Coordinate generalizzate e Discussioni utente:Achille12: differenze tra le pagine

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In [[meccanica razionale]] un sistema di '''coordinate generalizzate''' (o '''lagrangiane''') è un [[sistema di coordinate]], di numero pari ai [[Grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]] del sistema, che determina univocamente lo stato del sistema.

Dato un sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate (per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]]) nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\vec x=(x_1, x_2, ..., x_m)</math>, con <math> m\ge n</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>x_i</math> in funzione del vettore <math> \vec q=(q_1, q_2, ..., q_n)</math>, dove ogni <math>q_h</math> è detta ''variabile generalizzata'':

:<math>

\begin{cases} x_1 = \phi_1(q_1, \dots , q_n)\\

x_2 = \phi_2(q_1, \dots , q_n) \\

\dots \; \; \dots \\

x_m = \phi_m (q_1, \dots , q_n)

\end{cases}

</math>

dove <math>\vec q = (q_1, \dots , q_n) \in A \subset \mathbb{R}^n</math> con <math>A</math> aperto, e <math>\vec \phi : A \longrightarrow \mathbb{R}^m</math> è una funzione regolare. La caratteristica fondamentale è che queste coordinate libere sono indipendenti, cioè possono variare indipendentemente le une dalle altre, e per questo motivo vengono chiamate coordinate generalizzate. Ciò non è vero per sistemi di coordinate formate da un numero maggiore di variabili, a causa della presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>x_i</math>. Le coordinate generalizzate possono anche rappresentare grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio l'energia del sistema.

==Esempi==

Un sistema di ''n'' particelle nello spazio tridimensionale può avere fino a 3''n'' gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di ''n'' corpi rigidi può avere fino a 6''n'' coordinate generalizzate, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.

Un corpo costretto a spostarsi lungo un '''vincolo unidimensionale''' (es. una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\phi(t), \phi:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3</math>) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t\,\!</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.

Analogamente un corpo vincolato ad una '''[[superficie (matematica)|superficie]]''' ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace q_1,q_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace \,\!</math>, dove <math>\theta\,\!</math> e <math>\phi\,\!</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]].

La coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.

Un '''[[pendolo|doppio pendolo]]''' costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse ''y'' verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace\,\!</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangiane l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\lbrace q_1,q_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace\,\!</math> otteniamo le seguenti relazioni:

<math>\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace\,\!</math>

<math>\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2 , l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2 \rbrace\,\!</math>

dove <math>l_1</math> è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e <math>l_2</math> è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.

==Velocità ed energia cinetica generalizzate==

Ogni coordinata generalizzata <math>q_i</math> è associata ad una velocità generalizzata <math>p_i</math>, definita come <math>p_i={dq_i \over dt}</math>.

Per un sistema di <math>n</math> particelle con <math>3n</math> gradi di libertà, nel quale ogni particella è identificata dalle coordinate <math>(x_i, y_i, z_i)=(x_i, x_{i+1}, x_{i+2})\,\!</math> possiamo passare ad un sistema di riferimento formato da 3n coordinate generalizzate.

Se si conoscono le equazioni di trasformazione tra coordinate cartesiane e generalizzate

:<math>x_i = x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>

:<math>x_{i+1} = y_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>

:<math>x_{i+2} = z_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )</math>

allora queste equazioni possono essere differenziate:

:<math>\dot x_i = \frac {d}{dt} x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )=\sum_{h=1}^{3n}\frac{\partial x_i}{\partial q_h}\dot q_h+\frac{\partial x_i}{\partial t}</math>

L'energia cinetica dell' i-esima particella è data da:

:<math>T_i =\frac {1}{2} m_i\sum_{j=1}^{3}\dot x_j^2</math>

quindi l'energia cinetica totale è data da:

:<math>T=\frac {1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_i\sum_{j=1}^{3}\dot x_j^2</math>

Esprimendo le <math>x_j</math> in funzione delle coordinate generalizzate:

:<math>T=\frac {1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_i\sum_{j=1}^{3}\left(\sum_{h=1}^{3n}\frac{\partial x_j}{\partial q_h}p_h+\frac{\partial x_j}{\partial t}\right)\cdot \left(\sum_{k=1}^{3n}\frac{\partial x_j}{\partial q_k}p_k+\frac{\partial x_j}{\partial t}\right)</math>.

Svolgendo e raccogliendo nelle <math>p</math>:

:<math>T=\frac {1}{2}\left (\sum_{h=1}^{3n}\sum_{k=1}^{3n}a_{hk} p_h p_k +2\sum_{k=1}^{3n}a_{0k}p_k+a_{00}\right )</math>

dove i termini <math>a_{0k}\,\!</math> e <math>a_{00}\,\!</math> dipendono in generale dal tempo. Possiamo quindi esprimere l'energia cinetica di ogni particella come [[forma quadratica]] nelle velocità generalizzate <math>p_h</math>, e nel caso di vincoli indipendenti dal tempo l'energia cinetica si riduce a:

:<math>T=\frac {1}{2}\sum_{h=1}^{3n}\sum_{k=1}^{3n}a_{hk} p_h p_k </math>

È importante ricordare che l'energia cinetica deve essere misurata relativamente a coordinate inerziali. Se si usa il metodo sopra citato, significa solo che le coordinate cartesiane devono essere [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]], anche se le coordinate generalizzate non ne hanno bisogno. Questo è un altro considerevole vantaggio delle coordinate generalizzate.

==Applicazioni delle coordinate generalizzate==

===Lavoro virtuale, forze generalizzate===

Le coordinate generalizzate sono utili principalmente in [[Meccanica lagrangiana]], dove il loro uso permette di eliminare le forze vincolari (nel caso di [[vincolo|vincoli]] perfetti).

Dato uno [[spostamento virtuale]] <math>\vec {\delta OP_i}</math>, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli "congelati", cioè considerati come fissi, indipendenti dal tempo, si definisce [[lavoro virtuale]] il [[prodotto scalare]] tra le forze <math>\vec f_i</math> agenti sull' i-esima particella del sistema e lo spostamento virtuale <math>\vec {\delta OP_i}</math>:

:<math>\delta W_i=\vec f_i\cdot \vec{\delta OP_i}</math>

Se i vincoli del sistema sono perfetti, allora i lavori virtuali associati alle forze vincolari sono nulli, dato che le forze sono ortogonali agli spostamenti virtuali.

Distinguendo quindi tra forze attive <math>\vec f_i^{att}(q_1, q_2, ..., q_n)</math> e reazioni vincolari <math>\vec r_i(q_1, q_2, ..., q_n)\,\!</math>, il lavoro virtuale sarà quindi dato da:

:<math>\delta W_{i}=(\vec f_i^{att}+\vec r_i)\cdot \vec {\delta OP_i}=f_i^{att}\cdot \vec {\delta OP_i}</math>

Esprimendo <math>\vec {\delta OP_i}</math> in funzione delle coordinate generalizzate <math>q_h\,\!</math>, e ricordando che <math>\frac{\partial \vec OP_i}{\partial t}=0</math> per definizione di spostamento virtuale:

:<math>\delta W_{i}=\sum_{h=1}^n \vec f_i^{att}\cdot \frac{\partial \vec OP_i}{\partial q_h}\delta q_h=\sum_{h=1}^n Q_{ih} \cdot \delta q_h</math>

dove le ''n'' quantità <math>Q_{ih}=\sum_{h=1}^n \vec f_i^{att}\cdot \frac{\partial \vec OP_i}{\partial q_h}</math> sono dette ''componenti lagrangiane'' della forza attiva <math>\vec f_i^{att}</math>, o anche '''[[forza generalizzata|forze generalizzate]]'''.

Mentre in [[fisica]] si è più interessati alla conoscenza del moto del sistema, un problema di grande interesse in [[ingegneria]] è risalire alle forze generalizzate, derivandole velocemente determinando lo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_h\,\!</math>, con il tempo e le altre coordinate generalizzate fissate.

La [[forza generalizzata]] potrebbe quindi essere calcolata come:

:<math>Q_h(q_1, q_2, ... , q_h) = \frac {\delta W_i}{\delta q_h}</math>

===Principio dei lavori virtuali===

Il [[principio dei lavori virtuali]] afferma che [[condizione necessaria e sufficiente]] affinché un sistema sia in equilibrio è che il lavoro virtuale sia nullo, il che equivale a dire che le forze generalizzate siano nulle. La necessità si dimostra a partire dal [[principi della dinamica|secondo principio di Newton]]:

:<math>m_i\vec \ddot x_i-\vec F_i=0</math>

:<math>(m_i\vec \ddot x_i-\vec F_i)\delta \vec {OP_i}=0</math>

:<math>(m_i\vec \ddot x_i-\vec f_i^{att})\delta \vec {OP_i}=0</math>

:<math>\sum_{h=1}^n (m_i\vec \ddot x_i\frac {\partial \vec {OP_i}}{\partial q_h}-Q_{ih})\delta q_h=0</math>

:<math>m_i\vec \ddot x_i\frac {\partial \vec {OP_i}}{\partial q_h}-Q_{ih}=0\qquad \qquad</math>

utilizzando l'indipendenza dei <math>\delta q_h</math>. Se le <math>\vec \ddot x_i</math> sono nulle, allora lo sono anche le forze generalizzate. La sufficienza si dimostra a partire dalle [[equazioni di Eulero-Lagrange]]: se il potenziale è nullo, allora le equazioni ammettono la soluzione statica; ma dato che è unica, essa permane.

==Voci correlate==

*[[Meccanica lagrangiana]]

*[[Meccanica hamiltoniana]]

*[[Grado di libertà (meccanica classica)]]

*[[Lavoro virtuale]]

==Collegamenti esterni==

*http://www.physics.northwestern.edu/ugrad/vpl/mechanics/pendulum.html Pendolo doppio (plugin Java)

==Bibliografia==

*Wells, D.A., ''Schaum's Outline of Lagrangian Dynamics''; McGraw-Hill, Inc. New York, 1967.

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