Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

Versione delle 21:48, 19 ott 2011

Versione attuale delle 04:11, 30 giu 2019

(12 versioni intermedie di 10 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[analisi matematica]], per '''passaggio al limite sotto segno di integrale''' si intende la possibilità di ottenerecalcolare il [[limite (matematica)|limite]] deglidi una successione di [[integrale definito|integrali]] dicome unal'integrale del limite della [[successione (matematica)|successione]] didelle [[funzione (matematica)|funzioni]] come integrale del limite delle funzioni stesse, ovvero la verità dell'uguaglianzaintegrande:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x=\int_E\lim_{n\to\infty} f_n(x)\mathrm{d}x</math>

LaTale possibilitàtipo di effettuareoperazione questosi scambiopresenta è un'importante questione, che hain un gran numero di applicazioni, teoriche;e tuttavia questo passaggio non sempre è corretto. La mancanzal'assenza di teoremi "buoni" (ovvero con ipotesi sufficientemente generali) che permettano questolo scambio del passaggio al limite con l'operazione di integrazione è uno dei motivi che hanno portato alla definizione dell'[[integrale di Lebesgue]] in sostituzione dell'[[integrale di Riemann]].<ref>{{cita|Giusti|p. 259|Giusti2}}.</ref>

Nel contesto dell'[[analisi funzionale]], i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale sono lo strumento principale per stabilire se, per una data successione di funzioni, la [[convergenza puntuale]] ([[quasi ovunque]]) implica la convergenza in [[spazio Lp|norma L¹]].

Riga 10 ⟶ 11:

:<math>0\leq \left|\int_E [f_k(x)-f(x)] \mathrm{d}x \right|\leq \int_E |f_k (x)-f(x)| \mathrm{d}x \leq |E| \sup{\{f_k (x)-f(x)\}}</math>

che tende a 0 per la convergenza uniforme. Né un'ipotesi né l'altra sono sufficienti a garantire lo scambio: per un insieme non limitato si può prendere ad esempio la successione

:<math>f_n(x)=\frac{1}{n}\Chi_chi_{[n,2n]}(x)</math>

(dove &Chi;<math>\chi</math> indica la [[funzione indicatrice]]), mentre in un insieme non limitato un semplice esempio è

:<math>f_n(x)=n\Chi_chi_{\left[0,\frac{1}{n}\right]}(x)</math>

In entrambi i casi, le funzioni tendono [[convergenza puntuale|puntualmente]] alla funzione identicamente nulla (la prima in <math>(0,+\infty)</math>, la seconda in [0,1]), che ha ovviamente integrale 0, ma ogni membro della successione ha integrale 1.

Riga 19 ⟶ 20:

per ogni ''x'' e per ogni ''n'', allora lo scambio è possibile.

Un ulteriore problema è la possibilità che, pur esistendo il limite puntuale di una successione di funzioni integrabili secondo Riemann, questo non sia a sua volta integrabile: ad esempio, fissando una [[insieme numerabile|numerazione]] <math>\{q_0,q_1,\ldots,q_n,\ldots\}\,</math> dell'insieme dei [[numero razionale|numeri razionali]], e ponendo

:<math>f_n(x)=\Chi_chi_{\{q_0,q_1,\ldots,q_n\}}</math>

si ha una successione di funzioni integrabili (con integrale nullo) che converge puntualmente alla [[funzione di Dirichlet]], che non è integrabile secondo Riemann. Anche in questo caso l'eventuale presenza della convergenza uniforme permette di affermare l'integrabilità della funzione limite.

== Integrale di Lebesgue ==

Nell'[[integrale di Lebesgue]], i teoremi di passaggio al limite sotto integrali hanno ipotesi considerevolmente più deboli rispetto a quelli relativi all'integrale di Riemann. I due teoremi principe sono il [[teorema della convergenza monotona]] (o di [[Beppo Levi]]) e il [[teorema della convergenza dominata]]. Il primo afferma che lo scambio tra le operazioni di limite e di integrazione è possibile se le funzioni sono non negative e se la successione è monotona crescente, mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero inse:<ref>{{Cita|W. cuiRudin|Pag. esiste una funzione ''g'', ad integrale finito, tale che:21|rudin}}.</ref>

:<math>|f_n(x)|\leq gf_{n+1}(x) \ </math>

per ogni ''x'' e per ogni ''n''., Lementre funzioniil devonosecondo esseresi [[funzioneapplica misurabile|misurabili]]nel ecaso nondi èfunzioni necessariodominate richiedereda come ipotesi che launa funzione limite sia misurabileintegrabile, poichéovvero ilin limitecui diesiste una successionefunzione di''g'', funzioniad misurabiliintegrale èfinito, misurabiletale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 26|rudin}}.</ref>

:<math>|f_n(x)| \leq g(x) \ </math>

I teoremi possono essere ampliati richiedendo che le ipotesi di convergenza, monotonia e l'essere dominate siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]].

per ogni ''x'' e per ogni ''n''. Le funzioni utilizzate devono essere [[funzione misurabile|misurabili]] per dare un senso alla successione di integrali, e non è necessario richiedere come ipotesi che la funzione limite sia misurabile poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile.

===Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale===

* Il [[teorema della convergenza monotona]] o di [[Beppo Levi]] afferma che se <math>\{f_n \}</math> una successione di funzioni misurabili non negative tali che:

I teoremi possono essere leggermente ampliati richiedendo che le ipotesi (la convergenza e, rispettivamente, la monotonia e l'essere dominate) siano verificate in tutto l'insieme d'integrazione ad eccezione di un [[insieme di misura nulla]]. Un ulteriore indebolimento del teorema della convergenza monotona si ha rilassando l'ipotesi di non negatività, in quanto è sufficiente che una di esse abbia integrale maggiore di <math>-\infty</math> affinché, per la monotonia, condivida questa proprietà con tutte quelle seguenti. Il teorema si può applicare anche a successioni decrescenti di funzioni, ma in tal caso si deve chiedere che uno degli integrali sia minore di <math>+\infty</math>.

:<math>0 \leq f_1(x) \leq f_2(x) \leq \dots \leq \infty \quad \forall x \in X </math>

Un terzo importante risultato, dimostrato a partire dal teorema della convergenza monotona e usato nella dimostrazione della convergenza dominata, è il [[lemma di Fatou]], che afferma che:

:<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x) \to f(x) \quad \forall x \in X</math>

:<math>\int_E f\,d\muliminf_n f_n(x)\le \liminf_mathrm{nd}x\toleq\infty} liminf_n\int_E f_n(x)\,mathrm{d\mu}x</math>

:allora ''f'' è misurabile e:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 21|rudin}}</ref>

In una forma equivalente, ma più inconsueta, si ha:

:<math> \lim_{n\to\infty} \int_X f_n d \mu = \int_X f d \mu \ </math>

:<math>\int_E \limsup_n f_n(x)\mathrm{d}x\geq\limsup_n\int_E f_n(x)\mathrm{d}x</math>

:Si nota che il valore di ogni integrale può essere infinito.

Un corollario immediato del teorema della convergenza dominata, usato talvolta in [[teoria della probabilità]], afferma che lo scambio è possibile se l'insieme d'integrazione è limitato e le funzioni sono uniformemente limitate (cioè esiste una costante ''M'' tale che |''f_n''| < ''M'' per ogni ''n'' e per quasi ogni ''x''). Il risultato ha tuttavia un suo valore autonomo, in quanto le sue ipotesi possono essere raffinate sostituendo la convergenza quasi ovunque con la [[convergenza in misura]].

* Il [[lemma di Fatou]] afferma che se <math>\{f_n \}</math> è una successione di funzioni misurabili non negative tali che:

:<math>\liminf_{n\to\infty}f_n \to f \quad \forall x \in E</math>

:allora ''f'' è misurabile e:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 22|rudin}}</ref>

:<math>\int_E f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_E f_n\,d\mu</math>

:Anche in questo caso il valore di ogni integrale può essere infinito.

* Il lemma di Fatou permette di dimostrare il [[teorema della convergenza dominata]], il quale afferma che se una successione di funzioni misurabili <math>\{f_n\}</math> converge [[quasi ovunque]] ed è dominata da una funzione non negativa <math>g\in L^1</math>, allora:

:<math>\int_S\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S f_n</math>

:dove una sequenza si dice dominata da ''g'' se:

:<math>|f_n(x)| \leq g(x)</math>

:per ogni ''n'' e [[quasi ovunque|quasi per tutti]] gli ''x''.

== Applicazioni ==

Riga 84 ⟶ 66:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}f(x)\mathrm{d}x=\int_{\lim_{n\to\infty} E_n}f(x)\mathrm{d}x</math>

In tal caso, ci si può ricondurre al caso moltiplicando per la [[funzione indicatrice]] di ''E_n'', ovvero ponendo

:<math>f_n(x)=f(x)\Chi_chi_{E_n}(x)</math>

Si ottiene così una successione di funzioni ai quali possono essere applicati i teoremi precedenti.

=== Scambio di integrali ===

{{vedi anche|teorema di Tonelli|teorema di Fubini}}

Il calcolo effettivo della quasi totalità degli [[integrale multiplo|integrali multipli]] dipende in maniera cruciale dalla possibilità di ridurre l'integrale in più dimensioni a più integrali in una dimensione, ovvero di poter avere:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 140|rudin}}.</ref>

:<math>\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\mathrm{d}x\mathbb{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}x\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}y\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}x</math>

dove per semplicità si è scritto un integrale sui reali in due dimensioni. La possibilità di effettuare questo scambio dipende in maniera critica dai teoremi di passaggio al limite: nella dimostrazione del teorema di Tonelli, che afferma la possibilità dello scambio per funzioni positive, un importante passaggiovi è costituito dall'usareinfatti la possibilità di approssimare ogni [[funzione misurabile]] con una successione crescente di [[funzione semplice|funzioni semplici]], alla quale poter applicare il teorema della convergenza monotona.

=== Teoria della probabilità ===

Riga 101 ⟶ 85:

:<math>E(X_\tau)\leq E(X_0)</math>

e in particolare, per martingale,

:<math>E(X_\tau)=E(X_0)\,</math>

risultato che è spesso utile nel calcolo di <math>E(\tau)</math>.

Riga 108 ⟶ 92:

== Bibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Enrico Giusti]]|titolo=Analisi matematica 2|edizione=terza edizione|editore=Bollati Boringhieri|anno=2003|città=Torino|id=ISBN =88-339-5706-3|cid=Giusti2}}

* {{cita libro |autore cognome=[[Walter Rudin]]| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill |anno città=1987 Mladinska Knjiga|id anno= 1970| ISBN= 0-07-100276054234-61|cid =rudin}}

*{{cita libro|autore=[[David Williams (matematico)|David Williams]]|titolo=Probability with Martingales|editore=Cambridge Mathematical Textbooks|anno=1991|id=ISBN =978-0-521-40605-5}}

==Voci correlate==

* [[Convergenza uniforme]]

* [[Integrale di Lebesgue]]

* [[Integrale di Riemann]]

* [[Lemma di Fatou]]

* [[Teorema della convergenza dominata]]

* [[Teorema della convergenza monotona]]

* [[Teorema di Fubini]]

{{portale|matematica}}