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In [[matematica]], la '''sommazione per parti''', anche chiamata '''trasformazione''' (o ''lemma'') '''di [[Niels Abel|Abel]]''', è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di [[serie convergente|convergenza]].
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== Enunciato del lemma ==
{| style="width:100%; background:transparent; font-size:90%"
| style="background:#e0f0ff; border:1px solid silver; -moz-border-radius-topleft:12px; -webkit-border-top-left-radius:12px; border-top-left-radius:12px; width:20%; height:30px" | [[File:Help-browser.svg|18px|link=Aiuto:Benvenuto]] [[Aiuto:Benvenuto|Benvenuto]]
| style="background:#6495ed; color:white; padding:0.5em 0.5em 0.5em 1em; font-size:140%; border:1px solid silver; -moz-border-radius-topright:12px; -webkit-border-top-right-radius:12px; border-top-right-radius:12px; width:80%" | '''Benvenuto/a su Wikipedia, <span style="color:white">XAdrian25</span>!'''
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| style="background:#e0e6ff; border:1px solid silver; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Nuvola apps ksig-vector.svg|18px|link=Aiuto:Guida essenziale]] [[Aiuto:Guida essenziale|Guida essenziale]]
| rowspan="8" style="background:#fffff0; border:1px solid silver; -moz-border-radius-bottomright:12px; -webkit-border-bottom-right-radius:12px; border-bottom-right-radius:12px; padding:0.5em 1em;" |<div style="font-size:105%">Con i tuoi interessi e le tue conoscenze puoi far crescere il [[Wikipedia:LIBERA|sapere libero]] e l'enciclopedia. Scrivi nuove voci o amplia quelle già esistenti: '''il tuo contributo è prezioso'''!
Siano <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> due [[successione (matematica)|successioni]], e sia
Wikipedia ha solo alcune regole inderogabili, <span style="white-space:nowrap">i [[Wikipedia:Cinque pilastri|'''cinque pilastri''']]</span>. Per un primo orientamento, puoi guardare la '''[[:File:Wikipedia_ridotto.ogv|WikiGuida]]''', leggere la '''[[Aiuto:Guida essenziale|Guida essenziale]]''' o consultare la pagina di '''[[Aiuto:Aiuto|aiuto]]'''.
:<math>A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}</math>
Se '''contribuisci a Wikipedia su commissione''' si applicano '''[[Wikipedia:Avvertenze sulla contribuzione su commissione#Le nostre condizioni d'uso|condizioni d'uso particolari]]'''.
la somma parziale <math>n</math>-esima di <math>\{a_n\}</math>, e si ponga <math>A_{-1}=0</math>. Vale allora l'eguaglianza<ref name=Rudin70>{{cita|Rudin|pag. 70}}.</ref>:
Ricorda di '''non copiare testi né immagini da libri o siti internet poiché <u>NON è consentito inserire materiale protetto da [[Wikipedia:Copyright|copyright]]</u>''' (nel caso sia tu l'autore/autrice, devi seguire [[Wikipedia:Copyright#Se concedi l'uso del materiale presente sul tuo sito o su altre fonti|l'apposita procedura]]), e di scrivere seguendo un '''[[Wikipedia:Punto di vista neutrale|punto di vista neutrale]]''', citando le '''[[WP:FONTI|fonti]]''' utilizzate.</div>
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>.
<div align="center" style="font-size:130%">Buon lavoro e buon divertimento da parte di tutti i wikipediani!</div>
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore [[differenza finita|differenza in avanti]] <math>\Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n </math>:
<div style="margin:0; padding:0">
{{Cassetto inizio
:<math>\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}}</math>,
|titolo = Altre informazioni
}}
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di [[integrazione per parti]]:
[[File:Firma e data.png|thumb|Apponi la firma nei tuoi interventi]]
*[[Portale:Progetti|Visualizza l'elenco]] dei '''[[Wikipedia:Progetto|progetti collaborativi]]''' riguardanti specifiche aree tematiche dell'enciclopedia: puoi partecipare liberamente a quelli di tuo interesse o chiedere suggerimenti.
:<math>\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}</math>.
*Identificati nelle [[Aiuto:Pagina di discussione|pagine di discussione]]: '''[[Aiuto:Firma|firma]] i tuoi interventi''' con il tasto che vedi nell'immagine.
*Una volta consultata la Guida essenziale, prova ad ampliare le tue conoscenze sul funzionamento di Wikipedia con il '''[[Aiuto:Tour guidato|Tour guidato]]'''.
== Dimostrazione ==
*Hai già un altro account oppure qualcun altro contribuisce dal tuo stesso computer? Leggi [[Wikipedia:Utenze multiple]].
{{-}}
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathcal{K}</math>, e l'altra in <math>\mathcal{K}</math>.
{{Cassetto fine}}
</div>
Per la definizione di <math>\{A_n\}</math>, si ha<ref name = Rudin70 />:
{{Cassetto inizio
|titolo = Serve aiuto?
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =</math>
}}
:<math>= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>,
Se hai bisogno di aiuto, chiedi allo [[Aiuto:Sportello informazioni|sportello informazioni]] (e non dimenticare che la risposta ti verrà data in quella stessa pagina). Se avessi bisogno di un aiuto ''continuativo'', puoi [[Progetto:Coordinamento/Accoglienza/Nuovi_arrivati|richiedere di farti affidare un "tutor"]].
<inputbox>
cioè la tesi, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]
type=commenttitle
bgcolor=white
== Teoremi derivati ==
preload=
=== Criterio di Dirichlet per le serie ===
editintro=
{{vedi anche|Criterio di Dirichlet (matematica)}}
hidden=yes
Il lemma di Abel viene usato per provare il [[criterio di Dirichlet (matematica)|criterio di Dirichlet]] per la convergenza di serie<ref>{{cita|Rudin|pag.71}}.</ref>.
page=Aiuto:Sportello_informazioni
default=
=== Criterio di Leibniz per le serie ===
break=no
{{vedi anche|Criterio di Leibniz}}
buttonlabel=Domanda allo Sportello informazioni
Il [[criterio di Leibniz]] può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
</inputbox>
{{Cassetto fine}}
== Note ==
<div style="border-bottom:1px solid #eee; padding-top:0.17em; padding-bottom:0.5em"></div>
<references />
<div style="font-size:95%">[[file:Flag of the United Kingdom.svg|20px]] Hello and welcome to the Italian Wikipedia! We appreciate your contributions. If your Italian skills are not good enough, that’s no problem. We have an [[Wikipedia:Ambasciata|embassy]] where you can inquire for further information in your native language or you can contact directly [[Wikipedia:Babel/It-0|a user in your language]]. We hope you enjoy your time here!</div>
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== Bibliografia ==
| style="background:#e5e0ff; border:1px solid silver; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Crystal Clear app ktip.svg|18px|link=Aiuto:Tour guidato]] [[Aiuto:Tour guidato|Tour guidato]]
* {{cita libro|autore= W. Rudin | titolo=Principles of Mathematical Analysis|editore =A. A. Arthur, S. L. Langman | anno = 1976 | pagine = 70 |lingua=en|cid=Rudin|isbn=0-07-054235-X}}
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| style="background:#ffe0f1; border:1px solid silver; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Accessories-text-editor.svg|18px|link=Wikipedia:Raccomandazioni e linee guida]] [[Wikipedia:Raccomandazioni e linee guida|Raccomandazioni e linee guida]]
== Voci correlate ==
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* [[Integrazione per parti]]
| style="background:#ffe5e0; border:1px solid silver; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Copyright-problem.svg|18px|link=Wikipedia:Copyright]] [[Wikipedia:Copyright|Copyright]]
* [[Serie convergente]]
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| style="background:#ffefe0; border:1px solid silver; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Crystal Clear app ksirtet.svg|18px|link=Portale:Progetti]] [[Portale:Progetti|Progetti tematici]]
[[Categoria:Serie matematiche]]
|-
[[Categoria:Lemmi]]
| style="background:#fff8dc; border:1px solid silver; -moz-border-radius-bottomleft:12px; -webkit-border-bottom-left-radius:12px; border-bottom-left-radius:12px; height:30px; padding-left:1em" | [[File:Nuvola apps bookcase.svg|18px|link=Aiuto:Glossario]] [[Aiuto:Glossario|Glossario]]
|}Naturalmente un benvenuto anche da parte mia! Se avessi bisogno di qualcosa non esitare a contattarmi.
[[Utente:Fabyrav|<span style="font-family:Segoe Print;color:#AA250C">'''Fabyrav'''</span>]] [[Discussioni utente:Fabyrav|<span style="font-family: Segoe Print;color:#ffa500"><small>parlami</small></span>]] 17:30, 6 giu 2017 (CEST)
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