Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

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In [[analisi matematica]], per '''passaggio al limite sotto segno di integrale''' si intende la possibilità di ottenerecalcolare il [[limite (matematica)|limite]] deglidi una successione di [[integrale definito|integrali]] dicome unal'integrale del limite della [[successione (matematica)|successione]] didelle [[funzione (matematica)|funzioni]] come integrale del limite delle funzioni stesse, ovvero la verità dell'uguaglianzaintegrande:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x=\int_E\lim_{n\to\infty} f_n(x)\mathrm{d}x</math>

LaTale possibilitàtipo di effettuareoperazione questosi scambiopresenta è un'importante questione, che hain un gran numero di applicazioni, teoriche;e la mancanzal'assenza di buoni teoremi con ipotesi sufficientemente generali che permettesseropermettano questolo scambio del passaggio al limite con l'operazione di integrazione è uno dei motivi che hanno portato alla definizione dell'[[integrale di Lebesgue]] in sostituzione dell'[[integrale di Riemann]].<ref>{{cita|Giusti|p. 259|Giusti2}}.</ref>

InNel contesto dell'[[analisi funzionale]], equivalei ateoremi chiedersidi passaggio al limite sotto il segno di integrale sono lo strumento principale per stabilire se, per una data successione di funzioni, la [[convergenza puntuale]] ([[quasi ovunque]]) implica la convergenza in [[spazio Lp|norma L¹]].

== Integrale di Riemann ==

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:<math>0\leq \left|\int_E [f_k(x)-f(x)] \mathrm{d}x \right|\leq \int_E |f_k (x)-f(x)| \mathrm{d}x \leq |E| \sup{\{f_k (x)-f(x)\}}</math>

che tende a 0 per la convergenza uniforme. Né un'ipotesi né l'altra sono sufficienti a garantire lo scambio: per un insieme non limitato si può prendere ad esempio la successione

:<math>f_n(x)=\frac{1}{n}\Chi_chi_{[n,2n]}(x)</math>

(dove &Chi;<math>\chi</math> indica la [[funzione indicatrice]]), mentre in un insieme non limitato l'esempioun cardinesemplice esempio è

:<math>f_n(x)=n\Chi_chi_{\left[0,\frac{1}{n}\right]}(x)</math>

In entrambi i casi, le funzioni tendono [[convergenza puntuale|puntualmente]] alla funzione identicamente nulla (la prima in <math>(0,+\infty)</math>, la seconda in [0,1]), che ha ovviamente integrale 0, ma ogni membro della successione ha integrale 1.

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per ogni ''x'' e per ogni ''n'', allora lo scambio è possibile.

Un' ulteriore problema è la possibilità che, pur esistendo il limite puntuale di una successione di funzioni integrabili secondo Riemann, questo non sia a sua volta integrabile: ad esempio, fissando una [[insieme numerabile|numerazione]] <math>\{q_0,q_1,\ldots,q_n,\ldots\}\,</math> dell'insieme dei [[numero razionale|numeri razionali]], e ponendo

:<math>f_n(x)=\Chi_chi_{\{q_0,q_1,\ldots,q_n\}}</math>

si ha una successione di funzioni integrabili (con integrale nullo) che converge puntualmente alla [[funzione di Dirichlet]], che non è integrabile secondo Riemann. Anche in questo caso l'eventuale presenza della convergenza uniforme permette di affermare l'integrabilità della funzione limite.

== Integrale di Lebesgue ==

Nell'[[integrale di Lebesgue]], i teoremi di passaggio al limite sotto integrali hanno ipotesi considerevolmente più deboli rispetto a quelli relativi all'integrale di Riemann. I due teoremi principe sono il ''[[teorema della convergenza monotona]]'' (o di [[Beppo Levi]]) e il ''[[teorema della convergenza dominata]]'':. ilIl primo afferma che lo scambio tra le operazioni di limite e di integrazione è possibile se le funzioni sono non negative e se la successione è monotona crescente, (ovvero se :<mathref>f_n(x)\leq{{Cita|W. f_{n+1Rudin|Pag. 21|rudin}(x)}.</mathref> per ogni ''x'' e per ogni ''n''), mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero in cui esiste una funzione ''g'', ad integrale finito, tale che

:<math>|f_n(x)|\leq g(x)</math>

per ogni ''x'' e per ogni ''n''. Le funzioni devono ovviamente essere [[funzione misurabile|misurabili]], per dare un senso alla successione di integrali; in questo caso non è necessario neppure chiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile, poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile.

:<math>f_n(x)\leq f_{n+1}(x) \ </math>

I teoremi possono essere leggermente ampliati richiedendo che le ipotesi (la convergenza e, rispettivamente, la monotonia e l'essere dominate) siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]]. Un'ulteriore indebolimento del teorema della convergenza monotona si ha rilassando l'ipotesi di non negatività: basta infatti che una di esse abbia integrale maggiore di <math>-\infty</math> (e quindi, per la monotonia, condivida questa proprietà con tutte quelle seguenti). Il teorema si può applicare anche a successioni decrescenti di funzioni, ma in tal caso si deve chiedere che uno degli integrali sia minore di <math>+\infty</math>.

per ogni ''x'' e per ogni ''n'', mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero in cui esiste una funzione ''g'', ad integrale finito, tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 26|rudin}}.</ref>

:<math>|f_n(x)|\leq g(x) \ </math>

per ogni ''x'' e per ogni ''n''. Le funzioni devonoutilizzate ovviamentedevono essere [[funzione misurabile|misurabili]], per dare un senso alla successione di integrali; in questo, casoe non è necessario neppure chiedererichiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile, poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile.

I teoremi possono essere leggermente ampliati richiedendo che le ipotesi (la convergenza e, rispettivamente, la monotonia e l'essere dominate) siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]]. Un' ulteriore indebolimento del teorema della convergenza monotona si ha rilassando l'ipotesi di non negatività:, in quanto bastaè infattisufficiente che una di esse abbia integrale maggiore di <math>-\infty</math> (e quindiaffinché, per la monotonia, condivida questa proprietà con tutte quelle seguenti). Il teorema si può applicare anche a successioni decrescenti di funzioni, ma in tal caso si deve chiedere che uno degli integrali sia minore di <math>+\infty</math>.

Un terzo importante risultato, dimostrato a partire dal teorema della convergenza monotona e usato nella dimostrazione della convergenza dominata, è il [[lemma di Fatou]], che afferma che:

Un terzo importante risultato, dimostrato a partire dal teorema della convergenza monotona e usato nella dimostrazione della convergenza dominata, è il [[lemma di Fatou]], che afferma che

:<math>\int_E \liminf_n f_n(x)\mathrm{d}x\leq\liminf_n\int_E f_n(x)\mathrm{d}x</math>

o, inIn una forma equivalente, ma più inconsueta, chesi ha:

:<math>\int_E \limsup_n f_n(x)\mathrm{d}x\geq\limsup_n\int_E f_n(x)\mathrm{d}x</math>

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:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}f(x)\mathrm{d}x=\int_{\lim_{n\to\infty} E_n}f(x)\mathrm{d}x</math>

In tal caso, ci si può ricondurre al caso moltiplicando per la [[funzione indicatrice]] di ''E_n'', ovvero ponendo

:<math>f_n(x)=f(x)\Chi_chi_{E_n}(x)</math>

Si ottiene così una successione di funzioni ai quali possono essere applicati i teoremi precedenti.

=== Scambio di integrali ===

{{vedi anche|teorema di Tonelli|teorema di Fubini}}

Il calcolo effettivo della quasi totalità degli [[integrale multiplo|integrali multipli]] dipende in maniera cruciale dalla possibilità di ridurre l'integrale in più dimensioni a più integrali in una dimensione, ovvero di poter avere:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 140|rudin}}.</ref>

:<math>\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\mathrm{d}x\mathbb{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}x\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}y\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}x</math>

dove per semplicità si è scritto un integrale sui reali in due dimensioni. La possibilità di effettuare questo scambio dipende in maniera critica dai teoremi di passaggio al limite: nella dimostrazione del teorema di Tonelli, che afferma la possibilità dello scambio per funzioni positive, un importante passaggiovi è costituito dall'usareinfatti la possibilità di approssimare ogni [[funzione misurabile]] con una successione crescente di [[funzione semplice|funzioni semplici]], alla quale poter applicare il teorema della convergenza monotona.

=== Teoria della probabilità ===

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:<math>E(X_\tau)\leq E(X_0)</math>

e in particolare, per martingale,

:<math>E(X_\tau)=E(X_0)\,</math>

risultato che è spesso utile nel calcolo di <math>E(\tau)</math>.

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== Bibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Enrico Giusti]]|titolo=Analisi matematica 2|edizione=terza edizione|editore=Bollati Boringhieri|anno=2003|città=Torino|id=ISBN =88-339-5706-3|cid=Giusti2}}

* {{cita libro |autore cognome=[[Walter Rudin]]| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill |anno città=1987 Mladinska Knjiga|id anno= 1970| ISBN= 0-07-100276054234-61|cid =rudin}}

*{{cita libro|autore=[[David Williams (matematico)|David Williams]]|titolo=Probability with Martingales|editore=Cambridge Mathematical Textbooks|anno=1991|id=ISBN =978-0-521-40605-5}}

==Voci correlate==

* [[Convergenza uniforme]]

* [[Integrale di Lebesgue]]

* [[Integrale di Riemann]]

* [[Lemma di Fatou]]

* [[Teorema della convergenza dominata]]

* [[Teorema della convergenza monotona]]

* [[Teorema di Fubini]]

{{portale|matematica}}