Discussione:Contea di Jim Wells e Sommazione per parti: differenze tra le pagine

Versione delle 01:22, 13 set 2017

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In [[matematica]], la '''sommazione per parti''', anche chiamata '''trasformazione''' (o ''lemma'') '''di [[Niels Abel|Abel]]''', è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di [[serie convergente|convergenza]].

== Collegamenti esterni modificati ==

== Enunciato del lemma ==

Gentili utenti,

Siano <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> due [[successione (matematica)|successioni]], e sia

ho appena modificato 1 collegamento/i esterno/i sulla pagina [[Contea di Jim Wells]]. Per cortesia controllate la [https://it.wikipedia.org/w/index.php?diff=prev&oldid=91195199 mia modifica]. Se avete qualche domanda o se fosse necessario far sì che il bot ignori i link o l'intera pagina, date un'occhiata a [[:m:InternetArchiveBot/FAQ|queste FAQ]]. Ho effettuato le seguenti modifiche:

*Aggiunta del link all'archivio https://www.webcitation.org/607Kj2c4q?url=http://quickfacts.census.gov/qfd/states/48/48249.html per http://quickfacts.census.gov/qfd/states/48/48249.html

:<math>A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}</math>

Fate riferimento alle FAQ per informazioni su come correggere gli errori del bot

la somma parziale <math>n</math>-esima di <math>\{a_n\}</math>, e si ponga <math>A_{-1}=0</math>. Vale allora l'eguaglianza<ref name=Rudin70>{{cita|Rudin|pag. 70}}.</ref>:

Saluti.—[[:en:User:InternetArchiveBot|'''<span style="color:darkgrey;font-family:monospace">InternetArchiveBot</span>''']] <span style="color:green;font-family:Rockwell">([[:en:User talk:InternetArchiveBot|Segnala un errore]])</span> 01:22, 13 set 2017 (CEST)

:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>.

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore [[differenza finita|differenza in avanti]] <math>\Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n </math>:

:<math>\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}}</math>,

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di [[integrazione per parti]]:

:<math>\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}</math>.

== Dimostrazione ==

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno [[spazio vettoriale]] sul campo <math>\mathcal{K}</math>, e l'altra in <math>\mathcal{K}</math>.

Per la definizione di <math>\{A_n\}</math>, si ha<ref name = Rudin70 />:

:<math>\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =</math>

:<math>= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} </math>,

cioè la tesi, [[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

== Teoremi derivati ==

=== Criterio di Dirichlet per le serie ===

{{vedi anche|Criterio di Dirichlet (matematica)}}

Il lemma di Abel viene usato per provare il [[criterio di Dirichlet (matematica)|criterio di Dirichlet]] per la convergenza di serie<ref>{{cita|Rudin|pag.71}}.</ref>.

=== Criterio di Leibniz per le serie ===

{{vedi anche|Criterio di Leibniz}}

Il [[criterio di Leibniz]] può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

== Note ==

<references />

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore= W. Rudin | titolo=Principles of Mathematical Analysis|editore =A. A. Arthur, S. L. Langman | anno = 1976 | pagine = 70 |lingua=en|cid=Rudin|isbn=0-07-054235-X}}

== Voci correlate ==

* [[Integrazione per parti]]

* [[Serie convergente]]

[[Categoria:Serie matematiche]]

[[Categoria:Lemmi]]