Base (algebra lineare) e Controllo centralizzato del traffico: differenze tra le pagine

Versione delle 22:01, 2 mag 2010

Versione delle 21:10, 20 giu 2019

Riga 1:

Il '''Controllo Centralizzato del traffico''', (in sigla '''CTC''', dall'[[lingua inglese|inglese]]: ''Centralized Traffic Control''), è un sistema di telecomando e [[telecontrollo]] del traffico [[ferrovia]]rio nato con le seguenti finalità:

{{Avvisounicode}}

* ridurre i costi di esercizio impresenziando in modo temporaneo ovvero permanente le [[Stazione ferroviaria|stazioni]] e/o le [[assuntoria|assuntorie]];

{{voce complessa|Vettore (matematica)|Spazio vettoriale}}

* migliorare la regolarità dell'esercizio ferroviario regolando in modo tempestivo la circolazione dei [[Treno|treni]] in ampie tratte, mediante telecomando impartito da un singolo posto operativo facente capo al [[Dirigente Centrale Operativo|Dirigente Centrale Operativo (D.C.O.)]].

In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], un insieme di [[Vettore (matematica)|vettori]] di uno [[spazio vettoriale]] è una '''base''' se questi vettori sono [[dipendenza lineare|indipendenti]] e [[Combinazione_lineare|generano]] lo spazio vettoriale.

È sinteticamente costituito da un posto centrale e da più posti periferici tutti collegati con una linea di [[telecomunicazione]] per tele-operazioni con le quali possono essere inviati comandi dal posto centrale verso i posti periferici e inviare segnali di "risposta", dai posti periferici verso il posto centrale.

La base è un concetto chiave dell'algebra lineare, simile a quello di [[sistema di riferimento]] usato in [[fisica]], che permette di definire la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di uno spazio vettoriale.

Nel posto centrale si distinguono:

==Definizione==

* un [[quadro luminoso]], con il quale si può apprezzare la posizione dei treni sulla linea;

* un quadro sinottico, con tutte le apparecchiature di visualizzazione;

* una pulsantiera, con la quale possono essere impartiti i telecomandi;

* un circuito di logica di elaborazione dei segnali;

* le apparecchiature di ricetrasmissione, solitamente due canali telefonici con [[modem]] o con [[fibra ottica|fibre ottiche]].

Data la delicatezza dei comandi inviati dal Posto Centrale (in complemento con l'[[Apparato Centrale Elettrico a Itinerari|ACEI]] si attua l'instradamento treni in reti complesse di scambi), vengono presi tutta una serie di accorgimenti logico-circuitali per evitare che un falso comando, dovuto ad interferenze o guasti ai sistemi di trasmissione, possa determinare condizioni di rischio di incidenti (ad esempio, la collisione tra due treni instradati sullo stesso binario).

Sia ''V'' uno [[spazio vettoriale]] su un [[campo (matematica)|campo]] '''K'''. Un [[insieme ordinato]] (sequenza) di vettori (''v''₁, ..., ''v_n'') è una '''base''' per ''V'' se valgono entrambe queste proprietà:

== Primi CTC ==

<div style="float:center; width:65%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

[[File:Quadro luminoso BO-Nodo-1957.jpg|thumb|Q.L. del CTC Nodo di Bologna - 1957]]

# I vettori ''v''₁, ..., ''v_n'' sono [[linearmente indipendenti]];

# I vettori ''v''₁, ..., ''v_n'' [[span_lineare|generano]] ''V'', cioè ''V'' = Span(''v''₁, ..., ''v_n'').

</div>

Il primo CTC installato in Italia fu quello della [[Linea di cintura (Bologna)|Linea di Cintura di Bologna]], attivato nel [[1957]]<ref>{{cita|Veicoli ed impianti|p.339}}</ref>. Era composto da un [[quadro luminoso]] in vetro nero smerigliato che mostrava ai D.C.O. la posizione dei treni, l'aspetto dei segnali e la disposizione dei [[deviatoio|deviatoi]] oltre a svariate informazioni accessorie. Il DCO regolavano la circolazione operando da un Banco i cui pulsanti, leve e bottoni eccitavano dei [[relè]] che comandavano gli ACEI dei Bivi che, a loro volta garantivano (e ancora garantiscono) la sicurezza della circolazione. Per i lavori di potenziamento delle linee afferenti Bologna e la costruzione della nuova [[treno ad alta velocità|linea AV/AC]], negli ultimi anni il Quadro Luminoso era stato sostituito con uno più moderno "a tessere" che consentiva un più veloce adeguamento alle mutazioni degli impianti "in campagna". Dal 14 gennaio 2007 è entrato in funzione il nuovo CTC evoluto che precede l'arrivo del [[Sistema di Comando e Controllo]] del Nodo di Bologna e che sostituisce totalmente il vecchio CTC

== Proprietà ==

=== Dimensione ===

Uno spazio vettoriale generalmente non ha una sola base, anzi solitamente ha una infinità di basi molto diverse fra loro; però grazie al [[teorema della dimensione per spazi vettoriali]] queste basi hanno tutte la stessa [[cardinalità]], sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori.

Circa 15 anni dopo è stato gradatamente attivato il CTC Direttissima che permise la [[gestione del traffico ferroviario]] dell'intera tratta [[Ferrovia direttissima Firenze-Bologna|Bologna San Ruffillo - Prato]] con due soli operatori DCO Il C.T.C. Direttissima, costruttivamente diverso dal precedente, si avvaleva di un computer, il quadro luminoso era già "a tessere" e gli itinerari dei treni venivano in gran parte predisposti dal computer anche se importante rimaneva il controllo umano per le "vere" decisioni di gestione della circolazione, decisioni che venivano impartite al sistema CTC tramite una serie di codici di 4 cifre inseriti con una pulsantiera numerica. Dal 13 agosto [[2007]] anche questo C.T.C. è stato rinnovato ed attivato nella nuovissima Sala Operativa Rete Regionale che ospita anche il CTC del Nodo di Bologna e della [[stazione di Bologna Centrale]] e che gradualmente prenderà in carico il movimento dei treni di tutte le linee gestite da [[Rete Ferroviaria Italiana]] della [[Emilia-Romagna|Regione]].

Questo numero, che dipende quindi solo da ''V'', è la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di ''V'' e permette di definire spazi di dimensione arbitrariamente alta, superando i limiti dell'umana intuizione tridimensionale.

==Note==

La dimensione di ''V'' è inoltre pari al massimo numero di vettori indipendenti in ''V'', e al minimo numero di vettori necessari per generare ''V''.

=== Combinazione lineare ===

Un insieme ''B'' = (''v''₁, ..., ''v_n'') di vettori è una base per ''V'' se e solo se ogni elemento ''v'' di ''V'' si può scrivere in un modo solo come [[combinazione lineare]]

dei vettori ''v''₁, ..., ''v_n''. Tale combinazione lineare identifica le [[coordinate di un vettore|coordinate]] di ''v'' rispetto a ''B''.

=== Condizioni sufficienti ===

Le due proprietà seguenti mostrano che, conoscendo già la dimensione dello spazio, per verificare che un insieme del numero giusto di elementi sia una base è sufficiente provare una sola delle due proprietà necessarie:

* Un insieme ''B'' di ''n'' vettori in uno spazio ''V'' di dimensione ''n'' è una base se e solo se sono indipendenti.

* Un insieme ''B'' di ''n'' vettori in uno spazio ''V'' di dimensione ''n'' è una base se e solo se generano ''V''.

=== Esistenza ===

Qualsiasi sia lo spazio vettoriale ''V'', possiamo sempre trovare una base. Vediamo il perché (la cosa non è banale, e richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale). Consideriamo la collezione ''I''(''V'') dei sottoinsiemi di ''V'' linearmente indipendenti. È immediato che l'inclusione ⊂ sia un ordine parziale su ''I''(''V''), e che per ogni catena {''B_i''} l'insieme ∪ ''B_i'' sia un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il lemma di Zorn sappiamo che esiste un insieme massimale linearmente indipendente ''B'' in ''I''(''V''). Adesso è facile concludere che ''B'' è una base, infatti se ''v'' ∈ ''V'' e ''v'' ∉ ''B'', allora per la massimalità di ''B'' l'insieme ''B'' ∪ {''v''} deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari ''a, a₁, ..., a_n'' non tutti nulli tali che

:''a v'' + ''a₁ b₁'' + ... + ''a_n b_n'' = 0, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ''b₁, ..., b_n'' ∈ ''B

notiamo che ''a'' ≠ 0 (se fosse nulla allora anche gli altri ''a_i'' dovrebbero esserlo essendo gli elementi di ''B'' linearmente indipendenti), ne deriviamo che ''v'' può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di ''B'', che quindi, oltre a essere linearmente indipendente, genera ''V'', ovvero è una base.

==Esempi==

* I vettori (1,0) e (0,1) sono una base di '''R'''², perché sono indipendenti e generano '''R'''² (infatti ogni altro (''a'', ''b'') si scrive come (''a'', ''b'') = ''a''(1,0) + ''b''(0,1)).

* In dimensione arbitraria, una base dello spazio vettoriale '''R'''''ⁿ'' è data dai vettori <blockquote>''e''₁ = (1, 0, 0, ..., 0), ''e''₂ = (0, 1, 0, ...,0), ..., ''e_n'' = (0, ..., 0, 1).</blockquote>Questa base si chiama '''base canonica''' di '''R'''''ⁿ''.

* La base canonica di '''C'''''ⁿ'', cioè lo spazio vettoriale delle n-uple di [[numeri complessi]], è sempre <blockquote>''e''₁ = (1, 0, 0, ..., 0), ''e''₂ = (0, 1, 0, ...,0), ..., ''e_n'' = (0, ..., 0, 1).</blockquote> È facile infatti scrivere un qualsiasi vettore di '''C'''^''n'' come combinazione di questi. Ad esempio il vettore (''i'', 0, 0) si scrive come <blockquote> ''i'' * (1 , 0 , 0) = (''i'' , 0 , 0)</blockquote>

* I vettori (2,1) e (-1,2) formano una base di '''R'''², diversa da quella canonica: visto che sono 2 vettori in uno spazio che sappiamo già avere dimensione 2, grazie alla proprietà descritta sopra per dimostrare questo fatto ci basta notare che sono indipendenti.

== Generalizzazioni in dimensione infinita ==

Il concetto di base in spazi di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] infinita (in cui cioè esista un insieme infinito di vettori linearmente indipendenti) è più problematico. Per tali spazi esistono due nozioni differenti di base: la prima, detta ''base di Hamel'', è definita algebricamente, mentre la seconda, detta ''base di Schauder'', necessita della presenza di una [[spazio topologico|topologia]].

=== Base di Hamel ===

Una '''base di Hamel''' per uno spazio vettoriale <math> V </math> è un insieme <math> \{v_i\}_{i\in I} </math> di vettori linearmente indipendenti<ref>Per definizione, <math>\{v_i\} </math> è un insieme di vettori indipendenti se ogni sottoinsieme finito di questi è formato da vettori indipendenti.</ref>, parametrizzato da un [[insieme ordinato]] <math> I </math> di indici, tale che ogni vettore <math> v </math> di <math> V </math> è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

Nel caso in cui <math> I </math> è un insieme finito, la definizione coincide con quella data precedentemente.

Ad esempio, una base di Hamel per lo spazio vettoriale <math> V = K[x] </math> formato da tutti i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un campo <math> K </math> è data dall'insieme di tutti i monomi

:<math>\{x^i\}_{i\in\mathbb N} = \{1,x,x^2,x^3,\ldots \}. </math>

Infatti ogni polinomio <math> a_nx^n+\ldots a_1x + a_0 </math> è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

Ogni spazio vettoriale ha una base di Hamel, grazie al [[lemma di Zorn]] (vedi la [[#Esistenza|proprietà di esistenza]]). Inoltre due basi di Hamel qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa [[cardinalità]], che può dunque essere presa come dimensione (di Hamel) dello spazio vettoriale. Infine, continua ad rimanere vero il fatto che ogni vettore dello spazio <math> V </math> si scrive in modo <i>unico</i> come combinazione lineare dei vettori di una base di Hamel.

=== Base di Schauder o topologica ===

Se lo spazio è dotato di una [[spazio topologico|topologia]], è possibile estendere la definizione di base in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di [[limite di una successione]] e di [[serie]].

Se <math> V </math> è uno [[spazio vettoriale topologico]], ad esempio uno [[spazio di Hilbert]] o [[spazio di Banach|di Banach]], un insieme ordinato <math> \{v_i\}_{i\in I} </math> di vettori linearmente indipendenti è una '''[[base di Schauder]]''' (o '''topologica''') se lo [[span lineare|spazio da essi generato]] è [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. In altre parole, se ogni vettore <math> v </math> di <math> V </math> può essere approssimato da somme (finite) di vettori in <math> \{v_i\}_{i\in I} </math>, e quindi come limite di una somma infinita di questi:

:<math> v =\sum_{i\in I'} (a_i-v_i), </math>

dove <math>I'\subset I </math> è un sottoinsieme [[numerabile]].

In uno spazio di Hilbert, è di particolare importanza la nozione di [[base ortonormale]].

L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata. Vedi {{citazione necessaria}}.

L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi {{citazione necessaria}}. .

=== Cardinalità ===

Le due nozioni di basi sono generalmente molto differenti, e anche le loro cardinalità possono differire, portando a due concetti diversi di dimensione, chiamati rispettivamente ''[[dimensione di Hamel]]'' e ''[[dimensione di Schauder]]''. La dimensione di Hamel può avere cardinalità superiore a quella di Schauder (pur essendo entrambe infinite).

Ad esempio, sia <math> V </math> lo spazio delle [[funzione continua|funzioni continue]] reali definite sull'intervallo <math>[0,2\pi] </math>. Questo è uno [[spazio di Banach]] con la [[norma (matematica)|norma]]

:<math>\|f\| = \max_{x\in [0,\pi]} |f(x)|. </math>

Come conseguenza della teoria delle [[serie di Fourier]], una base di Schauder per <math> V </math> è costruita a partire dalle [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]

:<math>\{1\} \cup \{\sin(nx), \cos(nx) | n = 1, 2, 3, \ldots\}, </math>

ed ha cardinalità numerabile. Una base di Hamel ha invece [[cardinalità non numerabile]], ed è molto più difficile da costruire (e scarsamente utilizzata).

== Note ==

<references/>

==Bibliografia==

== Voci correlate ==

*{{Cita libro|Ministero dei trasporti|Ferrovie dello Stato|Veicoli ed impianti,vol IX, p. 339|1962|Tipografia editrice Giardini|Pisa}}

* [[Base ortonormale]]

* [[Completamento a base]]

* [[Estrazione di una base]]

* [[Formula di Grassmann]]

* [[Matrice di cambiamento di base]]

* [[Span lineare]]

* [[Sottospazio vettoriale]]

==Voci correlate==

{{algebra lineare}}

*[[Ferrovia]]

*[[Sistema di comando e controllo]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematicaTrasporti}}

[[Categoria:Algebra lineare]]

[[Categoria:Gestione del traffico ferroviario]]

[[bg:Базис]]

[[Categoria:Infrastrutture ferroviarie]]

[[bs:Baza (linearna algebra)]]

[[ca:Base (àlgebra)]]

[[cs:Báze (algebra)]]

[[de:Basis (Vektorraum)]]

[[en:Basis (linear algebra)]]

[[eo:Bazo (lineara algebro)]]

[[es:Base (álgebra)]]

[[fa:پایه (جبر خطی)]]

[[fi:Kanta (lineaarialgebra)]]

[[fr:Base (algèbre linéaire)]]

[[he:בסיס (אלגברה)]]

[[hr:Baza (linearna algebra)]]

[[hu:Hamel-bázis]]

[[ko:기저]]

[[nl:Basis (lineaire algebra)]]

[[pl:Baza (przestrzeń liniowa)]]

[[pt:Base (álgebra linear)]]

[[ro:Bază algebrică]]

[[ru:Базис]]

[[simple:Basis (linear algebra)]]

[[sl:Baza (linearna algebra)]]

[[sr:База (линеарна алгебра)]]

[[sv:Bas (linjär algebra)]]

[[uk:Базис (математика)]]

[[ur:بنیاد سمتیہ]]

[[vi:Cơ sở (đại số tuyến tính)]]

[[zh:基 (線性代數)]]