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In [[matematica]], la '''sommazione per parti''', anche chiamata '''trasformazione''' (o ''lemma'') '''di [[Niels Abel|Abel]]''', è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di [[serie convergente|convergenza]].
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== Enunciato del lemma ==
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Siano <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> due [[successione (matematica)|successioni]], e sia
[[Immagine:Per_firmare.PNG|right|220px|Per firmare i tuoi commenti (non le voci) usa il tasto indicato]]
 
:<math>A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}</math>
Per firmare i tuoi interventi nelle [[Aiuto:Pagina di discussione|pagine di discussione]] usa il tasto che vedi indicato nell'immagine a destra e consulta la pagina [[Aiuto:Uso della firma]].
 
la somma parziale <math>n</math>-esima di <math>\{a_n\}</math>, e si ponga <math>A_{-1}=0</math>. Vale allora l'eguaglianza<ref name=Rudin70>{{cita|Rudin|pag. 70}}.</ref>:
Buon lavoro e buon divertimento da parte di tutti i [[Wikipedia:wikipediani|wikipediani]]!
 
</div>
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>.
<br>
 
Naturalmente un benvenuto anche da parte mia! Se avessi bisogno di qualcosa non esitare a contattarmi. <span style="color:black">[[Utente:Klaudio|Kla]]</span>[[Discussioni utente:Klaudio|<span style= "color:#ffb000;">udio</span>]] 22:36, 3 apr 2008 (CEST)
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore [[differenza finita|differenza in avanti]] <math>\Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n </math>:
<!-- fine template di benvenuto -->
 
:<math>\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}}</math>,
 
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di [[integrazione per parti]]:
 
:<math>\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}</math>.
 
== Dimostrazione ==
 
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathcal{K}</math>, e l'altra in <math>\mathcal{K}</math>.
 
Per la definizione di <math>\{A_n\}</math>, si ha<ref name = Rudin70 />:
 
:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =</math>
:<math>= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>,
 
cioè la tesi, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]
 
== Teoremi derivati ==
=== Criterio di Dirichlet per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Dirichlet (matematica)}}
Il lemma di Abel viene usato per provare il [[criterio di Dirichlet (matematica)|criterio di Dirichlet]] per la convergenza di serie<ref>{{cita|Rudin|pag.71}}.</ref>.
 
=== Criterio di Leibniz per le serie ===
{{vedi anche|Criterio di Leibniz}}
Il [[criterio di Leibniz]] può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
 
== Note ==
<references />
 
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore= W. Rudin | titolo=Principles of Mathematical Analysis|editore =A. A. Arthur, S. L. Langman | anno = 1976 | pagine = 70 |lingua=en|cid=Rudin|isbn=0-07-054235-X}}
 
== Voci correlate ==
* [[Integrazione per parti]]
* [[Serie convergente]]
 
[[Categoria:Serie matematiche]]
[[Categoria:Lemmi]]