Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

Versione delle 19:35, 31 gen 2017

Versione attuale delle 04:11, 30 giu 2019

(Una versione intermedia di un altro utente non mostrate)

Riga 3:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x=\int_E\lim_{n\to\infty} f_n(x)\mathrm{d}x</math>

Tale tipo di operazione si presenta in un gran numero di applicazioni, e l'assenza di teoremi con ipotesi sufficientemente generali che permettano lo scambio del passaggio al limite con l'operazione di integrazione è uno dei motivi che hanno portato alla definizione dell'[[integrale di Lebesgue]] in sostituzione dell'[[integrale di Riemann]].<ref>{{cita|Giusti|p. 259|Giusti2}}.</ref>

Nel contesto dell'[[analisi funzionale]], i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale sono lo strumento principale per stabilire se, per una data successione di funzioni, la [[convergenza puntuale]] ([[quasi ovunque]]) implica la convergenza in [[spazio Lp|norma L¹]].

Riga 25:

== Integrale di Lebesgue ==

Nell'[[integrale di Lebesgue]] i teoremi di passaggio al limite sotto integrali hanno ipotesi considerevolmente più deboli rispetto a quelli relativi all'integrale di Riemann. I due teoremi principe sono il [[teorema della convergenza monotona]] (o di [[Beppo Levi]]) e il [[teorema della convergenza dominata]]. Il primo afferma che lo scambio tra le operazioni di limite e di integrazione è possibile se le funzioni sono non negative e se la successione è monotona crescente, ovvero se:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 21|rudin}}.</ref>

:<math>f_n(x)\leq f_{n+1}(x) \ </math>

per ogni ''x'' e per ogni ''n'', mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero in cui esiste una funzione ''g'', ad integrale finito, tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 26|rudin}}.</ref>

:<math>|f_n(x)|\leq g(x) \ </math>

Riga 66:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}f(x)\mathrm{d}x=\int_{\lim_{n\to\infty} E_n}f(x)\mathrm{d}x</math>

In tal caso, ci si può ricondurre al caso moltiplicando per la [[funzione indicatrice]] di ''E_n'', ovvero ponendo

:<math>f_n(x)=f(x)\Chi_chi_{E_n}(x)</math>

Si ottiene così una successione di funzioni ai quali possono essere applicati i teoremi precedenti.

=== Scambio di integrali ===

{{vedi anche|teorema di Fubini}}

Il calcolo effettivo della quasi totalità degli [[integrale multiplo|integrali multipli]] dipende in maniera cruciale dalla possibilità di ridurre l'integrale in più dimensioni a più integrali in una dimensione, ovvero di poter avere:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 140|rudin}}.</ref>

:<math>\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\mathrm{d}x\mathbb{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}x\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}y\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}x</math>