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In [[matematica]], la '''sommazione per parti''', anche chiamata '''trasformazione''' (o ''lemma'') '''di [[Niels Abel|Abel]]''', è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di [[serie convergente|convergenza]].
{{Edificio religioso
|Nome = Moschea Djinguereber
|Immagine = Mosqueetombou 01.JPG
|Didascalia = Minareto della Moschea Djinguereber
|SiglaStato = MLI
|Città = Timbuctù
|Religione = Islam
|Fondatore = Mansa Musa
|Architetto = Abu al Haq al Saheli
|StileArchitett = Architettura del Sahel
|InizioCostr = 1327
}}
[[File:Djinguereber in Timbuktu.jpg|thumb|Esterno della moschea]]
La '''Moschea Djinguereber''' a [[Timbuctù]], [[Mali]] è un importante centro d'insegnamento malese, costruito nel [[1327]], citato come Djingareyber o Djingarey Ber nelle diverse lingue. La sua progettazione è accreditata ad [[Abu al Haq al Saheli]] che fu pagato 200kg d'oro (40.000 [[mithqal]]) da parte di [[Mansa Musa]], imperatore dell'[[Impero del Mali]]. Secondo [[Ibn Haldun]], una delle fonti più note del XIV secolo malese, al-Sahili sarebbe stato pagato 12.000 mithqal di polvere d'oro per la progettazione e la costruzione della moschea. Tuttavia, un'analisi più approfondita suggerisce che il suo eventuale ruolo, sia stato piuttosto limitato. Le maestranze architettoniche a [[Grenada]] raggiunsero il loro apice nel XIV secolo, era quindi molto improbabile che un poeta colto e benestante potesse possedere qualcosa di più della conoscenza di un dilettante, per quanto riguarda la complessità della pratica architettonica del tempo.<ref>{{Cita libro|autore = Bloom|titolo = The Meanings of Timbuktu|anno = |editore = |città = |p = 52}}</ref>
== Enunciato del lemma ==
Tranne per una piccola porzione della facciata nord, rafforzata nel 1960 con blocchi di calcare, ampiamente utilizzati nel resto della città, e per il minareto, costruito anch'esso in pietra calcarea e rafforzato col fango<ref>{{Cita web|autore = |url = http://archnet.org/sites/4668|titolo = Djingareyber Mosque restauration|accesso = |data = }}</ref>, la Moschea Djinguereber è fatta interamente di terra e di materiali organici come la fibra, la paglia e il legno. Ha tre corti interne, due minareti, venticinque righe di pilastri allineati in direzione est-ovest e uno spazio di preghiera in grado di ospitare 2.000 persone.
Siano <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> due [[successione (matematica)|successioni]], e sia
Djinguereber è una delle tre madrase che compongo l'[[Università di Timbuctù]]. È stata inserita nella [[Lista dei patrimoni dell'umanità|lista dei patrimoni dell'Umanità]] dell'[[UNESCO]] nel 1988<ref>{{Cita web|autore = UNESCO|url = http://whc.unesco.org/archive/repcom88.htm#119|titolo = Report of the World Heritage Committee, Twelfth Session|accesso = |data = }}</ref> e nel 1990<ref>{{Cita web|autore = UNESCO|url = http://whc.unesco.org/archive/repcom90.htm#timbuktu|titolo = Report of the World Heritage Committee, Fourteenth Session|accesso = |data = }}</ref> è stata considerata in pericolo, a causa dell'invasione di sabbia. Un progetto quadriennale di restauro e riabilitazione della moschea è iniziato nel giugno del 2006 ed è stato condotto e finanziato dall'Aga Khan Trust for Culture<ref>{{Cita web|autore = |url = http://www.afribone.com/article.php3?id_article=6085|titolo = La Cité des 333 saints abrite de nombreux chantiers de modernisation|accesso = |data = }}</ref>.
:<math>A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}</math>
Il 26 febbraio 2010, durante il [[Mawlid]] (festa per celebrare l'anniversario della nascita del Profeta [[Maometto]], una fuga precipitosa dalla moschea ha portato alla morte di 26 persone e al ferimento di almeno 55, soprattutto donne e bambini.<ref>{{Cita web|autore = BBC news|url = http://news.bbc.co.uk/1/hi/world/africa/8538312.stm|titolo = Deadly crush at Timbuktu mosque|accesso = |data = }}</ref>
la somma parziale <math>n</math>-esima di <math>\{a_n\}</math>, e si ponga <math>A_{-1}=0</math>. Vale allora l'eguaglianza<ref name=Rudin70>{{cita|Rudin|pag. 70}}.</ref>:
==L'attacco del 2012==
Nel giugno 2012, il gruppo fondamentalista islamico [[Ansar Dine]] (Difensori della Fede) distrusse due tombe nella Moschea Djinguereber. Usando "zappe, picconi e scalpelli, hanno martellato due tombe di terra fino a quando non sono state completamente distrutte.
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>.
I combattenti di Ansar Dine hanno iniziato la distruzione dei tesori culturali della città il 1º luglio, poco dopo l'UNESCO li ha inseriti nella lista dei patrimoni mondiali in via d'estinzione. Dopo aver dichiarato gli antichi santuari musulmani "[[haram]]", ovvero proibiti nell'Islam, Ansar Dine ha distrutto 7 dei 16 mausolei di antichi santi musulmani di Timbuctù.<ref>{{Cita web|autore = Radio Netherlands Worldwide|url = http://www.rnw.nl/africa/bulletin/mali-islamists-destroy-tombs-ancient-timbuktu-mosque|titolo = Mali, islamists destroy tombs ancient timbuktu mosque|accesso = |data = }}</ref>
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore [[differenza finita|differenza in avanti]] <math>\Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n </math>:
:<math>\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}}</math>,
==Altri progetti==
{{interprogetto}}
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di [[integrazione per parti]]:
{{portale|Architettura|Islam}}
:<math>\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}</math>.
[[Categoria:Architettura del Sahel]]
== Dimostrazione ==
[[Categoria:Moschee del Mali]] ▼
[[Categoria:Università in Mali]]
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathcal{K}</math>, e l'altra in <math>\mathcal{K}</math>.
[[Categoria:Architetture islamiche del Mali]]
[[Categoria:Timbuctù]]
Per la definizione di <math>\{A_n\}</math>, si ha<ref name = Rudin70 />:
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =</math>
:<math>= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>,
cioè la tesi, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]
== Teoremi derivati ==
=== Criterio di Dirichlet per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Dirichlet (matematica)}}
Il lemma di Abel viene usato per provare il [[criterio di Dirichlet (matematica)|criterio di Dirichlet]] per la convergenza di serie<ref>{{cita|Rudin|pag.71}}.</ref>.
=== Criterio di Leibniz per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Leibniz}}
Il [[criterio di Leibniz]] può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore= W. Rudin | titolo=Principles of Mathematical Analysis|editore =A. A. Arthur, S. L. Langman | anno = 1976 | pagine = 70 |lingua=en|cid=Rudin|isbn=0-07-054235-X}}
== Voci correlate ==
* [[Integrazione per parti]]
* [[Serie convergente]]
▲[[Categoria: MoscheeSerie del Malimatematiche]]
▲[[Categoria: MadraseLemmi]]
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