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In [[matematica]], la '''sommazione per parti''', anche chiamata '''trasformazione''' (o ''lemma'') '''di [[Niels Abel|Abel]]''', è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di [[serie convergente|convergenza]].
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<div style="min-width:15em; max-width:48em; text-align:left; padding:1.5em 1.7em 2em; background:#FFF0D9; border:1px dotted gray; margin:1em auto 2em">
== Enunciato del lemma ==
<div style="float:right; margin:0 0 1em 2em;">
<div style="width:182px; padding:5px 5px 1px; background:#FFC184; font-size:90%;">[[File:Per firmare.PNG|180px|border]]
Siano <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> due [[successione (matematica)|successioni]], e sia
Firma i tuoi interventi nelle discussioni. Puoi usare il tasto indicato.
</div>
:<math>A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}</math>
<div style="text-align:right; font-size:95%; margin-top:.5em;">'''''[[Wikipedia:Babel/It-0|Not Italian? It-0?]]'''''</div>
</div>
la somma parziale <math>n</math>-esima di <math>\{a_n\}</math>, e si ponga <math>A_{-1}=0</math>. Vale allora l'eguaglianza<ref name=Rudin70>{{cita|Rudin|pag. 70}}.</ref>:
<div style="font-size:130%; margin:1.7em 0 .55em;">Benvenuto/a su [[Wikipedia]]!</div>
<div style="font-size:95%; line-height:1.3; margin-bottom:1.8em">''Con i tuoi interessi e le tue conoscenze''<br />''puoi far crescere il sapere libero e l'enciclopedia. Scrivi nuove voci, traducile, amplia quelle già esistenti: il tuo contributo è prezioso!''</div>
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>.
<div style="margin-bottom:1.5em">Wikipedia ha solo alcune regole inderogabili: <span style="white-space:nowrap">i [[Wikipedia:Cinque pilastri|'''cinque pilastri''']]</span>.<br />Leggili e tienili a mente.</div>
<div style="margin-bottom:1em;">Ricorda di <span style="color:#c33;">'''[[Wikipedia:Copyright|non copiare]] testi né immagini da libri o siti internet'''</span>.<br /><span style="font-size:95%; line-height:1.3;">Se desideri inserire un tuo testo già pubblicato su carta o su web, inviaci prima una comunicazione [[Wikipedia:Copyright#Se concedi l'uso del materiale presente sul tuo sito o su altre fonti|come spiegato qui]].</span><br />
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore [[differenza finita|differenza in avanti]] <math>\Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n </math>:
<span style="font-size:95%; line-height:1.3;">Ti invitiamo inoltre a guardare la '''[[:File:Wikipedia_ridotto.ogv|video WikiGuida]]'''. Dura pochi minuti e può aiutarti nella comprensione delle regole basilari per contribuire a Wikipedia.</span>
</div>
:<math>\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}}</math>,
{{Cassetto|titolo=Alcuni suggerimenti per iniziare ad orientarti|testo=
*Per un primo orientamento, puoi consultare il '''[[Aiuto:Guida essenziale|tutorial]]''' e la pagina di [[Aiuto:Aiuto|aiuto]].
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di [[integrazione per parti]]:
*[[Portale:Progetti|Cliccando qui]] troverai un elenco dei [[Aiuto:Progetto|progetti]] diviso per argomenti.<br />Puoi scegliere quelli di tuo interesse e partecipare liberamente o chiedere suggerimenti.
*Identificati nelle discussioni: firma i tuoi interventi nelle [[Aiuto:Pagina di discussione|pagine di discussione]] con il tasto che vedi nell'immagine. Ulteriori indicazioni puoi trovarle in [[Aiuto:Uso della firma|uso della firma]].}}
:<math>\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}</math>.
{{Cassetto|titolo=Cosa inserire su Wikipedia?|testo=Controlla [[Aiuto:Cosa mettere su Wikipedia|cosa mettere]] e [[Aiuto:Cosa non mettere su Wikipedia|cosa non mettere]] su Wikipedia e ricorda:
*<span style="color: #FF0000">'''Non è consentito inserire materiale protetto da [[Wikipedia:Copyright|copyright]]'''</span> - se desideri inserire un tuo testo già pubblicato su carta o su web, inviaci prima una comunicazione [[Wikipedia:Copyright#Se concedi l'uso del materiale presente sul tuo sito o su altre fonti|come spiegato qui]].
== Dimostrazione ==
*Le voci devono essere in [[lingua italiana]] e rispettare rigorosamente un '''[[Wikipedia:Punto di vista neutrale|punto di vista neutrale]]'''.
*Sono deprecate le [[WP:NRO|ricerche originali]]! Cita le [[WP:FONTI|fonti]] di quanto scrivi nelle voci.}}
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathcal{K}</math>, e l'altra in <math>\mathcal{K}</math>.
{{Cassetto|titolo=Serve aiuto?|testo=
*Se hai problemi chiedi allo [[Aiuto:Sportello informazioni|sportello informazioni]], a un [[Wikipedia:Amministratori#Amministratori_di_it.wiki|amministratore]], in [[Aiuto:Canale IRC|chat]] o a qualsiasi [[Wikipedia:Wikipediani|wikipediano]] vedessi collegato seguendo [[speciale:recentchanges|ultime modifiche]].
Per la definizione di <math>\{A_n\}</math>, si ha<ref name = Rudin70 />:
*Se lo ritieni utile, puoi anche scegliere di farti affidare ad un tutor, inserendo il tuo nome in coda a [[Progetto:Coordinamento/Accoglienza/Richieste|questo elenco]].}}</div>
Naturalmente un benvenuto anche da parte mia! Se avessi bisogno di qualcosa non esitare a contattarmi. [[User:Henrykus|<span style="color:red;">'''Henrykus'''</span>]][[User talk:Henrykus|<sup>''Non abbiate paura!''</sup>]] 04:12, 10 lug 2010 (CEST)
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =</math>
<!-- fine template di benvenuto -->
:<math>= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>,
cioè la tesi, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]
== Teoremi derivati ==
=== Criterio di Dirichlet per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Dirichlet (matematica)}}
Il lemma di Abel viene usato per provare il [[criterio di Dirichlet (matematica)|criterio di Dirichlet]] per la convergenza di serie<ref>{{cita|Rudin|pag.71}}.</ref>.
=== Criterio di Leibniz per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Leibniz}}
Il [[criterio di Leibniz]] può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
== Note ==
<references />
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore= W. Rudin | titolo=Principles of Mathematical Analysis|editore =A. A. Arthur, S. L. Langman | anno = 1976 | pagine = 70 |lingua=en|cid=Rudin|isbn=0-07-054235-X}}
== Voci correlate ==
* [[Integrazione per parti]]
* [[Serie convergente]]
[[Categoria:Serie matematiche]]
[[Categoria:Lemmi]]
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