentre gli autostati di ''S_x'' sono espressi da

:<math>

\left|+x\right\rang \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad

\left|-x\right\rang \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} </math>

Lo spazio di Hilbert per una coppia di elettroni è <math> H \otimes H </math>, cioè il [[prodotto tensoriale]] degli spazi di Hilbert dei due singoli elettroni. Lo stato di spin di singoletto è

:<math>

\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang -

\left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg) </math>

dove i due termini nel membro a destra stanno per ciò che più sopra è stato chiamato stato I e stato II. A partire da queste equazioni, si può mostrare che lo spin di singoletto è scrivibile come

:<math>

\left|\psi\right\rang = \frac{-1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+x\right\rang \otimes \left|-x\right\rang -

\left|-x\right\rang \otimes \left|+x\right\rang \bigg) </math>

dove i termini del membro a destra sono quello che è stato chiamato stato Ia e stato IIa.

Per illustrare come questo comporti la violazione del realismo locale, è necessario mostrare che dopo la misura effettuata da Alice di ''S_z'' (o di ''S_x''), il valore misurato da Bob di ''S_z'' (o di ''S_x'') è determinato univocamente e per questo corrisponde ad un "elemento fisico di realtà". Questo fatto discende dalla teoria della misura adottata in meccanica quantistica. Quando si effettua la misura ''S''_z, lo stato ψ del sistema collassa dentro un autovettore di ''S''_z. Se il risultato della misura è ''+z'', ciò significa che immediatamente subito dopo la misurazione lo stato ψ del sistema è sottoposto ad una proiezione ortogonale nello spazio degli stati della forma

:<math> \left| +z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in H </math>

Per il singoletto di spin, il nuovo stato è

:<math> \left| +z \right\rangle \otimes \left| -z \right\rangle. </math>

Analogamente, se la misura di Alice dà ''-z'', il sistema viene sottoposto ad una proiezione ortogonale su

:<math> \left| -z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in H </math>

che significa che il nuovo stato è

:<math> \left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle </math>

Questo implica che ora la misura di ''S''_z dell'elettrone di Bob è determinata. Sarà ''-z'' nel primo caso e ''+z'' nel secondo caso.

Resta solo da mostrare che ''S_x'' e ''S_z'' non possono possedere contemporaneamente, per la meccanica quantistica, valori definiti. Si potrebbe mostrare in maniera diretta che non esiste nessun vettore che possa essere un [[autovettore]] di entrambe le matrici. Più in generale, si può usare il fatto che gli operatori non [[relazione di commutazione (prodotto di Lie)|commutano]],

:<math>

\left[ S_x, S_z\right] = - i\hbar S_y \ne 0

</math>

e quindi secondo la relazione di incertezza di Heisenberg

:<math>

\lang (\Delta S_x)^2 \rang \lang (\Delta S_z)^2 \rang \ge

\frac{1}{4} \left|\lang \left[ S_x, S_z\right] \rang \right|^2

</math>

si conclude che componente x e componente z devono avere al contempo un'incertezza strettamente maggiore di zero.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

{{W|fisica|dicembre 2017| Uso di nomi abbreviati e senza link agli autori; citazioni senza gli appositi template}}

=== Articoli selezionati ===

* {{cita pubblicazione|autore=A. Aspect|titolo=Bell's inequality test: more ideal than ever|rivista= Nature|volume=398|numero=189|anno=1999|url=http://www-ece.rice.edu/~kono/ELEC565/Aspect_Nature.pdf}}

* {{cita pubblicazione|autore=J.S. Bell|titolo=On the Einstein-Poldolsky-Rosen paradox|rivista= Physics|volume=1|numero=195|anno=1964}}

* {{cita pubblicazione|autore=J.S. Bell|titolo= Bertlmann's Socks and the Nature of Reality|rivista= Journal de Physique|volume=42|anno=1981}}

* {{cita pubblicazione|autore=P.H. Eberhard|titolo= Bell's theorem without hidden variables|rivista= Nuovo Cimento|volume=38B1|numero= 75|anno=1977}}

* {{cita pubblicazione|autore=P.H. Eberhard|titolo= Bell's theorem and the different concepts of locality|rivista= Nuovo Cimento |volume=46B|numero= 392|anno= 1978}}

* {{cita pubblicazione|autore=A. Einstein, B. Podolsky, e N. Rosen|url=http://www.drchinese.com/David/EPR.pdf|titolo= Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?|rivista= Phys. Rev. |volume=47|numero= 777|anno=1935}} [https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.47.777 Secondo collegamento]

* {{cita pubblicazione|autore=A. Fine|titolo= Hidden Variables, Joint Probability, and the Bell Inequalities|rivista= Phys. Rev. Lett |volume=48|numero= 291|anno=1982}}

* {{cita pubblicazione|autore=A. Fine|titolo= Do Correlations need to be explained?|rivista=Philosophical Consequences of Quantum Theory: Reflections on Bell's Theorem|editore=University of Notre Dame Press|anno=1986}}

* {{cita pubblicazione|autore=L. Hardy|titolo= Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states|rivista=Phys. Rev. Lett. |volume=71|numero= 1665|anno=1993}}

* {{cita pubblicazione|autore= M. Mizuki|titolo= A classical interpretation of Bell's inequality|rivista= Annales de la Fondation Louis de Broglie |volume=26|numero=683|anno=2001}}

* {{SEP}}

* {{SEP|bell-theorem|Bell's Theorem}}

=== Libri ===

* Bell, John S, ''Dicibile e indicibile in meccanica quantistica'' , Milano, Adelphi, 2010.

* J.J. Sakurai, ''Modern Quantum Mechanics'' (Addison-Wesley, 1994), pp.&nbsp;174–187, 223-232. ISBN 0-201-53929-2

* F. Selleri, ''Quantum Mechanics Versus Local Realism: The Einstein-Podolsky-Rosen Paradox'' (Plenum Press, New York, 1988)

* A. Zeilinger, ''Il velo di Einstein - Il nuovo mondo della fisica quantistica'' (Einaudi, 2005). ISBN 88-06-17078-3

* M. Kumar, ''Quantum. Da Einstein a Bohr, la teoria dei quanti, una nuova idea della realtà'' (Mondadori 2010).

== Voci correlate ==

* [[CHSH Bell test]]

* [[Esperimenti sulle disuguaglianze di Bell]]

* [[Esperimento sulla correlazione quantistica di Aspect]]

* [[Sincronismo]]

* [[Stato di Bell]]

* [[Teletrasporto quantistico]]

* [[Teorema di Bell]]

* [[Teoria delle variabili nascoste]]

* [[Teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|q_etichetta=''La descrizione quantica della realtà può essere considerata completa?''|q_preposizione=da o su}}

== Collegamenti esterni ==

* {{cita web|http://www.pv.infn.it/~nicrosi/paradosso/home.htm|Paradosso EPR e teorema di Bell}}

* {{cita web|http://plato.stanford.edu/entries/qt-epr/|''The Einstein-Podolsky-Rosen Argument in Quantum Theory''|lingua=en}}

* {{cita web|http://plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/|''Bell's Theorem''|lingua=en}}

* {{cita web|http://www.drchinese.com/David/EPR_Bell_Aspect.htm|EPR, Bell & Aspect: The Original References|lingua=en}}

* {{cita web|http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Quantum/bells_inequality.html|Does Bell's Inequality Principle rule out local theories of quantum mechanics?|lingua=en}}

* {{cita web|http://lescienze.espresso.repubblica.it/articolo/articolo/1345610|Un inaspettato legame fra principio di indeterminazione e non-località}}

* {{Cita web|url=http://www.altrogiornale.org/cose-la-non-localita/|titolo=Che cos’è la Non Località?|autore=Davide Fiscaletti|data=|accesso=23 maggio 2016}}

{{Controllo di autorità}}

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[[Categoria:Paradossi|Einstein-Podolsky-Rosen,Condritti paradosso diestinti]]

[[Categoria:Interpretazioni della meccanica quantistica]]

[[Categoria:Albert Einstein]]